5.3三角函数的诱导公式

授课主题三角函数的诱导公式
教学目标
1．了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导公式的过程．
2．理解诱导公式一至六的特征及其适用条件，掌握运用诱导公式解题的基本步骤，能灵活
运用诱导公式解决三角函数的求值及证明等问题．
3．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．
4．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．
教学内容
1．诱导公式
1）公式：
公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z；
公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；
公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；
公式五：sin⎝⎛⎭⎫
π
2－α＝cos α，cos⎝
⎛
⎭
⎫
π
2－α＝sin α；
公式六：sin⎝⎛⎭⎫
π
2＋α＝cos α，cos⎝
⎛
⎭
⎫
π
2＋α＝－sin α.
2）说明：
公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．
公式二：是π＋α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化为锐角求值．
公式三：研究角α与－α间关系，常用来把任意角求值转化为正角求值．
公式四：研究π－α与α间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值．
公式五：研究α与
π
2－α间关系，可实现正、余弦相互转化．
公式六：研究α与
π
2＋α间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角
π
2＋α转化为锐角求值．3）记忆：公式可以概括为：
对于k·
π
2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos ；cos→sin(奇变偶不变)． ③然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)．
2．角的对称关系
1）π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． 2）π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称． 3）－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．
题型一 已知角，利用诱导公式求值
例1 求下列三角函数值：
(1)cos 1 290°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π
3； (3)cos(－1 650°)．
分析：1 290°＝210°＋3×360°，－
16π3＝－4π－4π
3
，－1 650°＝－4×360°－210°. 解析：(1)cos 1 290°＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－3
2
. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3＝3
2
. (3)cos(－1 650°)＝cos 1 650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－
3
2
.
巩 固 求下列各三角函数的值：
(1)sin ⎝⎛⎭⎫－17
3π； (2)cos(－945°)． 解析： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝sin π3＝3
2
. (2)cos ()－945°＝cos ()－3×360°＋135°＝cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－2
2
. 题型二 已知角的三角函数值，利用诱导公式求值
例2 已知sin(π＋α)＝－1
3
，求cos(5π＋α)的值．
分析：题目提供的主要信息有：已知α角加一个常量的三角函数值．因此，解答本题可先利用诱导公式化简再求值．
解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝1
3.
又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α， 当α是第一象限角时， cos α＝
1－sin 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫132＝223，
例3 已知cos(75°＋α)＝1
3
，且α为第三象限角角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
分析：观察分析各角的内在联系，再利用诱导公式或同角关系式进行求值． 解析：cos(105°－α)＝－cos(75°＋α)＝－1
3
，sin(α－105°)＝－sin(75°＋α)．
∵cos(75°＋α)＝13>0，且α为第三象限角，可知75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋a )＝－2
3 2.
∴cos(105°－a )＋sin(a －105°)＝
22－1
3
. 点评：注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学习三角函数的一个重要基础． 巩 固 已知cos 165°＝a ，求tan 195°的值．
解析：∵165°＋195°＝360°，∴195°＝360°－165°. 又∵sin 165°＝1－cos 2165°＝1－a 2，
∴tan 195°＝tan(360°－165°)＝－tan 165°＝－sin 165°cos 165°＝－1－a 2a .
题型三 利用诱导公式化简
例4 化简：cos (2π－α)cos (3π＋α)cos (－π＋α)cos (3π－α)cos (－α－π)
.
解析：原式＝cos α(－cos α)－cos α(－cos α)(－cos α)＝1
cos α.
点评：三角函数式的化简方法．
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π
4
.
例5 已知α是第三象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π
2
)tan (－α－π)
sin (－α－π)
.
(1)化简f (α)；
(2)若cos ⎝
⎛⎭⎫α－3π2＝1
5，求f (α)． 分析：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二至四，哪些是可以利用公式五、六，同时注意同角公式的应用，认真进行化简然后再求值．
解析：(1)f (α)＝sin αcos αtan ⎝⎛⎭
⎫π2－αcos (－α－π)＝sin αcos α ·
sin ⎝⎛⎭
⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (α＋π)＝sin αcos α · cos αsin α－cos α＝－cos α.
(2)由cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，得cos ⎝⎛⎭⎫a ＋π2＝15即sin α＝－1
5
，又α是第三象限角．
∴cos α＝－26
5.
∴f (x )＝－cos α＝2
5
6.
巩 固 化简：cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭
⎫11π
2－αsin (－α－π)sin ⎝⎛⎭
⎫9π2－α.
解析： 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎣⎡⎦
⎤6π－⎝⎛⎭⎫π
2＋α－sin (α＋π)sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α·(－cos α)
sin α·cos α＝1.
题型四 求角问题
例6 是否存在α∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出a ，β的值；若不存在，请说明理由．
分析：先对条件进行化简，再求出α，β的一个三角函数值，进而求角． 解析：由条件，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②
①2＋②2⇒sin 2α＋3cos 2 α＝2.
又∵ sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cos 2 α＝1
2，
又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4
. 将α＝π4代入②，得cos β＝3
2，又∵β∈(0，π)，
∴β＝π
6，代入①可知符合．
将α＝－π4代入②，得cos β＝3
2
.
