∥3套精选试卷∥2020年重庆市八年级上学期数学期末学业水平测试试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A ．1
B ．2
C ．8
D ．11
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系可直接解答本题． 【详解】解： 三角形的两边长分别是3和8， 设第三边长为c ，根据三角形的三边关系可得：8383c -<<+
511c ∴<<，可知c 可取值8；
故选：C ．
【点睛】
本题是基础题，根据已知的两边的长度，求出第三条边的取值范围，即可正确解答．
2．如图，三角形纸片ABC ，AB ＝10cm ，BC ＝7cm ，AC ＝6cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为（ ）
A ．9cm
B ．13cm
C ．16cm
D ．10cm
【答案】A 【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE ．
易求AE 及△AED 的周长．
解：由折叠的性质知，CD=DE ，BC=BE=7cm ．
∵AB=10cm ，BC=7cm ，∴AE=AB ﹣BE=3cm ．
△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm ）．
故选A ．
点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．一次函数()0y kx b k =+≠的图象如图所示0y <的取值范围是（ ）
A ．3x <
B ．0x >
C ．2x <
D ．2x >
【答案】D 【分析】y<0也就是函数图象在x 轴下方的部分，观察图象找出函数图象在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可得解．
【详解】根据图象和数据可知，当y ＜0即图象在x 轴下侧时，x>2，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与不等式，数形结合思想，准确识图是解题的关键．
4．在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （﹣1，5），B （3，2），C （0，1），将△ABC 平移得到△A'B'C'，点A 、B 、C 分别对应A'、B'、C'，若点A'（1，4），则点C′的坐标（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣2，2）
C ．（2，0）
D ．（5，1）
【答案】C
【分析】根据点A 的平移规律，求出点C′的坐标即可．
【详解】解：∵A （﹣1，5）向右平移2个单位，向下平移1个单位得到A′（1，4），
∴C （0，1）右平移2个单位，向下平移1个单位得到C′（2，0），
故选：C ．
【点睛】
本题考查平移变换，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．若a =8，把实数a 在数轴上对应的点的位置表示出来，可能正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】先根据实数意义判断a 的取值范围，再确定答案．
【详解】因为2=4<a=8<9=3
所以a更接近3
所以把实数a在数轴上对应的点的位置表示出来，只有C正确
故选：C
【点睛】
考核知识点：实数和数轴上的点．确定无理数的取值范围是关键．
6．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，AE、EF 为折痕，点C 落在AD 边上的G 处，并且点B 落在EG 边的H 处，若AB=，∠BAE=30°，则BC 边的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】利用三角函数求出直角三角形各边长度，再证明△AEC1和△CC1E是等边三角形，即可求出BC 长度。

【详解】解:连接CC1，如下图所示
∵在Rt△ABE中,∠BAE=30，AB=
∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,
∴∠AEB1=∠AEB=60°
由AD∥BC,得∠C1AE=∠AEB=60°
∴△AEC1为等边三角形,
∴△CC1E也为等边三角形,
∴EC=EC1=AE=2
∴BC= BE+EC=3
所以A选项是正确的
【点睛】
本题考查直角三角形中的边角关系，属于简单题，关键会用直角三角函数求解直角边长。

731
2
，0，-2这四个数中，是无理数的为（）
A．0 B．1
2
C
．3D．-2
【答案】C
【解析】在3，
1
2
，0，-2这四个数中，有理数是
1
2
，0，-2，无理数是3.
故选C.
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（）
A．
100
1
3100
3
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
B．
100
1
3100
3
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
C．
100
3100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
100
3100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】B
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
100
1
3100
3
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
9．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图（单位：cm）所示.则桌子的高度h=
图1 图2
A．30cm B．35cm C．40cm D．45cm
【答案】C
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h.
【详解】设小长方形的长为x，宽为y，由图可得
-6020h y x y x h
+=⎧⎨-+=⎩ 解得h=40cm ，
故选C.
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形列出方程组进行求解.
