湖南省长沙市明德中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题

绝密★启用前 湖南省长沙市明德中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}1,0,2,A =-，{}|11B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}0 C ．{1} D ．{}1,0,1- 2．函数()()2lg 1f x x x =+-定义域是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．[)0,+∞ D ．()0,∞+ 3．在[]0,5中任取一实数作为x ，则使得不等式()2log 11x ->成立的概率为（ ）
A ．12
B ．35
C ．25
D ．13 4．已知直线1: 10l x m y ++=，2:10l x y --=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2 B ．1- C ．±1 D ．1 5．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．[]3,4 B ．[]2,3 C ．[1,2] D ．[]4,5 6．设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b << 7．已知向量a r 、b r 满足||1,||2a b ==r r ，且(4)a b b +⊥r r r ，则||a b +r r 为（ ）
○…………线……_
○
…
………线…15．已知函数4(1)1y x x x =+>-，则函数的最小值是___． 16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为О，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：
①直线AC 与直线1C E 是异面直线； ②1A E 一定不垂直1AC ； ③三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为⑤平面11AAC C 与平面11AA B B 所成角为45︒ 其中正确的序号为_______ 三、解答题 17．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，410S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．APEC 是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年APEC 会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC 会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]）.
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
※
※
请
※
※
不
※
※
要
※
※
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
（1）求选取的市民年龄在[30,35)内的人数；
（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与
APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概
率.
19．在ABC
V中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3
b=，()
sin2sin
B A A
+=．
（1）求边c的值；
（2）求ABC
V的面积
20．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB
为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．
21．已知以点()
3,4
C为圆心的圆C被直线:34200
l x y
+-=截得的弦长为
（1）求圆C的标准方程：
（2）求过()
1,5
A与圆C相切的直线方程：
（3）若Q是直线40
x y
--=上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直
线RS 是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由． 22．设a 为实数，函数()()1,f x x x a x R =+-∈， （1）若1a =，求不等式()2f x ≥的解集； （2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间()–1,1a a +上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）写出函数()y f x a =+在R 上的零点个数（不必写出过程）．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由交集的定义求解即可
【详解】
由题,则{}0A B ⋂=,
故选:B
【点睛】
本题考查集合的交集运算,属于基础题
2．A
【解析】
【分析】
若函数有意义,则需满足10x ->,进而求解即可
【详解】
由题,则10x ->,解得1x >,
故选:A
【点睛】
本题考查具体函数的定义域,属于基础题
3．C
【解析】
【分析】
先求解不等式()2log 11x ->,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可
【详解】
由题,因为()2log 11x ->,解得3x >, 则53255
P -==, 故选:C
【点睛】
本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式
4．D
【解析】
【分析】
当1l 为110A x B y C ++=,2l 为220A x B y D ++=,若12l l ⊥,则12120A A B B +=,由此求解即可
【详解】
由题,因为12l l ⊥,所以10m -=,即1m =,
故选:D
【点睛】
本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题
5．C
【解析】
【分析】
分别将选项中的区间端点值代回,利用零点存在性定理判断即可
【详解】
由题函数单调递增,()1ln12310f =+-=-<,()2ln 22231ln 20f =+⨯-=+>,则()()120f f <,
故选:C
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题
6．B
【解析】
【分析】
由指数函数的性质得1a >，由对数函数的性质得()0,1b ∈，根据正切函数的性质得0c <，即可求解，得到答案．
【详解】
由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈，
根据正切函数的性质，可得4tan
05
c π=<，所以c b a <<，故选B. 【点睛】 本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
先由(4)a b b +⊥r r r 可得()
40a b b +⋅=r r r ,即可求得1a b ⋅=-r r ,再对||a b +r r 平方处理,进而求解
【详解】
因为(4)a b b +⊥r r r ,所以()
2440a b b a b b +⋅=⋅+=r r r r r r ,则1a b ⋅=-r r , 所以()22222212123a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r r ,
则a b +=r r ,
故选:A
【点睛】
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
8．C
【解析】
【分析】
由等比数列性质可知1625344a a a a a a ===,进而根据对数的运算法则计算即可
【详解】
由题,因为等比数列,所以1625344a a a a a a ===,
则()()2
222232425223452162log log log log log log log 44a a a a a a a a a a +++====, 故选:C
【点睛】
本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算
9．A
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数关系求得sin α,再根据正弦的二倍角公式求解即可
【详解】
由题,因为22sin cos 1αα+=,3cos 5α=-
, 所以4sin 5α=或4sin 5
α=-, 因为()0,απ∈,所以sin 0α>,则4sin 5α=
, 所以4324sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫==⨯
⨯-=- ⎪⎝⎭, 故选:A
【点睛】 本题考查正弦的二倍角公式的应用,考查同角的三角函数关系的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
10．D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366
a b a b ==-=<所以该选项是错误的； 对于选项C,11,0,b a b a a b ab
--=-<Q ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的.
