上海曹杨二中高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．已知(
)
2
22
1
4a x ex dx π-=
--⎰，若()
2016
20121ax b b x b x -=++ 2016
2016b x ++（x R ∈），则12
222
b b + 2016
20162
b ++
的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．e
2．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．32π
B ．36π
C ．128π
D ．144π
3．定积分= A ．
B ．
C ．
D ．
4．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2
cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3
sin F x x x =+， ()2
3cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．
的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数
5．若函数()3
1f x x ax x =++
在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．13,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ 6．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3
30
4S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）
A ．1-或1
2
-
B ．1或12
-
C ．12
-
D ．1
7．设()2
012a x dx =-⎰,则二项式6
212
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．240
B ．240-
C ．60-
D ．60
8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A ．
163
B ．83
C ．
43
D ．
23 9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
56
10．下列积分值最大的是（ ） A ．2
2
2sin +1x x dx -⎰
（）
B ．
()22
cos x dx π
π--⎰
C ．
2
2
4x dx --⎰
D ．
1
1
e
dx x
11．由曲线4y x =，1
y x
=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．
17
2ln 22
- B ．
15
2ln 22
- C ．
15
+2ln 22
D ．
17
+2ln 22
12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．﹣2或4
D ．4
二、填空题
13．已知曲线与直线
所围图形的面积______.
14．定积分
1
21
(4sin )x x dx --=⎰
________.
15．已知曲线y x =
2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则
S =__________．
16．已知函数()32
3232
t f x x x x t =
-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．
17．若二项式2651()5x x +的展开式中的常数项为m ，则2
1
(2)d m
x x x -=⎰_________．
18．若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有
()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义
在()0,+∞的函数：①31y x =-+；②2sinx-cosx y x =+；③,0
{
0,0
ln x x y x ≠==；
④22
4,0
{
,0
x x x y x x x +≥=-+<，其中“z 函数”对应的序号为__________．
19．若()()4
112ax x -+的展开式中2
x 项的系数为4，则
2
1
a
e dx x
=⎰________________ 20．π
π
(sin )d x x x -+=⎰
________.
三、解答题
21．计算： （1）7
10C （2
）
(2
2
2x dx -⎰
22．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；
（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围. 23．
已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .
(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积. 24．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值： （1
）a
-⎰
；
（2
）
)
10
x dx ⎰.
25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为
1
12
， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程. 26．已知()()2
1ln 12
f x x a x ax =-++
，a ∈R ． （1）若1a =，求()f x 在()()
22f ,处的切线方程；
（2）讨论()f x 的单调性；
（3）设1x ，()212x x x <是()f x 的两个极值点，若2a ≥，求()()12f x f x -的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
因为
2
22
4d x x --⎰
表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即
2
2
2
4d 2πx x --=⎰
，2
2222
1e d (e )|02x x x --==⎰，所以(
)
2
22
1
4e d 2a x x x π-
=--=⎰，
则()
2016
201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令1
2
x =
，得12
02022
b b b =+
+ 20162016
2b ++
，则12
222
b b + 2016
2016
12
b ++
=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.
2．A
解析：A 【解析】
由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，
如图所示，
取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为
DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半
径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．
点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正
确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.
3．B
解析：B
【解析】 由题意得
，故选B.
4．D
解析：D
【解析】由①,
()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C
正确; 由②,
()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D
错误,故选D.
5．D
解析：D
【解析】由题意得()2
2130f x x a x =+-
≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2
213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以
2
213131334,444
y x a x =
-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：解：∵3
30
4S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=
32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12
-，
故选B
考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算
点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．
7．D
解析：D
【解析】
试题分析：242a =-=-，6
2122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()
()6621
1236
6112222r
r
r
r
r r r
C x x C x
----⎛⎫
⎛⎫
-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，1230,4r r -==，系数为()2
4
4
612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.
考点：定积分、二项式定理．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2
y
x ，则阴影部分的面积为2
2
3200
18|33S x dx x ===⎰，故选B.
