2022届合肥市高二下数学期末教学质量检测试题含解析

2022届合肥市高二下数学期末教学质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()32
233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 对()f x 求导，判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，即可求出最大值。

【详解】
()2666(1)f x x x x x '=-=-
所以()f x 在[]1,0-单调递增，在[]0,1单调递减，
()max (0)3f x f ==
故选D
【点睛】
本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。

2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，
） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
【答案】B
【解析】
分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差. 详解：因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40， 因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为， 因此两者之差为，选B. 点睛：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式
3．已知函数()1,0f 1
1,02
x e x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若m n <且()()f m f n =，则n-m 的最小值为( )
A ．2ln2-1
B ．2-ln2
C ．1+ln2
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
作出函数()f x 的图象，由题意可得0m ，求得2m n e =，可得()2m g m n m e m =-=-，0m ，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．
【详解】
解：作出函数()1,011,02
x e x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩的图象如下，
m n <，且()()f m f n =，可得0m ，
1112
n m e -=-，即为2m n e =， 可得()2m
g m n m e m =-=-，0m ， ()'21m g m e =-，
令()'0g m =，则1ln
2m = 当1ln
2m <时，()'0g m <，()g m 递减； 当1ln 02
m <时，()'0g m >，()g m 递增．
则()g m 在1ln 2m
=处取得极小值，也为最小值1ln 211ln 2ln 1ln222g e ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭
， 故选C ．
【点睛】
本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
4．若,x y 满足约束条件,2,3,y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．5
B ．92
C ．4
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】 由约束条件23y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩
作出可行域如图，
联立23
y x x y =⎧⎨+=⎩，可得()1,2A ， 化目标函数2z x y =+为22x z y =-
+， 由图可知，当直线22
x z y =-
+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为1225+⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米
A ．243π-
B ．36363π-
C ．36243π-
D ．48363π-【答案】D
【解析】 分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．
详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，
故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.33
ππ⨯⨯-
-平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米，
故水的体积V=Sh=48 3π-
故选D ．
点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档．
6．已知(),0,1a b ∈，记,1M ab N a b ==+-，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M N <
B ．M N >
C ．M N =
D ．不能确定 【答案】B
【解析】
【分析】
作差并因式分解可得M-N=()()11b a -- ，由a ，b ∈（0，1）可作出判断．
【详解】
由题意可得M-N=()1ab a b -+-=1ab a b --+=()()11a b b ---=()()11b a --，
∵a ，b ∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（a -1）∈（-1，0），
∴（b-1）（a -1）＞0，∴M ＞N
故选B.
【点睛】
本题考查作差法比较式子大小，涉及因式分解，属基础题．
7．有一个奇数列1,3,5,7,9,，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1；第二组含二个数{}3,5；第三
组含有三个数{}7,9,11；第四组数{}13,15,17,19;
有试观察每组内各数之和与组的编号数n 有什么关系（ ）
A ．等于2n
B ．等于3n
C ．等于4n
D ．等于()1n n +
【答案】B
【解析】 第n 组有n 个数，第1n -组有1n -个数，所以前n 组的数字个数是()
12n n +，那么前n 组的数字和是
()
2214n n + ，所以前1n -组的数字个数是()
21n n -，那么前1n -组的数字和是()
2214n n -，那么第n 组
的数字和是()
()
222231144n n n n n +--= ，故选B.
8．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为( )
A ．0.85
B ．0.819 2
C ．0.8
D ．0.75
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率3344(0.8)(10.8)0.80.8192C -+= 9．设函数()f x 满足()()()2
2
2,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( ) A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
函数()f x 满足2'()2()x e x f x xf x x +=，
()2
'x e x f x x ⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 则()()()2
',24?22
x e e F x F f x ===， 由()()2
'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x -=，令()()2x x e F x ϕ=-， 则()()()
2'2',x x e x x e F x x ϕ-=-=
()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，
()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.
