甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试数学(文)试题

武威六中2020届高三一轮复习过关考试（六）
文科数学
一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．设集合}0)3)(1(|{≥--=x x x A ,集合}1)3
1(|{1>=-x x B ,则=⋃B A
A. }1|{x ≤x
B. }3|{x ≤x
C. }31|{x ≤≤x
D. }1{
2．已知复数ai z +=3的模为5,则实数=a
A.±2
B.±8
C.±4
D.±5
3．若非零向量b a ρρ,满足||3
22||b a ρρ=,且)23()(b a b a ρ
ρρρ+⊥-,则b a ρρ与的夹角为 A.
4
π B.
2
π C. 43π
D. π
4．已知平面α,直线n m ,满足αα⊄⊂n m ,,则“m n ⊥”是“α⊥n ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“今有众兄弟辈出钱买物,长兄出钱八文,次兄
以下各加一文,顺至小弟出钱六十文.问:兄弟辈及共钱各若干?”意思是:众兄弟出钱买一物品,长兄出了八文钱,每位兄弟比上一位兄长多出一文钱,到小弟的时候,小弟出了六十文钱,问兄弟的个数及一共出的钱数分别是多少.则兄弟的个数及一共出的钱数分别是 A.52,1 768
B.53,1 768
C.52,1 802
D.53,1 802
6．已知直线l 过点)0,2-（且倾斜角为α,若l 与圆20)3(22=+-y x 相切,则=-)22
3sin(
απ
A.
5
3 B. 53-
C.
5
4 D 5
4-
7．已知函数0,)2
1(0
,2)(<-≥⎩⎨⎧
=x x x x x f x 则不等式6)(≤x f 的解集是 A. ]3,(-∞
B. ]3,2[-
C. ]3,0[
D. ]3,1[-
8．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱CD ,A 1D 1的中点,则异面直线EF 与BC 1所成角的余弦值是
A.
3
3
B.
6
3 C.
3
2 D.
6
2
9．已知函数)2
0,0,0sin()(π
ϕωϕω<
<>>+=A x A x f ）（的部分图象如图所示,则=)4
3(
πf
A. 1-
B. 21-
B. C. 2
2-
D. 2
3-
10．已知)0,0()4(31)(23>>-++=
b a x b ax x x f 在1=x 处取得极值,则b
a 1
2+的最小值为 A.
3
223+ B. 223+
C.3
D. 22
11．已知椭圆)0122
22>>=+b a b
y a x （
的右焦点为F ,左顶点为A ,点P 在椭圆上,且AF PF ⊥, 若2
1
tan =∠PAF ,则椭圆的离心率e 为 A.
4
1 B. 3
1 C.
2
1 D.
3
2 12．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，
则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50
B.0
C.2
D.50
二、填空题：共4题 每题5分 共20分 13．曲线x x x x f ln 2
1)(2
+=
在点))1(,1(f 处的切线与直线01=--y ax 垂直,则=a . 14．已知动点),(y x P 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-+≥+-033010632y x y x y x ,则x y z 2-=的最小值是 .
15．如图，已知平面四边形ABCD 满足AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，∠C ＝90°，将
△ABD 沿对角线BD 翻折，使平面ABD ⊥平面CBD ，则四面体ABCD 外接球的体积为________.
16．已知P 是直线01043=-+y x 上的动点，PA ，PB 是圆044222=++-+y x y x 的两条切
线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：共6题 共70分
17．（12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ,且2
cos 2sin 32
C
B c
C a +=. (1)求角A 的大小;
(2)若7=a , ABC ∆的面积是4
3
15,求ABC ∆的周长.
18．（12分）已知数列}{n a 满足0≠n a ,且1133++=-n n n n a a a a ,等比数列}{n b 中,
9,3,6412===b b a b .
(1)证明:数列}1
{
n
a 为等差数列,并求数列}{n a 的通项公式. (2)求数列}{1+n n a a 的前n 项和n S .
19．（12分）如图,在三棱锥A -BCD 中,BD =3,∠BDC =90°,AD =DC =4,AB =5,点E 为棱CD 上的一点,
且CD AE ⊥.
