高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23

B.C5 2 017
5 D.C2 017－1
√
4 C.C2 018－1
3 3 3 C3 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C 4 5 6 2 017
解析
3 3 3 3 4 ＝C4 ＋ C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C － C 4 4 5 6 2 017 4 3 3 ＝C4 ＋ C ＋ … ＋ C 5 5 2 017－1＝… 3 4 ＝C4 ＋ C － 1 ＝ C 2 017 2 017 2 018－1.
解答
(2)求证：Cm n＝
m＋1 m＋1 Cn＋1 . n＋1
证明
m＋1 m＋1 m＋1 n ＋1 ！ 因为右边＝ Cn＋1 ＝ · n＋1 n＋1 m＋1！n－m！
n！ m ＝ ＝Cn ，左边＝Cm n， m！n－m！
所以左边＝右边，所以原式成立.
证明
反思与感悟
m A n m (1) 涉 及 具 体 数 字 的 可 以 直 接 用 公 式 C n ＝ Am ＝ m
nn－1n－2…n－m＋1 计算. m！ (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n＝ n！ 计算. m！n－m！
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
n－m m m m－1 ①Cm ＝ C ； ② C ＝ C ＋ C . n n n＋1 n n
跟踪训练 2 A.C4 2 017
3 3 3 (1)计算 C3 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C 4 5 6 2 017的值为
排列数是 A2 9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有 72 种选法；
选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有 C2 9＝36(种).
解答
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明
例2
解
3 3 (1)计算 C4 － C · A 10 7 3；
10×9×8×7 4 3 原式＝C10－A7＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1
3 3.C5＝5×4×3＝60.(
× )
016 1 4.C2 ＝ C 2 017 2 017＝2 017.( √ )
题型探究
类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务， 有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
解答
6 (2)解不等式 C4 >C n n.
解
n！ n！ > ， 4 6 由 Cn>Cn，得4！n－4！ 6！n－6！ n≥6
2 n －9n－10<0， －1<n<10， 即 解得 n≥6， n≥6，
又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？ 解 由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个
从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.
这是一个组合问题，组合的个数是 C3 5＝10.
解答
(2) 某小组有 9 位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选 法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 解 选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，
解答
反思与感悟
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区
分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选 择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否 产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新 变化，即说明无顺序，是组合问题.
跟踪训练1
判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果.
排列.
梳理
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 合成一组 ，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
知识点二 组合数及组合数公式
组合数与组合数公式
组合数定 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 ， 义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 乘积形式
第一章 1.2.2
组
合
第1课时 组合与组合数公式
学习目标
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用 组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测问题导学知源自点一组合的定义思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘. 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？ 答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需
m Cn
表示.
组合数 公式
nn－1n－2…n－m＋1 m Cn ＝ m！
阶乘形式
Cm n＝
n！ m！n－m！
性质
n－m C Cm ＝ n n
m m－1 Cm n＋1＝ Cn ＋ Cn
备注
规定 C0 ＝___ 1 n
[思考辨析 判断正误]
1.从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是 C2 3.( × ) 2.从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C2 4个积.( √ )
解析
答案
199 (2)计算 C98 ＋ C 5 150 100 200＝________.
解析
199 2 1 C98 ＋ C ＝ C ＋ C 100 200 100 200
100×99 ＝ ＋ 200 ＝ 5 150. 2
解析
答案
命题角度2 含组合数的方程或不等式
例3
1 1 7 m 5－m (1)已知Cm－Cm＝10Cm，求 C8 ＋C8 ； 5 6 7
解答
反思与感悟
(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注
意不要忽略n∈N*. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以
* * 及组合数的性质，求解时，要注意由 Cm n 中的m∈N ，n∈N ，且n≥m确定
m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
跟踪训练 3