考点：幂函数的解析式；定积分的应用.
9．A
解析：A 【解析】
曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
()1
2
2
3100
1
11
|2
36
x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A. 10．A
解析：A 【分析】
对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果. 【详解】
A ：2
2
2
222
2
2
sin +1sin 1x x dx x xdx dx ---=
+⎰
⎰
⎰（），函数y=2sin x x 为奇函数，故
2
2
2
sin 0x xdx -=⎰
，2
2
2
2
22
2
sin +11|2(2)4x x dx dx x ---===--=⎰⎰（），
B:
222
2
(cos )sin sin sin 222x dx x π
π
ππππ-
-
⎡⎤⎛⎫-=-=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，
C:
-⎰
表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的1
4
，故
1
44
ππ-=
⨯⨯=⎰
， D:
11
1dx ln |ln ln11e
e x e x
==-=⎰
， 通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选A 【点睛】
计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积212
1(4)S x dx x
=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，联立方程组41
y x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得12x =， 所以曲线4y x =，1
y x
=
，2x =围成的封闭图形的面积为 2222
211
22
11115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】
∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，
∴若2
0(22)(2)0t
t x dx x x -=-⎰ =t 2
﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.
二、填空题
13．32-2ln2【分析】先确定交点坐标得到积分区间确定被积函数求出原函数即可求得结论【详解】解：由题意曲线y=2x与直线x+y=3的交点坐标为1221∴曲线y=2x与直线x+y=3所围成的封闭图形的面
解析：
【分析】
先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．
【详解】
解：由题意，曲线与直线的交点坐标为，
曲线与直线所围成的封闭图形的面积为
故答案为：．
【点睛】
本题考查定积分知识的运用，确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，是解题的关键，属于中档题．
14．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x轴围成的图形CDAB∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）
解析：2
3 3
π
+
【解析】
分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为
0，可得解.
详解：1
1
1
2
2
1
1
1
(4sin )4sin x x dx x dx xdx ----+=
-+=⎰
⎰⎰，
∵
21
4x dx --表示圆224x y +=与x 轴围成的图形CDAB ，
OAB 121
423363
2
OCB ODA
S S
S
π
π=⨯⨯=+=⨯扇形，.
∴
21
2433
x dx π
--=
又sin x 为奇函数，所以1
1
sin 0xdx -=⎰
，
∴
1
2
1
2(4sin )33
x x dx π
--=⎰
故答案为：
233
π
+ 点睛：定积分的计算一般有三个方法： （1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
15．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为：
解析：7
6
【解析】
由题意得，曲线,2y x y x =
=-与x 轴所围成的图形的面积为：
2
3122201
1
21237
(2)|(2)|232326S xdx x dx x x x =
+-=+-=+-=⎰. 16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填
解析：90,8⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=
在()0,+∞有两个不等根，所以302980t
t ⎧
>⎪⎨⎪∆=->⎩
，解得908t <<，填90,8⎛⎫
⎪⎝⎭ 17．【解析】解答：由Tr+1=⋅⋅()r=令12−3r=0得r=4∴m=()2⋅=3则==(x3−x2)=(×33−32)−(−1)=故答案为： 解析：2
3
【解析】 解答：
由T r +1=6r
C
⋅62r
-⎫⎪⎪⎝⎭
⋅(
1x
)r =6123r 65x 5r
r
C --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
令12−3r =0，得r =4. ∴m 2⋅4
6C =3. 则
()
2
1
2d m
x
x x -⎰=(
)
3
2
1
2d x x x -⎰
=(13x 3−x 2)31 =(13
×33−32)−(1 3−1)=2
3.
故答案为：
2
3
. 18．②④【解析】函数在上单调递增①②③为单调递减④单调递增;单调递增;且所以为单调递增选②④
解析：②④
【解析】()()()()()()()()
1122122112120x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇔-->⇔函数()f x 在R 上单调递增.
