山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题文

山东省烟台市2018届高三数学上学期期末自主练习试题 文
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，集合{}
260A x x x =--≥，{}1B x x =≥，则()U C A B =( )
A.{}13x x ≤<
B.{}23x x ≤<
C.{}3x x >
D.∅
2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A.15
B.
25
C.
8
25
D.
925
3.已知()1
sin 3
πα+=-，则tan α=( )
A.
C.
D.±4.已知等比数列{}n a 中，21066a a a =，等差数列{}n b 中，466b b a +=，则数列{}n b 的前9项和为( ) A.9
B.27
C.54
D.72
5.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的平均数为16，则,x y 的值分别为( ) A.8，6
B.8，5
C.5，8
D.8，8
6.设变量,x y 满足约束条件030210x y x x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≥⎩
，则z x y =-的最大值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
7.过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O
为坐标原点，若AOB △的面积为8
3
，则双曲线的渐近线方程为( )
A.3
2
y x =±
B.y =±
C.y =±
D.2y x =±
8.函数()()
22x f x x x e =-的图象大致是
( )
A
B
C
D
9.将函数()sin 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，然后再将
所得图象上的每一点向右平移6
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴方程可能是( ) A.3
x π=-
B.6
x π=
C.3
x π=
D.23
x π=
10.如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确的是( )
A.在DMN △内总存在与平面ABC 平行的线段
B.平面DMN ⊥平面11BCC B
C.三棱锥1A DMN -的体积为定值
D.DMN △可能为直角三角形
11.已知函数()22ln f x x x =-与()()()cos 0g x x ωϕω=+>的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数()g x 可能为( ) A.()()cos g x x π=-
B.()()cos 2g x x π=
C.()cos 42g x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D 地中海()cos 24g x x ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
1
1
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()
a b b +⊥，则实数m =_______________________. 14.方程()f x x =的解称为函数()f x 的不动点，若()2
ax
f x x =
+有唯一不动点，且数列{}n a 满足11
2a =
，111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则2018a =_______________________. 15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥P ABC -为鐅臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB =，4BC =，AB BC ⊥，则该鐅臑的外接球的表面积为__________.
16.已知点()1,0A -，()1,0B ，若曲线C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“L -曲
线”，给出下列曲线：①24x y +=；②2
2
12
x y +=；③2
212x y +=；④2221y x -=；⑤22y x =+.
其中是“L -曲线”的所有序号为_______________________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-. (1)求B 的值；
(2)若3b =，求a c +的最大值.
18.为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示
.
(1)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命； (2)已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合格产品中不低于90小时为优异，其余为一般.现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，其中甲系列有35件(1件优异).请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有95%的把握认为产品优异与系列有关？
参考数据：
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
19.如图，四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，DA DS =，DA DS ⊥，
2AB BS SA BD ====.
(1)求证：平面ASD ⊥平面ABS ； (2)求四棱锥S ABCD -的体积.
20.椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，以1F 为圆心，
1为半径的圆和以2F 1-为半径的圆的交点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的下顶点为A ，直线3
:2
l y kx =+
与椭圆C 交于两个不同的点,M N ，是否存在实数k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21.已知函数()()()2ln 2f x x ax a x a =+++∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)设()2x
x
g x e =
-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围(其中 2.71828...e =为自然对数的底数).
22.已知曲线C 的参数方程为2
x t y t =⎧⎨=⎩
，l 是过定点()1,2M -，倾斜角为3
4π的直线.
(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，写出直线l 的极坐标方程； (2)已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求
11
MA MB
+
的值. 23.已知函数()21f x x =+，()123g x a x =---. (1)当5a =-时，求()()f x g x ≤的解集；
(2)若存在实数x 使得()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
ABCBA CBCCD A B 二、填空题
13. 814.100915. 29π16. ②④ 三、解答题
17.解:（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，()()()b c b c a a c -+=-， 即 222=+-b a c ac ，
由余弦定理，得2
1
2cos 222=-+=ac b c a B ，
∵()π,0∈B ，∴3
π
=
B ；
（2）由（1）知 229=+-a c ac 2
()3=+-a c ac
于是 22
()9()32
a c a c ac +-+=≤，
解得 6≤+c a ，
当且仅3a c ==时，取等号.