又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，
()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这
类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2
F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 10．在某项测试中，测量结果与服从正态分布()()21,0N σ
σ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ）
A ．0.4
B ．0.8
C ．0.6
D ．0.21
【答案】B
【解析】
【分析】 根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为1x =,根据对称性可求出()12P ξ≤<的值,进而可求()02P ξ<<
【详解】
解: 测量结果与服从正态分布()()21,0N σσ>∴正态分布曲线的对称轴为1x =
()010.4P ξ<<= ()()12010.4P P ξξ∴≤<=<<=
()()()0201120.40.40.8P P P ξξξ∴<<=<<+≤<=+=
故选:B.
【点睛】
本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.
11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．1622+
B ．1522+
C ．19
D ．14+22
【答案】B
【解析】
【分析】 判断几何体的形状几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
【详解】
由题意可知几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，如图：
几何体的表面积为：1261222222115222
++⨯+⨯+⨯
⨯=+ 故选B ．
【点睛】 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.
12．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A ．!!m n n C m =
B ．!()!
A m n n n m =- C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.
【详解】
由组合数的定义可知()!!!
m n n C m n m =-，A 选项错误； 由排列数的定义可知()!!m n A n n m =
-，B 选项正确； 由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.
【点睛】
本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题
13．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，点P ，Q 在抛物线上，且56PFQ π∠=
，过弦PQ 的中点M 作准线l 的垂线，垂足为1M ，则1PQ MM 的最小值为__________．
【解析】 分析：过P 、Q 分别作准线的垂线PA 、QB ，垂足分别是A 、B ，设2PF a =，2QF b =，可得1MM a b =+，
由余弦定理得：22244PQ a b =++，进而根据基本不等式，求得||AB 的取值范围，从而得到本题答案.
详解：如图：
过P 、Q 分别作准线的垂线PA 、QB ，垂足分别是A 、B ， 设2PF a =，2QF b =， 由抛物线定义，得,PF PA QF QB ==，
在梯形ABQP 中，1222MM PA QF a b =+=+， ∴1MM a b =+，
由余弦定理得：
222225448cos 44436
PQ a b ab a b ab π=+-=++ ()()()()(()222244384438232a b a b ab a b a b +⎛⎫=++≥++⨯=++ ⎪⎝⎭， 则1PQ MM 2623++=. 26+点睛：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题.
14．若2624101201256(2)x a a x a x a x a x +=+++++，则0246a a a a +++=______.
【答案】365
【解析】
分析：令21x = 代入可知01256a a a a a +++⋯++ 的值，令21x =- 代入可求得
01256a a a a a -++⋯-+的值，然后将两式相加可求得0246a a a a +++的值．
详解：()62241012012562x a a x a x a x a x +=+++++中，
令21x = 代入可知6012563,a a a a a +++⋯++=
令21x =-代入可得012561a a a a a -++⋯-+=，除以相加除以2
可得0246365a a a a +++=.
即答案为365.
点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键．
15．已知函数
ln ()
x f x
x
=，则
1
'f
e
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
____________.
【答案】2
2e
【解析】
【分析】
求导，代入数据得到答案.
【详解】
2
ln1ln
()'()
x x
f x f x
x x
-
=⇒=
2
2
12
'2
1
()
f e
e
e
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
故答案为：2
2e
【点睛】
本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.
16．如图所示，在三棱锥D ABC
-中，若AB CB
=，AD CD
=，E是AC的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
【答案】③
【解析】
【分析】
由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出结论．【详解】
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案为：③．
【点睛】
本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()335ax f x e x ax =--,其中a 为常数且0a >.
(Ⅰ)若2x =是函数()f x 的极值点,求a 的值;
(Ⅱ)若函数()f x 有3个零点,求a 的取值范围.