10．在给出的一组数0.3，3.14227-
， 2.13-中，是无理数的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．5个 【答案】B
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】0.3，3.14， 2.13-是有限小数，是有理数； 227
-，是分数，是有理数；
2个，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：含π的数等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．
二、填空题
11．请先观察下列算式，再填空：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4…通过观察归纳，写出第2020个算式是：_____．
【答案】40412﹣40392＝8×2020
【分析】观察所给的算式，左边是两个数的平方差的形式，右边是8与一个数的乘积，归纳类推出一般规律：第n 个算式的左边是22
(21)21()n n -+-，右边是8n ，据此写出第2020个算式是多少即可．
【详解】通过观察已知式子得：第1个算式223181-=⨯，即22(211)(211)81⨯-⨯=+-⨯ 第2个算式225382-=⨯，即22(221)(221)82⨯-⨯=+-⨯
第3个算式227583-=⨯，即22(231)(231)83⨯-⨯=+-⨯
第4个算式229784-=⨯，即22(241)(241)84⨯-⨯=+-⨯
归纳类推得：第n 个算式是22(21)21)(8n n n --+=
则第2020个算式是22(220201)220201)(82020-=⨯⨯+⨯-
整理得224041403982020-=⨯
故答案为：224041403982020-=⨯．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律类推题，依据已知算式，归纳类推出一般规律是解题关键．
12．若20206m =，20204n =，则22020m n -＝_____．
【答案】1
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】∵20206m =，20204n =，
∴222(2020)20200922406m n m n -=÷=÷=．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 在直线y ＝﹣x+m 上，且AP ＝OP ＝4，则m 的值为_____．
【答案】或2﹣
【分析】易知点P 在线段OA 的垂直平分线上，那么就能求得△AOP 是等边三角形，就能求得点P 的横坐标，根据勾股定理可求得点P 的纵坐标．把这点代入一次函数解析式即可，同理可得到在第四象限的点．
【详解】由已知AP ＝OP ，点P 在线段OA 的垂直平分线PM 上．
∴OA ＝AP ＝OP ＝1，
∴△AOP 是等边三角形．
如图，当m ≥0时，点P 在第一象限，OM ＝2，OP ＝1．
在Rt △OPM 中，PM == ，
∴P （2，．
∵点P 在y ＝﹣x+m 上，
∴m ＝．
当m ＜0时，点P 在第四象限，根据对称性，P ′（2，﹣．
∵点P ′在y ＝﹣x+m 上，
∴m ＝2﹣．
则m 的值为2﹣
故答案为：2﹣
【点睛】
本题考查了一次函数解析式的问题，掌握解一次函数解析式的方法是解题的关键．
14．定义运算“※”：a ※b ＝()()a a b a b b a b b a
⎧⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩＞＜，若5※x ＝2，则x 的值为___． 【答案】2.5或1．
【详解】解：当5>x 时，5※x=2可化为
525x =-，解得x=2.5，经检验x=2.5是原分式方程的解； 当5<x ，5※x=2可化为
25x x =-，解得x=1，经检验x=1是原分式方程的解． 故答案为：2.5或1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键，解题时注意分类讨论思想．
15．若25x y -=，则代数式22288x xy y -+的值为___________．
【答案】1
【分析】将22288x xy y -+因式分解，然后代入求值即可．
【详解】解：22288x xy y -+
=()22244x xy y
-+
=()222-x y
将25x y -=代入，得
原式=22550⨯=
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键． 16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于
点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；正确的个数是______个．
【答案】1
【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．
【详解】解：①根据角平分线的做法可得AD 是∠BAC 的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=10°，
∴∠CAB=60°，
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠DAB=10°，
∴∠ADC=10°+10°=60°，
因此∠ADC=60°正确；
③∵∠DAB=10°，∠B=10°，
∴AD=BD ，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③说法正确，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的判定，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 度数是解题关键．
17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=_____．
【答案】1
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD ，再求出∠ABC ，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A ，根据等角对等边可得AD=BD ，从而得解．
【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=1，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题
18．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E在BC上，将△CDE沿DE 折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．
（1）求线段DC的长度；
（2）求△FED的面积．
【答案】（1）5；（2）50 7
【分析】（1）通过证明四边形ABMD是正方形，可得DM=BM=AB=4，CM=3，由勾股定理可求CD的长．（2）由折叠的性质可得EF=CE，DC=DF=5，由“HL“可证Rt△ADF≌Rt△MDC，可得AF=CM=3，由勾股定理可求EC的长，即可求解．
