2016届高考数学文一轮复习课件11.3几何概型

试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗 方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内 的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随 M 机数的个数 M 和总的随机数个数 N；③计算频率 fn(A)＝ 作为所求 N 概率的近似值．
解析
思维升华
例 1 (2)如图所示，在△ABC 中， ∠B＝60° ，∠C＝45° ，高 AD＝ 3，
解析
思维升华
解
因为 ∠ B ＝ 60°， ∠ C ＝
45°，所以∠BAC＝75°， 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，
求 BM<1 的概率．
∠B＝60° ，
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机
地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(3) 在 几 何 概 型 定 义 中 的 区 域 可 以 是 线 段 、 平 面 图 形 、 立 体 图
何概型
易知该阴影部分的面积为
4－π 随机取一个点，则此点到坐标原 是 4 ，所以选 D. 点的距离大于2的概率是( D ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内 随机取一个点，则此点到坐标原 点的距离大于2的概率是( D ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
无限性；二是等可能性．
基本事件可以抽象为点，尽
π 1 个数 x，求 cos x 的值介于 0 到 之 管这些点是无限的，但它们 2 2 所占据的区域都是有限的， 间的概率． 因此可用 “ 比例解法 ” 求解几
何概型的概率．
例 1 (2)如图所示，在△ABC 中，∠ B＝60° ，∠C＝45° ，高 AD＝ 3，在 ∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 求 BM<1 的概率．
2 距离大于1的概率为________ ． 3
构成事件A的区域的测度 . 试验的全部结果所组成的区域的测度
跟踪训练 2
(1)在区间[－π， π]内随机取出两个数分别记为 a， b， )
则函数 f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点的概率为( π A．1－ 8 π B．1－ 4 π C．1－ 2
所占据的区域都是有限的，
因此可用 “ 比例解法 ” 求解几 何概型的概率．
跟踪训练 1
(1)(2014· 湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数 X， 2 C. 5 1 D. 5
则 X≤1 的概率为( B ) 4 3 A. B. 5 5
解析
在区间[－2,3]上随机选取一个数 X，则 X≤1，即－2≤X≤1
关键：用图形准确表示
出试验的全部结果所构
成的区域，
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径 由题意将已知条件转化为事
为1、高为2的圆柱，点O为这个 件 A 满足的不等式，在图形 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 中画出事件 A 发生的区域， 内随机取一点P，则点P到点O的 通用公式：P(A)＝
且在圆柱内部的半 球的体 1 4 2 3 积 V 半球＝ × π×1 ＝ π. 2 3 3
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径
则点 P 到点 O 的距离小于 2 π 3 1 或等于 1 的概率为 2π＝3，
为1、高为2的圆柱，点O为这个 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点P，则点P到点O的 距离大于1的概率为________．
故点 P 到点 O 的距离大于 1 1 2 的概率为 1－3＝3.
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径
则点 P 到点 O 的距离小于 2 π 3 1 或等于 1 的概率为 2π＝3，
为1、高为2的圆柱，点O为这个 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点P，则点P到点O的
2 距离大于1的概率为________ ． 3
形．( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ 关．( × ) × )
)
(5) 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
(6) 从 区 间 [1,10] 内 任 取 一 个 数 ， 取 到 1 的 概 率 是 P
＝1 .(
9
题号
1
答案
B B 0.18
1 3
解析
2
3
4
设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，
1 2 阴影面积 2π·1 π 则 P(A)＝ ＝ ＝ . 1× 2 4 长方形面积
题型一 与长度、角度有关的几何 概型 例 1 (1)在区间[－1,1]上随机取一
解析
思维升华
π 1 个数 x，求 cos x 的值介于 0 到 之 2 2 间的概率．
题型一 与长度、角度有关的几何 概型 例 1 (1)在区间[－1,1]上随机取一
0≤x≤2， 件 A 满足的不等式，在图形 (1)设不等式组 表 0≤y≤2 中画出事件 A 发生的区域，
何概型
由题意将已知条件转化为事
随机取一个点，则此点到坐标原 通用公式：P(A)＝
构成事件A的区域的测度 . 试验的全部结果所组成的区域的测度
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径
等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是
圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得： 1 × 2 2 1 P(A)＝ ＝ . 2 2
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内 随机取一个点，则此点到坐标原 点的距离大于2的概率是( ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
解析
思维升华
π 由概率的几何概型知：cos x 2 1 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 3 1 ＝ . 2 3
π 1 个数 x，求 cos x 的值介于 0 到 之 2 2 间的概率．
题型一 与长度、角度有关的几何 概型 例 1 (1)在区间[－1,1]上随机取一
解析
思维升华
几何概型有两个特点：一是
何概型
随机取一个点，则此点到坐标原
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内 点的距离大于2的概率是( ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
0≤x≤2， 正方形OABC及其 (1)设不等式组 表 0≤y≤2 内部为不等式组
何概型
解析 如图所示，
随机取一个点，则此点到坐标原
表示的区域D，且区域D的
面积为4，而阴影部分表示
的是区域 D 内到坐标原点
的距离大于2的区域．
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内
0≤x≤2， (1)设不等式组 表 4－π.因此满足条件的概率 0≤y≤2
为1、高为2的圆柱，点O为这个 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点P，则点P到点O的 距离大于1的概率为________．
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径 求随机点所在区域与所有
为1、高为2的圆柱，点O为这个 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点P，则点P到点O的 距离大于1的概率为________．
AD 所以 BD＝ ＝1， tan 60° ∠BAD＝30° .