故选D
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．C 【解析】 【分析】 先令()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈,则可求得()f x 的单调区间,再根据
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,对k 赋值进而限定范围即可
【详解】 由题,令()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈,
则()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈, 当0k =时,()f x 在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增, 则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()f x 的单调增区间为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦, 故选:C 【点睛】
本题考查正弦型函数的单调区间,属于基础题 12．D 【解析】 【分析】
由y ＝f （x+2）为偶函数分析可得f （x ）关于直线x ＝2对称，进而分析可得函数f （x ）在（2，+∞）和（﹣∞，2）上都是单调函数，据此可得若f （x ）＝f （11
x 4
-+），则有x ＝11x 4-
+或4﹣x ＝11x 4
-+，变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足f （x ）＝f （11
x 4
-+）的所有x 之积，即可得答案．
【详解】
根据题意，函数y ＝f （x+2）为偶函数，则函数f （x ）关于直线x ＝2对称， 又由当x ＞2时，函数y ＝f （x ）是单调函数，则其在（﹣∞，2）上也是单调函数，
若f （x ）＝f （11x 4-+），则有x ＝11x 4-+或4﹣x ＝11x 4
-+， 当x ＝11x 4
-
+时，变形可得x 2
+3x ﹣3＝0，有2个根，且两根之积为﹣3， 当4﹣x ＝11
x 4
-+时，变形可得x 2+x ﹣13＝0，有2个根，且两根之积为﹣13，
则满足f （x ）＝f （11
x 4
-+）的所有x 之积为（﹣3）×（﹣13）＝39；
故选：D ． 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题． 13．2.6 【解析】 【分析】
根据数据表求解出,x y ，代入回归直线，求得a 的值. 【详解】
根据表中数据得：2x =，()192.2 4.3 4.8 6.742
y =
⨯+++= 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95
∴截距9
0.952 2.62
a =
-⨯= 本题正确结果：2.6 【点睛】
本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过(),x y ，从而可构造出关于
a 的方程.
14．0 【解析】 【分析】
画出可行域，分析目标函数得133
z y x =-+，当1
3y x =-在y 轴上截距最小时，即可求出z
的最小值. 【详解】
作出可行域如图：
联立30
40x x y +=⎧⎨-+=⎩
得31x y =-⎧⎨=⎩
化目标函数3z x y =+为133
z
y x =-+， 由图可知，当直线1
3
y x =-
过点(3,1)A -时，在y 轴上的截距最小, z 有最小值为0，故填0.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题. 15．5 【解析】
因为1x > ，所以10x -> ，函数
44(1)+11511y x x x x =+
=-+≥=-- ，当且仅当411x x -=
- ，即3x = 时等号成立．
点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将4
1
x x +
- 拆成4
(1)11
x x -+
+- ，凑成定值，再用基本不等式求出最小值． 16．①③④⑤ 【解析】 【分析】
由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心,由棱锥底面积与
高为定值判断③；设BE x =,列出1AE EC +关于x 的函数关系式,结合其几何意义,求出最小值判断④；由面面成角的定义判断⑤ 【详解】
对于①,因为直线AC 经过平面11BCC B 内的点C ,而直线1C E 在平面11BCC B 内,且不过点
C ,所以直线AC 与直线1C E 是异面直线,故①正确；
对于②,当点E 所在的位置满足11A E AB ⊥时,又111A E B C ⊥,1111AB B C B ⋂=,
111,AB B C ⊂平面11AB C ,所以1A E ⊥平面11AB C ,又1AC ⊂平面11AB C ,所以11A E AC ⊥,故
②错误；
对于③,由题意知,直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 是1AC 与1A C 的交点,则
1AA O V 的面积为定值,由1//BB 平面11AAC C ,所以点E 到平面1AA O 的距离为定值,所以三
棱锥1
E AAO -的体积为定值,故③正确；
对于④,设()02BE x x =<<,则12B E x =-,所以1AE EC +=由
其几何意义,即直角坐标平面内动点(),1x 与两定点()0,0,()2,0距离和的最小值知,其最小