【详解】解：（1）过点D作DM⊥BC于M．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，且∠B=90°，DM⊥BC，
∴四边形ABMD是矩形，且AD=AB，
∴四边形ABMD是正方形．
∴DM=BM=AB=4，CM=3，
在Rt △DMC 中，CD=22DM CM +=169+=5， （2）∵将△CDE 沿DE 折叠，
∴EF=CE ，DC=DF=5，且AD=DM ，
∴Rt △ADF ≌Rt △MDC （HL ），
∴AF=CM=3，
∴BF=1，
∵EF 2=BF 2+BE 2，
∴CE 2=1+（7-CE ）2，
∴CE=
257
∴S △FED =12×CE×DM=12×2547⨯=507 【点睛】
本题考查了折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出DM 的长是本题的关键．
19．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的一个动点(P 与B 、C 不重合)连接AP ，过点B 作BE AP ⊥交CD 于E ，将BEC ∆沿BE 所在直线翻折得到BEC '∆，延长EC '交BA 的延长长线于点F ．
（1）探究AP 与BE 的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC 时，求EF 的长．
【答案】（1）AP=BE ，证明见解析；（1）134
． 【分析】（1）AP=BE ，要证AP=BE ，只需证△PBA ≌△ECB 即可；
（1）过点E 作EH ⊥AB 于H ，如图．易得EH=BC=AB=2，BP=1，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP （即BE ）13BH=1．易得DC ∥AB ，从而有∠CEB=∠EBA ．由折叠可得∠C′EB=∠CEB ，即可得到∠EBA=∠C′EB ，即可得到FE=FB ．设EF=x ，则有FB=x ，FH=x-1．在Rt △FHE 中运用勾股定理就可解决问题；
【详解】（1）解：（1）AP=BE ．
理由：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°．
∵BE ⊥AP ，∴∠PAB+∠EBA=90°，
∴∠PAB=∠CBE ．
在△PBA 和△ECB 中，
PAB CBE AB BC
ABP BCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝
∴△PBA ≌△ECB ，
∴AP=BE ； （1）过点E 作EH ⊥AB 于H ，如图．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴EH=BC=AB=2．
∵BP=1PC ，
∴BP=1，PC=1
∴BE=AP=22223213AB PB +=+=
∴BH=222BE EH -=
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DC ∥AB ，
∴∠CEB=∠EBA ．
由折叠可得∠C′EB=∠CEB ，
∴∠EBA=∠C′EB ，
∴EF=FB ．
设EF=x ，则有FB=x ，FH=x-1．
在Rt △FHE 中，
根据勾股定理可得x 1=（x-1）1+21，
解得x=
134
， ∴EF=134
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，
然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．
20．棱长分别为5cm ，4cm 两个正方体如图放置，点P 在11E F 上，且11114
E P E
F =
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是________
106cm
【分析】根据两点之间直线最短的定理，将正方体展开即可解题.
【详解】将两个立方体平面展开，将1112E F G B 面以12E B 为轴向上展开，连接A 、P 两点，得到三角形APE ，AE=4+5=9，EP=4+1=5，2295+106cm.
【点睛】
本题考查空间思维能力.
21．先化简，再求值：253242m m m m m m -⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数作为m 的值，代入求值．
【答案】2
m m -，1． 【分析】先把括号内通分，再进行减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝
2m m -，然后根据分式有意义的条件把m ＝1代入计算即可．
【详解】解：原式＝(2)52(2)(2)3
m m m m m m m +-+⋅+-- ＝(3)2(2)(2)3
m m m m m m -+⋅+-- ＝2
m m -， ∵m ＝2或﹣2或3时，原式没有意义，
∴m 只能取1，
当m ＝1时，原式＝
002
-＝1． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的
过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22．已知，ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）把ABC ∆向下平移2个单位长度得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；
（2）请画出111A B C ∆关于y 轴对称的222A B C ∆，并写出2A 的坐标；
（3）求ABC ∆的面积．
【答案】（1）见解析；（2）（4，-1）；（3）6.1．
【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点向下平移2个单位长度后的对应点位置，然后再连接即可； （2）首先确定A 1、B 1、C 1关于y 轴对称的对称点，然后再连接即可；
（3）把△ABC 放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：A 2的坐标（4，-1）；
（3）△ABC 的面积：3×1-
12×2×3-12×1×1-12×2×3=11-3-2.1-3=6.1． 【点睛】
本题主要考查了作图--轴对称变换和平移变换，关键是找出组成图形的关键点平移后的对应点位置． 23．解方程组：
（1）2931
x y y x +=⎧⎨-=⎩
（2）4142324
3x y x y +=⎧⎪-+⎨-=-⎪⎩ 【答案】（1）14x y =⎧⎨=⎩
；（2）23x y =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）利用加减法消元法和代入消元法求解即可；
（2）先把②去分母，然后利用加减法消元法和代入消元法求解即可；
【详解】（1）2931x y y x +=⎧⎨-=⎩
①②， 由②得31y x ③，
③代入①得2(31)9x x ++=，
解得1x =，
把1x =代入③得314y =+=，
∴方程组的解是14
x y =⎧⎨=⎩； （2）方程组可化为414346x y x y +=⎧⎨-=-⎩
①②， ①+②得48x =，
解得2x =，
把2x =代入①得2414y +=，
解得3y =，
∴原方程组的解是23x y =⎧⎨
=⎩． 【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键.