【答案】 (Ⅰ
) a =(Ⅱ)235+2⎛⎫⎛⎫ ⎪∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 【解析】
【分析】
（I ）由题意把2x =代入导函数，导函数得0，即可求a 的值；
（II ）由题意等价转化为函数335x ax --在区间上有三个零点问题，转化为求函数在定义域下求极值，列关于a 的不等式求解．
【详解】
(Ⅰ)依题意得()()335ax f x e
x ax =--, 所以()()322338ax f x e ax a x x a +-'=-，
2x =是函数()f x 的极值点，得f′(2)=0，
解得a =
a =，
故a =
(Ⅱ) 函数()f x 有3个零点,
即方程()0f x =有三个不同实根，
因为0ax e ≠，
所以335=0x ax --有三个不等实根，
令()3
=35g x x ax --，0a >， ()2=33g x x a -'，
令()2=33=0g x x a -'
，解得=x ±
()g x
在(,-∞
单调递增，(
单调递减，
)
+∞单调递增，
所以=x ±()g x 的极值点，
根据函数()f x 有3个零点,
需满足(
00g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩
， 解得2352a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， a 的取值范围为235+2⎛⎫⎛⎫ ⎪∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，. 【点睛】
本题考查函数零点个数求参数的取值范围,通常利用转化思想将函数进行转化成等价函数或者方程根的问题，利用导数研究函数的性质,根据条件列出不等式求解，考查数学思想方法的灵活应用，属于较难题.
18．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a
-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：
（2）求函数()f x 的值域；
（3）当[]
1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2a =（2）()1,1-（3）(
10,3
)+∞ 【解析】
【分析】 （1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.
【详解】
（1）∵()f x 是R 上的奇函数，
∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a
---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a
+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.
（2）222212()12222121
x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，
22021x ∴-<-<+, 211121
x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.
（3）由()220x
mf x +-> 可得，()2 2x
mf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21
x x x m +->- 令(2113)x
t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t
+->
=-+， 函数21y t t
=-+在1≤t≤3上为增函数， ∴max 210(1)3
t t -+=， 103
m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】
本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题. 19．已知正四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，高为2，M 为线段PC 的中点，N 为线段AP 的中点.
（1）求证：//PA 平面MDB ；
（2）求直线CN 与平面MBD 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（225 【解析】
【分析】
（1）要证明//PA 平面MDB ，利用中位线可先证明//OM AP 即可；
（2）找出直线CN 与平面BMD 所成角为MEC ∠，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.
【详解】
解：（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，
因为在PAC ∆中，M 为PC 的中点，O 为AC 的中点，
所以OM 为PAC ∆的中位线，得//OM AP ，
又因为AP ⊄平面MDB ，OM ⊂平面MDB ，
所以//PA 平面MDB ．
（2）设NC MO E ⋂=，由题意得2BP BC DP ===，
因为M 为PC 的中点，所以PC BM ⊥，PC DM ⊥，
故PC ⊥平面BMD ．
所以直线CN 在平面BMD 内的射影为直线OM ，
MEC ∠为直线CN 与平面BMD 所成的角，
又因为//OM PA ，所以PNC MEC ∠=∠． 由条件可得2PO =，22AC =，2PA PC ==，2CO AO ==，所以PC PA ⊥．
在Rt CPN ∆中，2CP =，1NP =，所以5NC =
所以2sin sin 55
PC MEC PNC NC ∠=∠==， 故直线CN 与平面BMD 所成角的正弦值为
25． 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，线面所成角的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度中等.
20．如图，在三棱锥S ABC -中，SB ⊥底面ABC ，且2SB AB ==，6=BC ，2ABC π
∠=，D 、
E 分别是SA 、SC 的中点.