(1)求证:平面ABE ⊥平面BCD ;
(2)若三棱锥A -BCD 的体积为34,求三棱锥E -ABD 的高.
20．（12分）已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.
21．（12分）已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++= .
(1)讨论)(x f 的单调性; (2)当0<a 时,证明243
)(--≤a
x f .
22．（10分）已知在平面直角坐标系xoy 中,曲线为参数）t t y t
x C (2
2122
1:1⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=,在以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4= (1)写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程;
(2)已知M (1,1),曲线1C , 2C 相交于A ,B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.
高三文科数学答案
1.B 2 .C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C 11.C 1
2.C
13. 14.-2 15.323π
27 16.
17.(1)在△ABC中,A+B+C=π,所以cos=cos=sin,根据正弦定理,得sin A sin C=2sin C,因为sin C≠0,所以sin A=2,
解法一所以2sin cos,又sin≠0,所以cos=sin,所以tan,易知
0<A<π,0<,所以,故A=.
解法二sin A=1-cos A,所以sin A+cos A=1,
即sin(A+)=,
又<A+,所以A+,A=.
(2)由题意得bc sin A=bc=,得bc=15,
由余弦定理,得b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc=49,
即(b+c)2-bc=49,
所以(b+c)2-15=49,b+c=8,
故△ABC的周长为a+b+c=15.
18.(1)a n≠0,且3a n-3a n+1=a n a n+1,等号两边同时除以3a n a n+1,得,所以数列{}是公差为的等差数列.
因为{b n}是等比数列,所以b2b6=,
又b4=3,b6=9,所以9b2=9,所以b2=1,
所以a1=b2=1,故(n-1)=1+(n-1)=,a n=.
(2)由(1)知a n a n+1==9(),
所以S n=9(+…+)=9()=.
19.(1)因为BD=3,AD=4,AB=5,
所以AB2=BD2+AD2,所以AD⊥B D.
因为∠BDC=90°,
所以BD⊥DC,
又AD∩CD=D,
所以BD⊥平面ADC.
因为AE⊂平面ADC,
所以AE⊥BD.
又AE⊥CD,BD∩CD=D,
所以AE⊥平面BCD.
因为AE⊂平面ABE,
所以平面ABE⊥平面BCD.
(2)因为BD=3,∠ADB=90°,∠BDC=90°,AD=DC=4,
所以S△ABD=S△BCD=×3×4=6.
由(1)知,AE⊥平面BCD,
因为三棱锥A-BCD的体积为4,
所以S△BCD·AE=4,
所以AE==2.
在Rt△ADE中,DE==2,
所以点E为棱CD的中点.
设三棱锥E -ABD 的高为h ,则点C 到平面ABD 的距离为2h , 所以V C -ABD =S △ABD ·2h =4, 所以h =
, 所以三棱锥E -ABD 的高为
.
20.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2
b 2＝1，
c a ＝63，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧a 2＝12，
b 2
＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24
＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m
2，x 1x 2＝3m 2－124，
由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16， 则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝1
4m ， 即D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3
4m ，14m .
因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，
即PD 的斜率k ＝
2－m
4
－3＋3m 4
＝－1，解得m ＝2，满足m 2
<16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，
则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝3
2
， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝9
2.
21.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.
若a<0,则当x∈(0,-)时,f'(x)>0;当x∈(-,+∞)时,f'(x)<0.故f(x)在(0,-)单调递增,在(-,+∞)单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.
设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln(-
)++1≤0,即f(x)≤--2.
22.解:(1)曲线C1:(t为参数),消去参数t,得x+y-2=0,其极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin(θ+)=.
ρ=4cos θ⇒ρ2=4ρcos θ⇒x2+y2-4x=0,
所以曲线C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)通解由题意知,M(1,1)在曲线C1:(t为参数)上,将曲线C1的参数方程代入
x2+y2-4x=0,得t2+2t-2=0.
设A,B对应的参数分别为t1,t2,
所以t1+t2=-2,t1t2=-2,所以点N对应的参数t==-.
所以|MN| =|t|=.
优解由题意及(1)知直线C1过圆C2的圆心(2,0),则点N的坐标为(2,0),又M(1,1),所以|MN|=.。