24．解方程组：1127x y x y +=⎧⎨-=⎩
①②． （1）小组合作时，发现有同学这么做：①+②得318x =，解得6x =，代入①得5y =．
∴这个方程组的解是65x y =⎧⎨=⎩
，该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ．
（2）请你用另一种方法解这个方程组．
【答案】（1）加减，一元一次方程；（2）见解析
【分析】（1）先用加减消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可；
（2）先把①变形为x=11-y 代入②求出y 的值，再把y 代入①求出x 的值．
【详解】解：（1）①＋②得：318x =，解得：6x =，
把6x =代入①得：6+y 11=，解得：5y =，
∴这个方程组的解是65x y =⎧⎨=⎩
， 故答案为：加减，一元一次方程；
（2）由①变形得：11x y =-③，把③代入②得：()2117y y --=，解得：5y =，
把5y =代入①得：511x +=，解得：6x =，
∴这个方程组的解是65x y =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 25．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 和∠CAB 的平分线交于点 O ，求∠AOB 的度数．
【答案】135°
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠BAC ，再根据角平分线的定义求出∠OAB +∠OBA ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】∵∠C =90°，∴∠ABC +∠BAC =180°﹣90°=90°．
∵∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于O 点，∴∠OAB +∠OBA =（∠ABC +∠BAC ）=×90°=45°．
在△AOB 中，∠AOB =180°﹣（∠OAB +∠OBA ）=180°﹣45°=135°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列各点中，位于第二象限的是（）
A．（4，3）B．（﹣3，5）C．（3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
【答案】B
【分析】依据位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即可得到结论．
【详解】解：∵位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴位于第二象限的是（﹣3，5）
故选：B．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于掌握坐标的特征.
2．正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为（）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】C
【分析】
根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABE≌△DCE，先求出∠BEA和∠CED的度数，再求∠BEC 即可．
【详解】
解：根据正五边形的性质可得AB=AE=CD=DE，∠BAE=∠CDE=108°，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BEA＝∠CED＝1
2
（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BEC＝108°-36°-36°＝36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明△ABE≌△DCE是解题关键．
3．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．
A ．0根
B ．1根
C ．2根
D ．3根
【答案】B 【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B
4．下列各式中，正确的是( )
A ．1a b b ab b
++= B ．()22
2
x y x y x y x y --=++ C ．
23193
x x x -=-- D ．22x y x y -++=- 【答案】B
【分析】根据分式的基本性质分别进行化简即可.
【详解】解：A 、1b a+ab =b ab
+ ，错误； B 、22
2x y x y =x y （x y ）
--++ ，正确； C 、2x 31=x 3
x 9-+- ，错误； D 、
x y x y =22-+-- ，错误． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考察了分式的基本性质，分式运算时要同时乘除和熟练应用约分是解题的关键.