例 1 (2)如图所示，在△ABC 中， ∠B＝60° ，∠C＝45° ，高 AD＝ 3，
解析
思维升华
记事件 N 为 “ 在 ∠ BAC 内作射
线AM交BC于点M，使BM<1”, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则可得∠ BAM< ∠ BAD时事件
0≤x≤2， (1)设不等式组 表 0≤y≤2
何概型
数形结合为几何概型问 题的解决提供了简捷直 观的方法．用图解题的
关键：用图形准确表示
出试验的全部结果所构
成的区域，
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内 点的距离大于2的概率是( D ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
3 的概率为 P＝ . 5
跟踪训练1 (2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作
1 垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是____ 2 ．
解析 记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，
如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上
任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是
0≤x≤2， (1)设不等式组 表 0≤y≤2
何概型
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内 点的距离大于2的概率是( ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
0≤x≤2， 求随机点所在区域与所有 (1)设不等式组 表 0≤y≤2 区域的面积或体积比．
数学 A（文）
第十一章 概 率
§11.3 几何概型
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称 为 几何概型 ． 2．几何概型中，事件A的概率的计算公式
解
解析
思维升华
(1)如图，由函数 y＝
π cos x 的 2 图象知，
π 1 个数 x，求 cos x 的值介于 0 到 之 2 2 间的概率．
2 2 当－1< x< － 或 < x<1 时， 3 3 π 1 0<cos x< . 2 2
题型一 与长度、角度有关的几何 概型 例 1 (1)在区间[－1,1]上随机取一
故点 P 到点 O 的距离大于 1 1 2 的概率为 1－3＝3.
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径
为1、高为2的圆柱，点O为这个 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点P，则点P到点O的
2 距离大于1的概率为________ ． 3
数形结合为几何概型问 题的解决提供了简捷直 观的方法．用图解题的
3π D．1－ 4
解析 (1)由函数 f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点，
可得 Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得 a2＋b2≥π2，
如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}， 其面积SΩ＝(2π)2＝4π2. 事件A表示函数f(x)有零点，
区域的面积或体积比．
思维点拨
解析
答案
思维升华
例2
(2) 有一个底面圆的半径 解析 先求点 P 到点 O 的距
2 ＝ π×1 × 2＝ 圆柱
为1、高为2的圆柱，点O为这个 离小于或等于 1 的概率，圆 圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 柱的体积 V 距离大于1的概率为________． 内随机取一点P，则点P到点O的 2π，以 O 为球心，1 为半径
求 BM<1 的概率．
N发生．
由几何概型的概率公式，得 30° 2 P(N)＝ ＝ 75° 5
.
例 1 (2)如图所示，在△ABC 中， ∠B＝60° ，∠C＝45° ，高 AD＝ 3，
解析
思维升华
几何概型有两个特点：一是
无限性；二是等可能性． 管这些点是无限的，但它们
在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，基本事件可以抽象为点，尽 求 BM<1 的概率．
何概型
易知该阴影部分的面积为
4－π 随机取一个点，则此点到坐标原 是 4 ，所以选 D. 点的距离大于2的概率是( ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
题型二 例2
与面积、体积有关的几
思维点拨
解析
答案
思维升华
示的平面区域为 D ，在区域 D 内
0≤x≤2， (1)设不等式组 表 4－π.因此满足条件的概率 0≤y≤2
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)＝ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 无限多个 ；
(2)等可能性：每个结果的发生具有 等可能性．
4．随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个