(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；
(2)求二面角S BD E --的平面角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）
．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）已知SB 、AB 、BC 两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图．根据线段长度可求出相应点的
坐标，从而可推出AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=，，则，所以平面ACD ⊥平面BCD ． （Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小．
【详解】
（Ⅰ）
． 又因，所以建立如上图所示的坐标系．
所以A （2，0，0），()0,0,0B ，()0,6,0C ， D （1，0，1），，S （0，0，2）
易得，AD -101=（，，），BC 060=（，，），BD 101=（，，）
又AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=，，AD BC AD BD AD BC AD BD ∴⊥⊥∴⊥⊥，，，
又
又因， 所以平面ACD ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）又
设平面BDE 的法向量为，
则BE 0
{0n BD n ⋅=⋅=,即60z 0y z x ⎧+=⎪⎪+=⎩ 所以
又因平面SBD 的法向量为BC 06=（，，）
所以1cos ,28
63BC n
BC n BC n ⋅===-⋅⨯
由图可得二面角为锐角，所以二面角S BD E --的平面角的大小为
．
考点：•平面与平面的垂直的证明 二面角大小的求法． 21．已知函数f （x ）＝|x ﹣a|+2a ，且不等式f （x ）≤4的解集为{x|﹣1≤x ≤3}．
（1）求实数a 的值．
（2）若存在实数x 0，使f （x 0）≤5m 2+m ﹣f （﹣x 0）成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）a ＝1（2）（﹣∞，65
-
]∪[1，+∞） 【解析】
【分析】
（1）解不等式f （x ）≤4，根据其解集，得到a 的值；（2）将所求不等式转化为5m 2+m ≥[f （x ）+f （﹣x ）
]min ，得到f （x ）+f （﹣x ）的最小值，从而得到关于m 的不等式，解出m 的取值范围.
【详解】
（1）由f （x ）＝|x ﹣a|+2a ≤4，得2a ﹣4≤x ﹣a ≤﹣2a+4，
∴3a ﹣4≤x ≤﹣a+4，
∵不等式f （x ）≤4的解集为{x|﹣1≤x ≤3}， ∴34143a a -=-⎧⎨-+=⎩
，∴a ＝1； （2）由（1）知f （x ）＝|x ﹣1|+2，
∵存在实数x 0，使f （x 0）≤5m 2+m ﹣f （﹣x 0）成立，
∴只需5m 2+m ≥[f （x ）+f （﹣x ）]min
∵f （x ）+f （﹣x ）＝|x ﹣1|+|x+1|+4≥|（x ﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，
当且仅当（x ﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x ≤1时取等号，
∴5m 2+m ≥6， ∴65
≤-m 或m ≥1， ∴m 的取值范围为（﹣∞，65-
]∪[1，+∞）． 【点睛】
本题考查解绝对值不等式，绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题.
22．已知函数()2f x x a x a =++-.
（1）当0a =时，求()23f x x --<的解集；
（2）若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）(][),22,-∞-+∞.
【解析】
【分析】
（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，并将函数()2y f x x =--表示为分段函数，分段解出不等式()23f x x --<，可得出所求不等式的解集；
（2）分0a ≥和0a <两种情况，将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，求出函数()y f x =的最小值()min f x ，然后解出不等式()min 4f x ≥可得出实数a 的取值范围.
【详解】
（1）当0a =时，()22,023242,0222,2x x f x x x x x x x x --≤⎧⎪--=--=-<<⎨⎪+≥⎩
，
当0x ≤时，由223x --<，得502
x -
<≤； 当02x <<时，由423x -<，得504x <<； 当2x ≥时，不等式223x +<无解. 所以原不等式的解集为55,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （2）当0a ≥时，()3,23,3,x a x a f x x a x a x a a x a x a x a -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩
；
当0a <时，()3,23,3,x a x a f x x a x a x a a x a x a x a -+≤⎧⎪=++-=-<<-⎨⎪-≥-⎩
. 所以()()min 2f x f a a ==，由24a ≥，得2a ≥或2a ≤-，
所以实数a 的取值范围是(]
[),22,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及绝不等式不等式恒成立问题，一般采用去绝对值的办法，利用分类讨论思想求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。