高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》经典测试题含答案

新数学高考《平面向量》专题解析(1)
一、选择题 1．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v 方向上的投影为
A
B
．2 C ．1 D
【答案】C
【解析】
【分析】 根据a v 在b v
方向上的投影定义求解.
【详解】 a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b
⋅⋅--+===-r r r ， 选C.
【点睛】
本题考查a v 在b v
方向上的投影定义，考查基本求解能力. 2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==，
向量BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，
设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r
， ∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u ur r u ， 故夹角为120°，
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
3．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r ，AB AC λ=u u u r u u u r ，若
9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )
A
．3 B
．2 C
．3 D
．2
【答案】D
【解析】
【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.
【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，知O 为ABC ∆的重心， 所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ， 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r 2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r
，||||
AB AC λ===u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
4．下列说法中说法正确的有（ ） ①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确； 对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r ，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误；
对于④：a b a b +≥+r r r r ，根据三角不等式的应用，故④正确； 对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
5．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．3
B 3
C 3
D 3【答案】D
【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v
，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r ，
∴
33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，
故选D ．
6．在平行四边形OABC 中，2OA =，3OC =6AOC π
∠=，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则43λμ+的最大值为（ ）
A ．2+
B ．3+
C ．5+
D ．7+ 【答案】D
【解析】
【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r 的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6AOC π
∠=，
由余弦定理得24+3221,12AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o ,
∴圆B 与AC 相切于点A ， 又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ； 如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π
∠=,
所以3,,222AD DB OB ===∴==, 所以7
cos
BOA ∠==,
所以27
OB OA ⋅==u u u r u u u r ，
因为BP OA ⋅u u u r u u u r 2cos0⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是7+.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r , P 为线段CD 上一点,且12
DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．0 D ．12 【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得1526
EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v ，求得,λμ的值，即可得到答案. 【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
()1214111232326
EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=- ()
1111522626
AD AB AB AD AB =+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=， 所以511623
λμ+=-
+=-，故选B. 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应
用向量的三角形法则化简向量EP u u u v
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2
α=
D ．||a b -r r 1 【答案】B
【解析】
【分析】 根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.
【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r 取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确.
D 选项，||a b -==r r 的最大值为
1=，选项D 正确.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
9．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( ) A ．4
B ．2
C ．1
D ．16
【答案】B
【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】 由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）
A ．1-
B ．3-
C ．1
2- D ．32
- 【答案】A
【解析】
【分析】 建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．
【详解】
建立如图所示坐标系，
设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以 (2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r ，
故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r u u u r 22
3322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以当32
x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-. 故选：A ．
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
11．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C ．2
D ．98
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入225+=8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】 由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
- 因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-. 所以,,b u c u c λλ+=-=
解之得,.22b c c b u c c λ+-=
=
因为225+=
8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A
【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v 求出,u λ.
12．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r A ．12
AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u r C ．12
AB AD +u u u r u u u r D ．12
AB AD -u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法法则运算即可.
【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1
.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.
【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
13．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A 323-+
B 323+
C 31
D 31+
【答案】B
【解析】
【分析】 建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭． )
3,0AB =u u u r ，()0,1AC =uu u r ， ∴13,12AD ⎛=+ ⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴
1 3
2
3 1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，∴
3
6
3
1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
23
1
λμ
∴+=+．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
14．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO
uuu v
·BC
uuu v
的值是
A．－8 B．－1 C．1 D．8【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因为AO AC CO AB BO
=+=+
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以
1
()
2
AO AC BO AB CO
=+++
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，而BC AC AB BO CO
=-=-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，所以
1
()
2
BC AC AB BO CO
=-+-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则
1
()()
4
AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO
⋅=+++-+-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
1
()()()()()() 4
AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()
CO BO BO CO
++-
u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =
-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42
AC AB AO BC =-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D 15．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155
AB AC +u u u v u u u v B ．2155AB AC +u u u v u u u v C ．481515
AB AC +u u u v u u u v D ．841515
AB AC +u u u v u u u v 【答案】D
【解析】
【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45
AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π2cos 4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，
所以45AF AF AD AE ==，所以45
AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
16．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=
，m n →→-=n →=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.
【详解】
设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →→-=-+=，
即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
17．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．45-
B ．1516-
C ．14-
D ．5
8
- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】 ()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B. 【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．在ABC ∆中，已知3AB =23AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则
AD BC ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．()3,5
B ．(5,53
C ．()5,9
D ．()5,7 【答案】C
【解析】
【分析】 利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r ，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】
如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22211333AC AB AB AC =--⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝8﹣11
3233
cos BAC -∠
＝7﹣2cos ∠BAC
∵∠BAC ∈（0，π），
∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1），
∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），
故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
19．已知,A B 是圆22
:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
20．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C．等腰梯形D．菱形【答案】C
【解析】
由
1
2
DC AB
u u u r u u u r
知DC∥AB,且|DC|=
1
2
|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD
u u u r
|=|BC
uuu r
|,
所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。