①2
30y x =-'≤, ②π2cos sin 204y x x x ⎛⎫
=++=++
> ⎪⎝
⎭
',③()0,ln x y x <=-为单调递减, ④2
0,4x y x x ≥=+单调递增; 2
0,x y x x <=-+单调递增;且2
2
0,4x y x x x x ==+=-+,所以22
4,0
{,0
x x x y x x x +≥=-+<为单调递增,选②④ 19．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项
解析：ln51-
【解析】由题意得2
x
项的系数为221
445
224,2
C aC a ⋅-⨯==
，所以52
2
5
152ln |ln ln ln5 1.222
e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
20．0【解析】试题分析：方法一：故填方法二：由于定积分性质可知对于奇函数若积分对应的区间关于原点对称那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别）故填考点：定积分运算
解析：0 【解析】
试题分析：方法一：
()()
()2
22sin cos |cos cos 0222x x x x x dx x π
πππππππ==-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪+=-=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰，故填0. 方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为0（通过图像也可以判别），故填0. 考点：定积分运算.
三、解答题
21．(1)120；(2)2π 【分析】
（1）根据组合数的对称性计算；
（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7
3
10101098
C =C ==1203⨯⨯！
； （2
）
(
2
22
2
2
2=2x dx xdx ---+⎰
⎰⎰
，其中2
2
2xdx -⎰中()2f x x =是奇函
数，所以 2
2
20xdx -=⎰
；2
-⎰
表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面
积，故
(
2
2
2
2
2
42=2022
x dx xdx π
π---++=+
=⎰
⎰⎰
. 【点睛】
（1）计算()a
a
f x dx -⎰
（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰；若()f x 为偶
函数，则
()2()2()a
a
a
a
f x dx f x dx f x dx --==⎰
⎰⎰.
（2）组合数对称性：C =C ()m
n m
n n m n -≤.
22．(1)见解析;(2) x 的范围是[0,3).
【解析】
试题分析：（1）根据均值不等式，()'x
x
f x e e -=+乘积是定值，可以证得问题.
(2)首先要根据根据函数特殊值()1
1f e e -=-，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大
小关系即可.
（1）()'2x x f x e e -=+≥=（当且仅当x x e e -=即0x =时取“=”） ∴ ()'2f x ≥
（2）由（1）可知，对任意x R ∈，均有()'20f x ≥>，所以 函数()y f x =在
(),-∞+∞上单调递增
从而()()
()212
22221f x x e e f x x f ---<-⇔--< 2221x x ⇔--<
13x ⇔-<< ，
故当对任意[
)0,x ∈+∞都有()
21
22f x x e e ---<-时，x 的取值范围是[
)0,3.
点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为x x e e -和乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f ，直接比较括号内的大小关系即可.
23．(1)2,；（2）2
2
π.
【分析】
（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为
00
sin S xdx π
=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为
20
sin V xdx π
π=⎰，根据定积分的定义解之即可．
【详解】 （1）000
sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x π
ππ=
=-=---=+=⎰
；
（2）22
00
11sin sin 2|(0)24242x V xdx x π
π
πππππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭
⎰
.
