实变函数集合规范标准答案

第一章 集合

一、內容小结

1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入

了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。

2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定

理。

3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点

1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式

上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件为A,B 不交。

2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C

必可数。

3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法

4. 肯定方面与否定方面。B X B X ∉∈与,

5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其

中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。

6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯

坦定理）来进行相应的证明。

7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算

得到可数、第四节定理6.

8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。∞E R n

,

三、习题解答

1. 证明：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =

证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈I Y B A x Y ∈,得).()(C A B A x Y I Y ∈

若

则同样有设,C B x I ∈B

A x Y ∈且

C

A x Y ∈，得

).()(C A B A x Y I Y ∈因此

)()()(C A B A C B A Y I Y I Y ⊂

设)()(C A B A x Y I Y ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x Y I Y ∈，若

,.A x ∉由B A x Y ∈且C A x Y ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x I ∈同

样有).(C B A x I Y ∈因此⊂)()(C A B A Y I Y )(C B A I Y ，

所以)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =

2. 证明

⑴B B A B A A B A -=-=-)()(Y I ⑵)()()(C A B A C B A I I I -=- ⑶)()(C B A C B A I -=-- ⑷)()()(C A B A C B A I Y -=-- ⑸)()()()(D B C A D C B A Y I I -=-- ⑹.)(B A B A A I =-- 证明 ⑴

().

)()()

()(B A B C A A C A B C A C A B A C A B A A s s s s s -====-I Y I Y I I I I

B C B A B B A s I Y Y )()(=-

=B A B C B B C A s s -=)()(I Y I ⑵

).

()(()(()(()

()()

()()()(C B A C C B A C C B A A C B A C C A C B A C A C B A C A B A s s s s s s -=====-I I I I I Y I I Y I I I I I I I

⑶

)

()()()(C B A C B C A C

C B C A C B A s s s Y Y I I I -===--

⑷

).

()()()()()()

()(C A B A C A B C A C B C A C C B C A C C B A C B A s s s s s I Y I Y I Y I I I I -====-=--

⑸

).

()()()()

()()()(D B C A D B C C A D C C B C A D C B A s s s Y I Y I I I I I I -===--

⑹

.

)()

()(B A B A C A B C A C A B A A s s s I Y I I I ===--

3. 证明：)()()(C B C A C B A --=-Y Y ；).()()(C A B A C B A --=-I Y 证明：

).

()()()()()(C B C A C C B C C A C

C B A C B A s s s --===-Y I Y I I Y Y

).

()()

()()()(C B A C B C A C C B C A C C A B C A C A B A s s s s s Y Y I I I I I I I -====--

4.证明：I Y ∞

=∞

==1

1

.)(

i i s i i

s A C A

C

证明 设)(

1

Y ∞

=∈i i

s A

C x ，则S x ∈，但Y ∞

=∉1

i i A x ，因此对任意i ，i A x ∉，所以

i s A C x ∈，因而I ∞

=∈1

.i i s A C x

设I

∞

=∈

1

.i i s A C x 则任意i ， i s A C x ∈，即S x ∈，i A x ∉，因此则S x ∈，但Y ∞

=∉1

i i A x ，

得)(1

Y ∞

=∈i i

s A

C x ，所以I Y ∞

=∞==1

1

.)(i i s i i s A C A C

5.证明：

⑴Y Y Λ

∈Λ

∈-=-α

ααα)()(B A B A ; ⑵I I Λ

∈Λ

∈-=

-α

αα

α)()(

B A B A .

证明 ⑴ Y Y Y Y I I Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈-=

=

=-α

αα

ααααα)()()()(B A B C A B C A B A s s ⑵ I I I I I I Λ

∈Λ

∈Λ∈Λ

∈-=

=

=-α

αα

αααα

α)()()()(B A B C A B C A B A s s .

6.设{}n A 是一列集合，作11A B =,1),(

1

1

>-=-=n A A B n n n Y ν

ν。证明{}n

B 是一列互不相交的集，而且

.1,1

1

∞≤≤===n B A n

n Y Y ν

ννν 证明 若j i ≠，不妨设j i <，显然).1(n i A B i

i ≤≤⊂

.

)

(1211

1

φ==-⊂--=j s i s s s j i j n n j i j i A C A C A C A C A A A A A B B I ΛI I ΛI I I I I I Y

设Y n

i i

A

x 1=∈

，若1A x ∈，则Y n

i i

B

B x 1

1=⊂

∈，若1A x ∉，令n i 是最小的自然

数使n i A x ∈，即Y 11

-=∉

n i i i

A

x 而n i A x ∈，这样Y Y n

i i i i i i

i B B A

A x n n n 1

1

1

=-=⊂=-

∈,所以

Y Y n

i i

n

i i B

A 1

1

===证毕。