值为故④正确；
对于⑤,由直棱柱111ABC A B C -可知,1AC
AA ⊥,1AB AA ⊥,则CAB ∠即为平面11AAC C 与
平面11AA B B 所成角,因为1AB BC ==,90ABC ∠=︒,所以45CAB ∠=︒,故⑤正确； 综上,正确的有①③④⑤, 故答案为:①③④⑤ 【点睛】
本题考查异面直线的判定,考查面面成角,考查线线垂直的判定,考查转化思想 17．（1）n a n =（2）1
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）由等差数列可得51414543
4102a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
,求得1,a d ,即可求得通项公式； （2）由（1）11
1
n b n n =-
+,则利用裂项相消法求数列的和即可 【详解】
解:（1）因为数列{}n a 是等差数列,且55a =,410S =,
则514145
434102a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
,解得111a d =⎧⎨
=⎩, 所以()()1111n a a n d n n =+-=+-= （2）由（1）,()1111111
n n n b a a n n n n +=
==-++, 所以11111111223111
n n T n n n n =-+-++-=-=+++L 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和 18．（1）30人；（2）7
10
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图，先求出年龄在[30,35)内的频率，进而可求出人数；
（2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为123,,A A A ，第4组的2名志愿者分别为12,B B ，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】
（1）由题意可知，年龄在[30,35)内的频率为1(0.010.070.040.02)50.3P =-+++⨯=， 故年龄在[30,35)内的市民人数为1000.330⨯=.
（2）易知，第4组的人数为0.210020⨯=，故第3，4组共有50名市民， 所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组
305350⨯=；第4组20
5250
⨯=. 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名志愿者分别为123,,A A A ，第4组的2名志愿者分别为12,B B ，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，
()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.
其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被选中的有：()11,A B ，
()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为7
10
. 【点睛】
本题主要考查由频率分布直方图求频数，以及古典概型的概率问题，会分析频率分布直方图，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
19．（1）2）3 【解析】 【分析】
（1）由()sin 2sin B A A +=可得sin 2sin C A =,利用正弦定理可得2c a =,即可求解； （2）先利用余弦定理求得cos C ,即可求得sin C ,再利用三角形面积公式求解即可 【详解】
解:（1）因为()sin 2sin B A A +=, 所以sin 2sin C A =,即2c a =,
则c =
（2）由（1）,则222cos
2a b c C ab +-===
所以sin C =
所以11sin 3322S ab C =
==
本题考查利用正弦定理边角互化,考查利用余弦定理求角,考查三角形面积公式的应用
20．(1)见证明；(2) 5
【解析】 【分析】
(1)根据EF 是△BDP 的中位线可知EF∥DP，即可利用线线平行得出线面平行；(2) 取AB 中点O,连接PO ，DO ，可证明∠PDO 为DP 与平面ABCD 所成角，在Rt△DOP 中求解即可. 【详解】
(1)因为E 为AC 中点，所以DB 与AC 交于点E ．
因为E ，F 分别为AC ，BP 中点，所以EF 是△BDP 的中位线， 所以EF∥DP．又DP ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF∥平面PCD ． (2)取AB 中点O,连接PO ，DO
∵△PAB 为正三角形，∴PO⊥AB， 又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD,∴DP 在平面ABCD 内的射影为DO ，
∠PDO 为DP 与平面ABCD 所成角，OP DP ==
在Rt△DOP 中，sin∠PDO=
5OP DP ==
,
∴直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值为5
【点睛】
本题主要考查了线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题.
