新教材人教b版必修第三册722单位圆与三角函数线课件1

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第七章 三角函数
如图(1),如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则OM 可以直观地 表示cos α:OM 的方向与x轴的正方向相同时,表示cos α是正数,且cos α=|OM |;OM 的 方向与x轴的正方向相反时,表示cos α是负数,且cos α=-|OM |.习惯上,称① OM 为角α的余弦线.类似地,图(1)中的 MP可以直观地表示sin α,因此称② MP 为角α
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第七章 三角函数
当角α的终边在y轴上时,正弦线 MP =(0,1)或(0,-1),余弦线变成了一点,它的长度为 零,正切线不存在.
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第七章 三角函数
2 | 三角函数线与三角函数值
三角函数线的方向表示三角函数值的符号:正弦线、正切线的方向与y轴一致, 向上为正,向下为负;余弦线的方向与x 度等于所表示的三角函数值的绝对值.
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第七章 三角函数
的正弦线. 利用角的正弦线和余弦线,可以直观地看出角的正弦和余弦的信息.例如图(1)中,角 β的余弦线是ON ,正弦线是 NS ,由此可看出cos β<0,sin β③ < 0,而且还可以看出 |cos β|>|cos α|.类似地,可知|sin α|④ > |sin β|. 如图(2),设角α的终边与直线x=1交于点T,则 AT 可以直观地表示tan α,因此 AT 称为 角α的⑤ 正切线 . 不难看出,当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时,终边与直线x=1没有交 点,但终边的反向延长线与x 此图(2)中角β的正切线为⑥ AS ,而且从图中可以看出tan β⑦ < 0,|tan β| ⑧ < |tan α|.这就是说,角α的正切等于角α终边或其⑨ 反向延长线 与直线x=1的 交点的⑩ 纵坐标 .正弦线、余弦线和正切线都称为 三角函数线 . 综上,当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线 都变成了一点,它们的长度为零,而余弦线OM =(1,0)或(-1,0).
3 | 作三角函数线的步骤
(1)作平面直角坐标系和角的终边. (2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线,垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)向量 MP ,OM , AT 分别为角的正弦线,余弦线和正切线.
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∴
x
kπ
π 2
,
(k∈Z),
x kπ
∴x≠ k π,k∈Z.
2
∴函数y= sin x cos x 的定义域为 x x k π,k∈Z .
tan x
2
2
2
条件的角α的集合为
α
2kπ
π 3
α
2kπ
2π 3
,k
Z
.
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第七章 三角函数
(2)如图2所示,作直线x=- 1 ,交单位圆于C,D两点,作射线OC与OD,当OC或OD为角α
2
的终边时,cos α=- 1 ,当α的终边落在阴影部分(包括边界)时,cos α≤- 1 .故满足条件
2
2
的角α的集合为
α
2kπ
2π 3
α
2kπ
4π 3
,k
Z .
解题模板 (1)确定区域的边界;(2)确定区域;(3)写出解集.
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第七章 三角函数
2|求与三角函数相关的复合函数的定义域
1.求与三角函数相关的复合函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值
域问题,除考虑分式、偶次根式、对数外,还要考虑正切函数自身定义域的限制. 2.求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以用取特殊值把不固定 的集合写成若干个固定集合再求交集,也可在直角坐标系中利用角的终边求交集.
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第七章 三角函数
1| 利用三角函数线解简单的不等式
已知α∈
0,
π 2
,探究如何比较sin
α,α,tan
α的大小.
问题
1.为什么在利用三角函数线表示三角函数时,点P的坐标为(cos α,sin α),点T的坐标
为(1,tan α)?
提示:sin α= y ,cos α= x ,r=1,所以单位圆与角α终边的交点P的坐标为(cos α,sin α).角
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第七章 三角函数
7.2.2 单位圆与三角函数线
1.了解三角函数线的意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.会利用三角函数线解决不等式相关问题.
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第七章 三角函数
1 | 单位圆与三角函数线
(1)一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆. (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
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第七章 三角函数
(★★☆)在单位圆中画出符合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥ 3 ;
2
(2)cos α≤- 1 .
2
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第七章 三角函数
解析 (1)如图1所示,作直线y= 3 ,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB,当OA或OB
2
为角α的终边时,sin α= 3 ,当α的终边落在阴影部分(包括边界)时,sin α≥ 3 .故满足
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第七章 三角函数
(★★☆)求下列函数的定义域. (1)y= sin x ; (2)y= sin x cos x .
tan x
思路点拨: 列不等式(组)
解不等式(组)
求出函数定义域.
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第七章 三角函数
解析 (1)要使函数有意义,必须使sin x≥0. 由正弦的定义知,sin x≥0就是角x的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x的终边应在x轴或其上方区域, ∴2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z. ∴函数y= sin x 的定义域为 {x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}. (2)要使函数有意义,必须使tan x有意义,且tan x≠0,
第七章 三角函数
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为1.( √ ) 2.在△ABC中,sin A+cos A>1. ( ✕ ) 若A=90°,则sin A+cos A=1+0=1,故错误. 3.三角函数线的方向表示三角函数值的正负. ( √ ) 当三角函数线与x轴(或y轴)的正方向同向时,所表示的三角函数值为正,与x轴(或y 轴)的正方向反向时,所表示的三角函数值为负. 4.三角函数线的长度等于三角函数值. ( ✕ ) 三角函数线的长度是指向量的模,一定是非负实数,而三角函数值可正、可负、可 为0,应该说:三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
∴sin α<α<tan α.
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第七章 三角函数
利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻 求点.一般来说,对于sin α≥b,cos α≥a(或sin α≤b,cos α≤a),只需作直线y=b,x=a与 单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定 相应的α的范围;对于tan α≥c(或tan α≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终 边所在的位置,并反向延长,结合图形可确定相应的α的范围. 重要提示 确定区域时,可以将终边顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化,从 而确定符合条件的区域范围.
r
r
的终边与直线x=1的交点的横坐标为1,所以点T的坐标为(1,tan α).
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第七章 三角函数
2.如何利用三角函数线解决情境中
②比较三角函数线的长度;
③确定有向线段的正负.
如图,情境中三个量分别对应如下:
sin
α=|
MP
|,α=l ︵ AP
,tan α=| AT |,