2023年四川省成都实验外国语学校直升数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）﹣5的倒数是（）
A．B．﹣C．﹣5D．5
2．（4分）成都马拉松是一个传统的长跑赛事，2022年的成都马拉松于11月20日举行，共吸引了3万名左右长跑爱好者前来参赛，成都人民向世界展示了爱运动的良好风貌．将数据3万用科学记数法表示为（）
A．3×106B．3×105C．3×104D．3×103
3．（4分）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）
A．45°B．48°C．50°D．58°
4．（4分）下列计算正确的是（）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+1）2＝a2+1
5．（4分）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．21，21B．21，21.5C．21，22D．22，22
6．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）
A．8B．9C．10D．11
7．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）
A．2，B．2，πC．，D．2，
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（）x﹣2﹣101
y0466 A．抛物线的开口向下
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．抛物线的对称轴为直线x＝
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：my2﹣9m＝．
10．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是．
11．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OD＝2OA，BC＝3，则EF＝．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于．13．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为．
三、解答题（本大题共6个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（）﹣2﹣2cos30°++（3﹣π）0；
（2）化简：．
15．（8分）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．今年寒假我区某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），B（安全防疫篇），C（劳动实践篇），D（体育运动篇）．如图所示是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图．
（1）本次统计的总份数为份，条形统计图中B类为份；
（2）扇形统计图中B类所对应的圆心角度数为°；
（3）本次寒假作业A类优质特色作业中1班共有四人获评优秀，其中一名男生，三名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率．16．（8分）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90）
17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BC＝1，
①求△ABD的面积；
②点E为⊙O上一点，连接DE交半径OB于点F，若EA＝EF，求DF•FE的长．
18．（10分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b与双曲线相交于A，B两点，其中点A（1，a）．（1）如图1，当k＝﹣1时，
①求点B坐标；
②连接AO并延长，交双曲线于另一点C，射线AD平分∠OAB，若CE⊥AD于点E，求点E的坐标；
（2）如图2，若直线AB分别交双曲线于第一、三象限，点B关于原点的对称点为点P，连接BP，AP，若线段AP的长为，求k的值．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知α、β是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根，则α2﹣2021α+β＝．
20．（4分）在不透明的袋子中装有杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”和“莲莲”的纪念卡片共14张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“琮琮”纪念卡片的概率和拿到“莲莲”纪
念卡片的概率相同，且“宸宸”纪念卡片比“琮琮”纪念卡片多2张，那么袋子中“琮琮”纪念卡片的张数是．
21．（4分）如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，点D的对应点为点E，线段CE交线段AB于点F，再将△FEA沿F A折叠，点E的对应点为点G，如图2所示，连接BG交AC于点H．若∠EF A ＝45°，且AH＝6，则BG的长度为．
22．（4分）在平面直角坐标系xOy中，我们定义对于点P（m，n）和点P′（m，n′）两点，若n′＝，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的“衍化点”，例如：点P1（1，2）的“衍化点”是P1′（1，﹣2），点P2（﹣2，﹣1）的“衍化点”是P2′（﹣2，1），若点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣4x+1的图象上，当点P的“衍化点”P′的纵坐
标n′＝2时，则m的值为．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，延长DP交AC延长线于点E，连接BE交AP延长线于F，过点F作FG∥BC交AB延长线于点G，若AB＝6，tan∠CEP＝，则BG的最大值为．
二、解答题（共30分）
24．（8分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A（，0），B两点（点A 在点B的右侧），连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，且OB＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上的点，连接PB，PC，若S△PCB＝S
，求点P的坐标；
△CBE
（3）如图2，若（1）中的抛物线顶点为M，不经过点M的直线l与抛物线交于N，Q两点，连接NM，QM，若∠NMQ＝90°，请判断直线l是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．
26．（12分）在正方形ABCD中，点P为AD边上一动点．
（1）如图1，连接BP并延长交CD的延长线于点E，连接BD，若BD＝DE，求的值；
（2）如图2，若点P是AD中点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，延长P A交CD于点F，交BC延长线于点G，若S△ABF＝2，求CG的长．
（3）如图3，点Q是边CD上任意一点，AQ与BP交于点N，BP延长线与CD延长线交于点M，求证：．。