5．满足下列条件的不是直角三角形的是( )
A ．三边之比为1：23
B ．三边之比123
C ．三个内角之比1：2：3
D ．三个内角之比3：4：5 【答案】D
【解析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A 、222132+=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
B
、
22
21+=，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； C 、根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；
D 、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6．一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是( )
A ．a ＋b
B ．11a b +
C ．1a b +
D ．ab a b + 【答案】D
【解析】设工程总量为m ，表示出甲，乙的做工速度．再求甲乙合作所需的天数．
【详解】设工程总量为m ，则甲的做工速度为
m a ，乙的做工速度m b
． 若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数为 m
ab m m a b a b =++．
故选D ．
【点睛】
没有工作总量的可以设出工作总量，由工作时间=工作总量÷工作效率列式即可．
7．解分式方程2236111
x x x +=+--，下列四步中，错误的一步是( ) A ．方程两边分式的最简公分母是x 2－1
B ．方程两边都乘以(x 2一1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6
C ．解这个整式方程得： x ＝1
D ．原方程的解为:x ＝1
【答案】D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：分式方程的最简公分母为()2
x 1x )x (11-+=－，故A 选项正确； 方程两边乘以(x−1)(x+1)，得整式方程2(x−1)+3(x+1)=6，故B 选项正确；
解得：x=1，故C 选项正确；
经检验x=1是增根，分式方程无解．故D 选项错误；
故选D ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．若24x mx -+是一个完全平方式，则m 的值应是 （ ）
A ．2
B ．-2
C ．4或-4
D ．2或-2
【答案】C
【解析】这里首末两项是x 和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和2的积的2倍，故-m=±1，m=±1．
【详解】∵（x±2）2=x 2±1x+1=x 2-mx+1，
∴m=±1．
故选：C ．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面6m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量
8AB m =，则树高为（ ）．
A ．12m
B ．17m
C ．10m
D ．16m
【答案】D 【分析】根据题意画出三角形，用勾股定理求出BC 的长，树高就是AC+BC 的长．
【详解】解：根据题意，如图，画出一个三角形ABC ，AC=6m ，AB=8m ，
∵90A ∠=︒，
∴2222268100BC AC AB =+=+=，
∴10BC m =，
树高=61016AC BC m +=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解三角形的方法．
10．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【分析】由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.
【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,
∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，
∴∠CED=∠F=90︒，
∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，
∴∠DAB+∠DBA=12
(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确；
∴∠ADC=∠ADB=90︒，
∵AD 平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△ADC ≌△ADB,
∴DB=DC ，②正确；
又∵∠CDE=∠BDF ，∠CED=∠F ，
∴△CDE ≌△BDF,
∴DE=DF ，①正确；
故选：D.
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知A B 、两点的坐标分别为(1,1),(3,2)A B -，若点M 为x 轴上一点，且MA MB +最小，则点M 的坐标为__________. 【答案】1(,0)3 【解析】可过点A 作关于x 轴的对称点A′，连接A′B 与轴的交点即为所求．
【详解】如图，作点A 作关于x 轴的对称点A′，连接A′B 与x 轴的交于点M ，点M 即为所求．
∵点B 的坐标（3，2）点A′的坐标（-1，-1），
∴直线BA′的解析式为y=34x-14
， 令y=0，得到x=
13， ∴点M （13
，0）， 故答案为：（13
，0）． 【点睛】
此题考查轴对称问题，熟练掌握轴对称的性质，理解两点之间线段最短的涵义．
12．如图，Rt ABC 中，90C ∠︒＝，AD 为BAC ∠的角平分线，
与BC 相交于点D ，若3CD ＝，10AB ＝，则ABD △的面积是_____．
【答案】1
【分析】作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质求出DE ，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】作DE ⊥AB 于E ．
∵AD 为∠BAC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴DE=DC=3，∴△ABD 的面积12=
⨯AB ×DE 12
=⨯10×3=1． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13．计算：23
⨯=______．
【答案】6．
【解析】解：23
⨯=6；故答案为：6．
点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则a b ab
⋅=是本题的关键．14．如图，90
E F
∠=∠=︒，B C
∠=∠，AE AF
=.给出下列结论：①12
∠=∠；②BE CF
=；
③ACN ABM
∆≅∆；④CD DN
=.其中正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠EAB=∠FAC，即可判断①；根据AAS证△EAB≌△FAC，即可判断②；推出AC=AB，根据ASA即可证出③；不能推出CD和DN所在的三角形全等，也不能用其它方法证出CD=DN．
【详解】∵∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB=180∘，∠F+∠C+∠FAC=180∘，
∴∠EAB=∠FAC，
∴∠EAB−CAB=∠FAC−∠CAB，
即∠1=∠2，∴①正确；
在△EAB和△FAC中
AF AE
B C
E F
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∠∠
∠∠
∴△EAB≌△FAC，
∴BE=CF，AC=AB，∴②正确；
在△ACN 和△ABM 中
C B CAN BAM AC AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠
∴△ACN ≌△ABM ，∴③正确；
∵根据已知不能推出CD=DN ，
∴④错误；
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键在于根据全等的性质对选项进行判断.
