高二数学 平行六面体与长方体 课件

课本P63习题9.9第4、5题
∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0。∴最短线路长为
a 2 b 2 c 2 2bc
2、平面图形立体化思想
［例4］如图是正方体的一个展开图，当 用它合成原来的正方体时，与边P重合的边 是哪一条？ 分析：此题可先将正方 体合成，结论很快得到 解决，若只考虑边的重 合，会更快地得出结论. 解：首先有L和K重合， 其次有I和J重合，则P 与H重合.
底面是正方形 ，侧棱与 底面垂直 ，棱长 都 相等 。
长方体
正方体
根据所学概念，回答下列问题：
问题1：平行六面体的各个面是什么样的四
边形？直平行六面体、长方体、正方体呢？ 问题2：长方体是直四棱柱，直四棱柱是
长方体吗？ 问题3：正方体是正四棱柱，正四棱柱是正 方体吗？
四棱柱的分类 平行六面体 四棱柱 底面是平 侧棱与底面垂直 行四边形 侧棱与底面垂直 底面是平 行四边形 底面是正方形 直四棱柱 直平行六面体
教学难点及突破方法
如何将旧知识重新组合灵活解决新问题 的能力.在处理平行六面体的性质时，引导 学生用联系的观点、类比的思想方法分析 解决问题，从而得到既解决了新问题又找 到了新旧知识间的联系的目的.并通过典型 习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导 学生思考来突破难点。
教学方法 讲练结合，渗透研究性学习。
求证：对角线AC1、BD1、CA1、DB1相交
于一点，且在点O处互相平分.
证法一：转化为证四条 对角线的中点重合。即证 某个顶点到四个中点的向 量相等。 证法二：先证两条线交 于一点，再证其余两线也 过此点.
O
例2.已知平行六面体ABCD－ A`B`C`D`, AB=1,AD=3,AA`=2;AB、AD、 AA` 两 两夹角均为60º ;M为CC`的中点 .
9.9.3 平行六面体与长方体
甘肃省会宁四中 王国瑞
教学目的
1. 掌握四棱柱的几种特例的图形特征及 相互之间的关系； 2.平行六面体性质的推导与应用；
3.长方体对角线性质定理的应用；
4 .会用平面图形立体化与立体图形平面 化的思想处理有关问题.
教学重点及解决方法
平行六面体的性质和长方体对角线性质 定理的应用.通过分析平行四边形的性质从 而发现并能归纳出平行六面体的性质.通过 典例剖析和练习让学生熟练巩固长方体的 对角线性质并能灵活应用于计算证明中， 在运用中形成能力。
底面是矩形
正四棱柱
底面是正方形 长方体 练习：课本P58第3题.
侧面也是正方形
正方体
性质 一、平行六面体的性质
平行六面体的性质研究可以与平面几何中的 平行四边形的性质联系起来。
1、平行六面体的对面 平行且全等 . 2、平行六面体的四条 对角线一定 交于一点 ， 且在交点处 互相平分 .
O
例1.已知：平行六面体ABCD—A1B1C1D1
3
6
（4）长方体的全面积为11，十二条棱
的长度之和为24，则这个长方体的对 5 角线长为 。 （5）在长方体AC1中，∠D1AD=450， ∠B1AB=600，则∠B1AD1的余弦值
是
6 4
。
平面图形立体化与立体图形平面化
1、空间问题平面化思想
［例3］长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=a,BC=b,BB1=c, 并且a>b>c>0,求沿着 长方体的表面自A到 C1的最短线路的长. 分析：解本题可将长方体表面展开， 可利用在平面内两点间的线段长是两点间 的最短距离来解答.
解：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能.
以上三个图形（甲）（乙）（丙）中AC1的长分别是
(a b) 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2ab a (b c) a b c 2bc
2 2 2 2 2(a 源自c) 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2ac
课后思考
现有一个正方形纸片，如何将它剪拼 成一个正四棱柱并使其全面积等于这个正 方形面积. 若将以上正方形换成一个正三角形， 又如何将其剪拼成一个正三棱柱且使其 全面积等于这个正三角形面积？
小结 1、掌握平行六面体性质推导的方法（如何证 几线共点）； 2、掌握四棱柱的几种特例的图形特征及相互 之间的关系； 3、长方体对角线性质定理的应用. 4、会用平面图形立体化与立体图形平面化的 思想处理有关问题. 作业
(1)求直线AM的长
18
A`
(2)求直线AM与BC所成的角
D` C` D B`
2 2 arccos 3
M
C
A B
性质 二、长方体的性质 长方体一条对角线的平方等于同一个 顶点上三条棱长的平方和
证法一：利用数量积的 运算来证。
证法二：利用向量的坐 标 运算来证. 证法三：利用图形的特 征 （Rt)来证.
D1 A1 D A B1
C1
C B
练 习
课本P58 第4、5题.
［例1］设过长方体同一个顶点的三个面的 对角线长分别是a、b、c,那么这个长方体的 对角线长是多少？ 设一个顶点上三条棱长 分别是x、y、z,依题设得
x y a 2 2 2 y z b x 2 z 2 c 2
2 2
2
1 2 2 2 ∴对角线长 l = (a b c ) 2
注意运算中整体 思想的运用。
三、巩固练习： 1、填空题
（1）正方体对角线长为a，则它的棱长 3 为 a。 （2）长方体的三条棱长的比是1：2：3， 全面积是88，则这三条棱长分别 是 2， 4， 6 。 （3）长方体的三个面面积分别是 2, 3, ， 6 则长方体的对角线长为 。
复习引入
平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的 轨迹所形成的几何体，叫做 平行六面体， 并记作：ABCD－ A1B1C1D1 。
D
A` D`
A C
它的六个面都是 平行四边形，每个面 C`的边叫做平行六面体 的 棱。
B
B`
概念
特殊四棱柱 图形 特征
平行六面体
直平行 六面体
各面都是 平行四边形 底面是平行四边形 ， 侧棱与底面 垂直 。 底面是 矩形 ， 侧棱与底面 垂直 。