21．（1）()()2
2
344x y -+-=（2）1x =或34170x y -+=（3）
直线RS 恒过定点1916,55⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
（1
）由弦长可得=进而求解即可；
（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可； （3）由QR ,QS 分别切圆C 于R ,S 两点,可知R ,S 在以QC 为直径的圆上,设Q 为(),4a a -,则可得到以QC 为直径的圆的方程,与圆C 联立可得()()383770x y a x y +--+-=,由
70
38370x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩
求解即可 【详解】
（1）由题,设点C 到直线l 的距离为d ,
则1d =
=,
则弦长=解得2r =,
所以圆C 的标准方程为:()()2
2
344x y -+-=
（2）当切线斜率不存在时,直线方程为1x =,圆心到直线距离为2,故此时相切； 当切线斜率存在时,设切线方程为()51y k x -=-,即50kx y k -+-=,
2=,解得34
k =,
则直线方程为
33
5044
x y -+-=,即34170x y -+=, 综上,切线方程为1x =或34170x y -+= （3）直线RS 恒过定点, 由题,2
CSQ CRQ π
∠=∠=,则R ,S 在以QC 为直径的圆上,
设Q 为(),4a a -,
则以QC 为直径的圆的方程为:()()22
2
2
344344224a a a a x y -+--+-+⎛⎫⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
整理可得()2
2
37160x y a x ay a +-+-+-=,
与圆C :2
2
68210x y x y +--+=联立可得:()()387370a x a y a -+-+-=,
即()()383770x y a x y +--+-=,
令7038370x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩,解得195165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, 故无论a 取何值时,直线RS 恒过定点1916,55⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【点睛】
本题考查圆的方程,考查已知圆外一点求切线方程,考查直线恒过定点问题
22．（1
）)
+∞（2）不存在这样的实数a ,理由见解析（3）见解析
【解析】 【分析】
（1）代入a 的值,通过讨论a 的范围,求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论a 的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于a 的不等式组,解出并判断即可；
（3）通过讨论a 的范围,判断函数的零点个数即可 【详解】
（1）当1a =时,()()22
1,1
111,1
x x f x x x x x ⎧-≥=+-=⎨-<⎩, 则当1x ≥时,212x -≥,
解得x ≥
x ≤
故x ≥
当1x <时,212x -≥,解集为∅, 综上,()2f x ≥
的解集为)
+∞
（2）()()()()()()1,11,x a x x a
f x x x a x x a x a ⎧+-<⎪=+-=⎨
+-≥⎪⎩
,显然,()10f -=,
①当1a >-时,则()f x 在1,2a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增,在1,2a a -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减,在[),a +∞上单调递增,
因为函数()f x 在()1,1a a -+上既有最大值又有最小值, 所以()max 12a f x f -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,()()min 0f x f a ==, 则()1112112a a a f a f -⎧
-≤-<⎪⎪
⎨
-⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
,即201270a a a ≤<⎧⎨--≥⎩,
解得0111a a a ≤<⎧⎪⎨≤-≥+⎪⎩, 故不存在这样的实数a ；
②当1a <-时,则()f x 在(],a -∞上单调递增,在1,2a a -⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,在1,2a -⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增,
因为函数()f x 在()1,1a a -+上既有最大值又有最小值, 故()()max 0f x f a ==,()min 12a f x f -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
, 则()1
112
112a a a f a f -⎧<+≤-⎪⎪⎨
-⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
,即232610a a a -≤<-⎧⎨++≥⎩,
解得3233a a a -≤<-⎧⎪⎨≤--≥-+⎪⎩故不存在这样的实数a ；
③当1a =-时,则()()()2
2
1,11,1
x x f x x x ⎧-+<-⎪
=⎨+≥-⎪⎩为R 上的递增函数, 故函数()f x 在()1,1a a -+上不存在最大值和最小值, 综上,不存在这样的实数a
（3
）当3a <或0a >时,函数()y f x a =+的零点个数为1；
当3a =或0a =时,函数()y f x a =+的零点个数为2；
当30a <<时,函数()y f x a =+的零点个数为3
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【点睛】
本题考查分段函数的应用,考查利用函数的单调性求最值,考查函数的零点个数,着重考查分类讨论思想
答案第15页，总15页。