15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长是___；
【答案】6cm
【分析】先利用“角角边”证明△ACD 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE ，CD=DE ，然后求出BD+DE=AE ，进而可得△DEB 的周长．
【详解】解：∵DE ⊥AB ，
∴∠C=∠AED=90°，
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD=∠EAD ，
在△ACD 和△AED 中，C AED CAD EAD AD DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴AC=AE ，CD=DE ，
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE ，
BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，
所以，△DEB 的周长为6cm ．
故答案为：6cm.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
16．对于实数p ，q ， 我们用符号min ｛p ， q ｝表示p ，q 两数中较小的数，如min ｛1，2｝=1，若min
｛2x+1，1｝=x，则x=___.
【答案】x=-1或x=1
【分析】根据题意，对2x＋1和1的大小分类讨论，再根据题意分别列出方程即可求出结论．
【详解】解：当2x+1＜1，即x＜0时，
min｛2x+1，1｝=2x+1
∴2x+1=x
解得：x=-1；
当2x+1＞1，即x＞0时，
min｛2x+1，1｝=1
∴x=1；
综上所述：x=-1或x=1
故答案为：x=-1或x=1．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握题意和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
17．小亮是位足球爱好者，某次在练习罚点球时，他在10分钟之间罚球20次，共罚进15次，则小亮点罚进的频数是____________. 频率是____________.
【答案】150.75
【解析】根据频数的定义，知小亮点球罚进的频数为15，罚球的总数为20，根据频率=频数÷总数可得频
率为15
20
=0.75.
故答案为15；0.75.
三、解答题
18．八年级学生去距离学校10千米的素质教育基地参加实践活动，上午8点40分一部分学生骑自行车先走；9点整，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【答案】15千米/小时
【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“上午8点40分一部分学生骑自行车先走；9点整，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间-乘
车同学所用时间=2
3
小时，根据等量关系列出方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，
由题意，得101020
260
x x
=+．
解之得：15
x=．
经检验15
x=是原分式方程的解．
答：骑车学生的速度为15千米/小时．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______，NB与MC的数量关系是_______；
（2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。

（二)拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
【答案】（一）（1）∠NAB=∠MAC，BN=MC；（2）成立，理由见解析；（二）线段B1Q长度的最小值为1．【分析】（一）（1）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（2）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（二）取A1C1的中点O，则C1O=A1O=1
2
A1C1，再判断出A1B1=
1
2
A1C1，进而得出C1O=A1O=A1B1=1，再判
断出∠B1A1C1=∠QA1P，进而判断出△PA1O≌△QA1B1，得出OP=B1Q，再判断出OP⊥B1C1时，OP最小，即可得出结论．
【详解】解：（一）（1）由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，
∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，
即：∠MAC=∠NAB
∵AB=AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC=NB，
故答案为∠NAB=∠MAC，MC=NB；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，
即：∠MAC=∠NAB，
∵AB=AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC=NB；
（二）如图3，取A1C1的中点O，则C1O=A1O=1
2
A1C1，
在Rt△A1B1C1中，∠C1=30°，
∴A1B1=1
2
A1C1，∠B1A1C1=90°-∠C1=60°，
∴C1O=A1O=A1B1=8，
由旋转知，A1P=A1Q，∠QA1P=60°，
∴∠B1A1C1=∠QA1P，
∴∠PA1C1=∠B1A1Q，
∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），
∴OP=B1Q，
要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，
在Rt△OPC1中，∠C1=30°，OC1=8，
∴OP=1
2
OC1=1，
即：线段B1Q长度的最小值为1．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出△PA 1O ≌△QA 1B 1是解本题的关键．
20．已知：如图，点B 、D 、C 在一条直线上，AB=AD ，BC=DE ，AC=AE ，
（1）求证：∠EAC=∠BAD ．
（2）若∠BAD=42°，求∠EDC 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）42°．
【解析】试题分析：（1）利用“边边边”证明△ABC 和△ADE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE ，然后都减去∠CAD 即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠ADE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EDC=∠BAD ，从而得解．
试题解析：（1）证明：在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BC DE AC AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△ADE （SSS ），
∴∠BAC=∠DAE ，
∴∠DAE ﹣∠CAD=∠BAC ﹣∠CAD ，
即：∠EAC=∠BAD ；
（2）∵△ABC ≌△ADE ，
∴∠B=∠ADE ，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B ，
∴∠EDC=∠BAD ，
∴∠BAD=42°，。