【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
24．（1）2
2
a π；（2）
142
π-. 【分析】
（1）由定积分
2
2a a
a x dx 的几何意义可知，该定积分表示圆222x y a +=与x 轴所围
成的上半圆的面积，则根据圆的面积公式即可求值；
（2）在同一直角坐标系内画出圆22(1)1x y -+=和直线y x =的图像，由定积分
(
)
120
1(1)x x dx ---⎰的几何意义可知，该定积分表示表示圆22(1)1x y -+=与直线
y x =所围成的图形的面积，
【详解】 解：(1)2
2a a
a x dx 表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，
因此2
2
2
2
a a
a a
x dx
π；
(2)
(
)
120
1(1)x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =
所围成的图形(如图所示)的面积，
因此
2
12
11
11(1)
=
114
2
42
x x dx ππ
. 【方法点睛】
定积分的几何意义为曲边梯形的面积，故求定积分
()d b
a
f x x ⎰
时，可考虑为函数()
y f x =的图像与x 轴，以及直线x a =和x b =所围成的图形的面积.若求的是
()
()b a
f x
g x dx ，则可考虑为()y f x =为上边界，()y g x =为下边界的图形位于直
线x a =和x b =之间的部分的面积. 25．（1）()1,1A ；（2）21y x =-. 【分析】
（1）设切点()00,A x y .过A 作AB x ⊥于B 点，由导数得切线斜率，从而可写出切线方程，求出切线与x 交点C 的坐标，用定积分的几何意义求得曲线2y
x ，直线AB ，x 轴
围成的图象面积，再减去ABC 面积等于
1
12
，从而求得切点坐标； （2）由（1）求得切线斜率，得切线方程． 【详解】
（1）如图所示，设切点()00,A x y .过A 作AB x ⊥于B 点，
由2y x '=知过A 点切线方程为()0002y y x x x -=-且2
00y x =，
即2
002y x x x =-.令0y =，得0,02x C ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 设由曲线与过A 点的切线及x 轴围成的面积为S ， 则S S =曲线OAB 112
ABC
S
=
- ∵S 曲线OAB 0
02
332300
00000
11111,33
2224
x x ABC
x x dx x x S BC AB x x x ⎛
⎫==
==
⋅=-= ⎪⎝⎭⎰
， ∴3
33000111123412
x x x =-=.解得01x =，所以01y =，即(1,1)A ． （2）由（1）知(1,1)A 又01x =时，2k y '==，则切线方程为21y x =-.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查微积分的几何意义，解题方法是设切点坐标，求出切线方程，作出A 在x 轴上的射影，由微积分基本定理求得曲边三角形面积，用切线坐标表示出题中面积1
12
S =后求得切点坐标． 26．（1）1
ln 232y x =+-；（2）见解析；（3）3ln 24
- 【解析】 【分析】
（1）由导数求得f(x)在x=2处的切线斜率，再由点斜率式写出切线方程。

（2）定义域为
()0,+∞，()(
)()
11ax x f x x
--'=，分0a ≤和01a <<和1a =和1a >四种情况讨论
()f x 的单调性。

（3）由（2）知，当2a ≥时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递
减，()1,+∞单调递增。

所以()()()12111ln 22a f x f x f f a a a ⎛⎫-=-=--+
⎪⎝⎭
，记()1ln 22
a
g a a a =--
+，2a ≥， 由导数求得()g a 最小值。

【详解】
（1）1a =时，()21ln 22f x x x x =-+，()1
2f x x x
-'=+ ∴()1
22
f '=
，又∵()2ln22f =- ∴()f x 在()()
2,2f 处的切线方程为()()1
ln2222
y x --=- 即1
ln232
y x =
+- （2）()()2
1ln 12
f x x a x ax =-++
定义域为()0,+∞ ()()()()()211111
1ax a x ax x f x a ax x x x
-++-'-=-++==
令()0f x '=，则1x =或
1
a
若0a ≤，则()f x 在()0,1单调递增，()1,+∞单调递减 若01a <<，则()f x 在()0,1单调递增，11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增
若1a =，则()f x 在()0,+∞单调递增 若1a >，则()f x 在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，()1,+∞单调递增 （3）由（2）知，当2a ≥时
()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，()1,+∞单调递增
故()()()()()1211
1111ln 1ln1122f x f x f f a a a a a
a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-++--++
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1ln 22
a
a a =--
+ 记()1ln 22a g a a a =--+，2a ≥，则()()2
2211110222a g a a a a
-=-++=≥' ∴()g a 在[
)2,+∞单调递增 ∴()()min 32ln24g a g ==-，即()()12f x f x -的最小值为3
ln24
- 【点睛】
可导函数y=f(x)在0x x =处的导数就是曲线y=f(x)在0x x =处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在0x x =处的切线是000()()()y f x f x x x '-=-,若求曲线y=f(x)过点(m,n)
的切线,应先设出切点00(,())x f x ,把(m,n)代入000()()()y f x f x x x '-=-,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。