又β∈(0，π)，∴β＝π
6，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝π4，β＝π
6
满足条件．
A 组
1．cos 690°的值为( )
A ．－
32 B.32 C.12 D ．－1
2
答案：B
2．cos ⎝⎛⎭
⎫－10π
3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案：B
3．sin 1 290°＝________.
解析：sin 1 290°＝sin(3×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.
答案：－1
2
4．下列三角函数：①sin ⎝
⎛⎭⎫n π＋4π
3(n ∈N)； ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6(n ∈N)；③sin ⎝
⎛⎭⎫2n π＋π
3； ④cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3(n ∈N)；⑤sin ⎣⎡⎦⎤()2n ＋1π－π
3(n ∈Z)． 其中与sin π
3
数值相同的是( )
A ．①②
B ．①③④
C ．②③⑤
D ．①③⑤
解析：∵sin π3＝32，∴cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝32，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3＝32， 而cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝cos π3≠32，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝si n ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝3
2， 且对sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3，当n ＝2k (k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3， 当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 7π3＝sin π
3. 答案：C
5．若cos(π＋α)＝－12，3π
2
<α<2π，则sin(2π－α)等于( )
A ．－
32 B.32 C.12 D ．±32
解析：∵cos(π＋α)＝－1
2，
∴cos α＝12.又∵3π
2<α<2π，
∴sin α＝－1－cos 2α＝－3
2
. 故sin(2π－α)＝－sin α＝32
. 答案：B
6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π
2
，则sin ⎝⎛⎭⎫π12－α等于( ) A.233 B.13 C ．－13 D ．－23
3
解析：∵f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x
2＝－f (x )．即A 错． ∵f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x
2＝－f (x )．即B 错． ∵f (－x )＝cos (－x )2＝cos x
2＝f (x )．即C 错，故选D.
答案：D
7．(1)sin(－1 200°)＝________；(2)cos 17
4
π＝________.
答案：(1)－
32 (2) 22
8．已知函数f (x )＝cos x
2
，则下列等式成立的是( )
A ．f (2π－x )＝f (x )
B ．f (2π＋x )＝f (x )
C ．f (－x )＝－f (x )
D ．f (－x )＝f (x ) 解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x 2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x 2
≠f (x )．
对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x
2≠－f (x )，故选D.
答案：D
9．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭
⎫3π
2－α＋2s in(6π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m
2
解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝－m ， 得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m
2
.
∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2si n(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m
2.故选B. 答案：B
10．已知α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－3
4
，sin α＋cos α的值等于( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－3
5
解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34
，
又α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎦⎤π2，π.∴sin α＝35，cos α＝－4
5. ∴ sin α＋cos α＝－1
5.故选C.
答案：C
11．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－1
3
，则tan α等于________．
解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－2
4.
答案：－
2
4
B 组
1．已知以下四个函数值：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3，②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3，③sin ⎣⎡⎦⎤n π＋(－1)n ·π3，④cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋(－1)n ·π
6，其中n ∈Z ，与sin π
3
的值相同的是________． 答案：③④
2．已知α是第二象限角，按要求做下列各题：
(1)已知cos α＝－3
4，求sin α和tan α的值；
(2)化简：
1－cos 2⎝⎛⎭⎫π
2－ α · tan α.
解析：(1)sin α＝1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－342＝74，tan α＝sin αcos α＝7
4－34
＝－7
3
. (2)原式＝1－sin 2α·sin αcos α＝－cos α·sin α
cos α＝－sin α.
3．化简式子：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋αsin (π＋α)
.
解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·
(－sin α)－sin α
＝－sin α＋sin α＝0.
4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫11
6的值为( ) A ．－1 B ．－3－2 C ．－2 D ．－3
解析：f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－1
2－2，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫
116＝－2.故选C.
答案：C
5．|cos α|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．
解析：|cos α|＝cos(π＋α)＝－cos α，
∴cos α≤0，α＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
2k π＋π2≤α≤2k π＋3
2π，k ∈Z 答案：B
6．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－3
5
，求tan(10π－θ)的值．
解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－4
3.
∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝4
3.
7．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝
1－3
2
，x 是第二象限的角． (1)求sin x 与cos x 的值；
解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－3
2
，
∴sin x cos x ＝－34
.又x 是第二象限的角， ∴sin x >0，cos x <0.
∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝
2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32
. (2)求x 的集合．
解析：(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12
， ∴在⎣⎡⎦⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6
. ∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .
1．计算：
1）k ∈Z ，cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝________.
2）sin 4π3
＝________. 3）tan ⎝⎛⎭
⎫－2π3＝________. 4）若cos α＝13
，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 5）若cos α＝13
，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 解析：
1）cos ⎝⎛⎭
⎫6k π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝cos π3＝12. 2）sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32
. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－tan 2π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝tan π3
＝ 3. 4）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝13
. 5）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13
. 2．下列四个命题正确的是( )
A ．sin(－α)＝sin α
B ．cos(－α)＝cos α。