所以c a +的最大值为6. 18.解：（1）由题意，
450.0110550.0210650.0310750.02510
x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.0110950.00510+⨯⨯+⨯⨯67=
（2）产品使用寿命处在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率之比为
1:2:5:605.0:1.0:25.0:3.0=，
因此，产品使用寿命处于[90，100]的抽样件数为1
70514
⨯
=.……6分
依题意，可得列联表：
22
2
()70(434311) 1.938 3.841()()()()3535655
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，
对照临界值表，没有95%的把握认为产品优异与产品系列有关． 19.（1）证明：取AS 中点H ，连接,DH BH ， 因为ABS ∆等边三角形，所以⊥BH AS ，
且=BH 又
DAS ∆为等腰直角三角形，斜边2=AS ， 1.∴=DH
在DHB ∆中，2,1,===DB DH BH
222∴=+DB DH BH
BH DH ∴⊥， ⊥BH AS ，⊥BH DH
=AS
DH H ，⊂AS 平面ADS ，⊂DH 平面ADS
BH ADS ∴⊥平面，
又⊂BH 平面ABS ，
所以平面ASD ⊥平面ABS ；
（2）由（1）知，平面⊥BH ADS ，
所以，BH 为三棱锥-B ADS 的高. 又
112∆=
=ADS S
，111333
-∆∴=⋅⋅==S ABD ADS V BH S ，
323
S A BCD S ABD V V --∴==
. 20.解：（1）由题意可得⎪⎩⎪
⎨⎧=
-++=36
)13()13(2a
c a ， 解得2,3==c a ，
所以1=b ，
所以椭圆的方程为13
22
=+y x ；
（2）由题意知0≠k ，
联立方程223213
⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y kx x y ，整理得 04159)31(2
2=+
++kx x k ， 2215814(13)04∆=-+⋅
>k k （化简可得12
5
2>k ），① 设),(),,(2211y x N y x M ，则
2
21319k k
x x +-=+，122154(13)=+x x k ,
设MN 中点为H ，
由221319k k x x +-
=+，知2
2
121313
3)(k x x k y y +=++=+， 所以点H 的坐标为22
93
(,)2626k H k k
-++， 因为AM AN =，所以⊥AH MN ，
又直线,AM MN 斜率均存在，所以1⋅=-AH MN k k .
于是⋅=AH MN
k k 2
2
3
12619026++⋅=---+k k k k ， 解得322
=
k ，即3
6±=k ， 将3
6
±
=k 代入①，满足0∆>．故存在k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k
值为 21.解：（1）()1(21)(1)
()2(2)0++'=
+++=>x ax f x ax a x x x
， 当0≥a 时，0)(>'x f ，)(x f 在()∞+，
0单调递增； 当0<a 时，令0)(>'x f ，解得a x 10-
<<，令0)(<'x f ，解得a
x 1
->， 此时)(x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛-a 1,0递增，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,1a 递减． （2）2e )(-=
x x x g ，所以x
x
x g e
1)(-='， 当()1,∞-∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，
当()∞+∈，1
x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减， ∴(]2,0∈x 时，)(x g 的值域为1
(2,
2]e
--， 当)()(0x g x f =，(]0,e ∈x 有两个不同的实数根，则0<a
且满足()e 2,10e,11() 2.e ⎧
⎪≤-⎪
⎪
<-<⎨⎪
⎪->-⎪⎩
f a f a ，
由2e e 2e 1)e (2
-≤+++=a a f ，∴e
e e
232++-
≤a ①， 又10e <-
<a ，解得1e <-a .② 由2e 1121)1ln()1(->--+-=-a a a a f ，1e
1
1)1ln(->--a a ，
令x x x h +=ln )(，知)(x h 单调递增，
而1e 1)e
1(-=
h ，于是e
1
1>-a 时，解得e<0-<a ， ③ 综上，e
e e
23e 2++-≤<-a ．
22.解:（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，
将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=；
(2 ) 曲线C 的方程为2
y x =，直线l 的参数方程为
31cos 4
32sin 4，ππ
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩x t y t ，即
12
(22
x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，为参数），，
联立得：220t -=
，所以12122,t t t t =-+=
所以
1212112
+-+===MA MB t t MA MB MA MB t t . 23. 解：（1）当5a =-时，原不等式可化为6|32||12|≤-++x x ,等价于
⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-6)32()12(2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--
<6)32()12(2
3x x x 解得223≤<x 或2321≤≤-x 或2
11-<≤-x
所以原不等式的解集为{}21|≤≤-x x .
（2）因为存在实数x 使得|1||32||12|-<-++a x x 成立，所以
min |1|(|21||23|)->++-a x x .
又4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x
4|1|>-∴a ，解得3-<a 或5>a .
所以实数a 的取值范围是),5()3,(+∞--∞ .。