最新北师大版高一数学第二学期期中考试模拟试题1及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四
第二学期期中考试试题
高一数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的表格中.
1．sin(30)-的值是（ ）
A ．12
B ．32
C ．12-
D ．32
- 2.已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于（ ）
A.(－2，－4)
B.(－4，－2)
C.(2，4)
D.(4，2)
3．已知α是第二象限角，那么2
α是（ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角
C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角
4.向量()()
AB MB BO BC OM ++++化简后等于（ ）
A ．A
B B ．A
C C ．AM
D ．BC 5.使函数sin(2)y x θ=+为奇函数的θ的值可以是( )
A ．
4π B ．2π C ．π D ．32
π 6. 在下列区间中，函数sin()4y x π=+是单调递增的是（ ）
A.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. [],0π-
D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC → 等于( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16 8．已知△ABC 中，tan A ＝－
512，那么cos A 等于( ) A. 1213 B. 513 C ．－1213 D ．－513
9. 函数)32sin(3π+
=x y 的图像可以看作是把函数x y 2sin 3=的图像作下列移动而得到（ ）
A.向左平移
6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3
π个单位长度 10.如图是函数)sin(2ϕω+=x y （02><
ωπϕ，）的图像，则ϕω、的值是（ ）
A ．1110=ω，6πϕ=
B ．11
10=ω，6πϕ-= C ．2=ω，6π
ϕ= D ．2=ω，6π
ϕ-=
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上.
11．如果()1cos 2A π+=-，那么sin 2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭
= . 12．计算1tan151tan15
︒
︒-=+ . 13.在△ABC 中，设AB a =，AC b =，点D 在线段BC 上，
且3BD DC =，则AD 用,a b 表示为 .
2
14.函数)6
56(3sin 2ππ
≤≤=x x y 与函数2=y 的图像围成一个封闭图形(如图中的阴影部分)，这个封闭图形的面积是__________.
15. 如图，平面内有三个向量OA 、
OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC
的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1， |OC | ＝32，若
(),,OC OA OB R λμλμ=+∈则λμ+的值为 .
高一数学答题卡
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在下面横线上.
11. . 12. . 13. . 14. . 15. .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知3tan =α，求下列各式的值.
（1）ααααcos 5sin 2cos 4sin 670-+； （2）.cos 8sin 2122α
α-
km h的速度向垂直于对岸的方向行17．（本小题满分12分）一艘船从A点出发以23/
km h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．驶，同时河水的流速为2/
18．（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin θ，－2) 与 b ＝(1，cos θ) 互相垂
直，其中 θ ∈(0，π2
)． (1) 求sin θ 和 cos θ 的值；
(2) 若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0 < φ < π2，求cos φ 的值．
19.（本小题满分12分）已知向量()()()6,1,,,2,3,AB BC x y CD ===-- 且//.BC DA
(1) 求x 与y 之间的关系式；
(2) 若AC BD ⊥，求x,y 的值.
20.（本小题满分13分）已知()()x x b a cos ,sin ,
3,1==，且函数()()R x b a x f ∈⋅=.
（1）求函数()x f 的最小正周期； （2) 求函数()x f 的最大值及取得最大值时自变量
x 的集合；
（3）求函数()x f 的单调递增区间.
21．（本小题满分14分）已知向量
a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
|a－b|＝25 5
.
(1) 求cos(α－β)的值；
(2) 若0 < α< π
2
，－
π
2
< β< 0，且sin β＝－
5
13
，求sin α.
高一数学期中考试试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C B D C A C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.12 12.33 13.1344AD a b =+ 14.3
4π 15. 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）（1）2014 ……6分 （2) 1 ……12分
17.（本小题满分12分）如图，设−→−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→−AB 表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→−AC 就是船实际航行的速度. ………4分 在ABC Rt ∆中，2||=−→−AB ，32||=−→−BC ，
∴22||||||AC AB BC =+222(23)4=
+=， ∴23tan 2
CAB ∠=3=，
∴60CAB ∠=. …………10分
故船实际航行速度的大小为4/km h ，方向与水流速间的夹角为60. …………12分 备注:只要步骤完整,答案正确就给满分.
18.（本小题满分12分） (1)∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ. ………… 2分
又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝
15
，∴sin 2θ＝
45
. (4)
分
又θ∈(0，π2
)，∴sin θ＝
25
5
，cos θ＝
55
. (6)
分
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋2
5sin φ＝
3
5cos φ，
∴cos φ＝sin φ. ………10分 ∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即
cos 2φ＝
12
. 又∵0<φ<π
2，∴cos φ＝2
2
. …………12分
19.（本小题满分12分）（1）(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-+ , ……… 2分
//BC DA , (,)BC x y =, (4)(2)0x y y x ∴+--+=. …………5分
即20x y +=. ① ……… 6分 （2）(6,1)AC AB BC x y =+=++, (2,3)BD BC CD x y =+=--. ………8分
AC BD ⊥, 0AC BD ∴⋅=，即(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=,
2242150x x y y ∴++--=. ② ……… 10分 ∴由①②得2,
1,x y =⎧⎨=-⎩
或63.x y =-⎧⎨=⎩ ………12分
20.（本小题满分13分）（1）因为()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=+=⋅=3sin 2cos 3sin πx x x b a x f ，所以函数()x f 的最小正周期是π2=T . ………7分
（2) 函数()x f 的最大值是2，取得最大值时自变量
x
的集合是
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈+=Z k k x x ,62ππ. ………10分 （3）函数()x f 的单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-62,652ππππ. ………13分 21.（本小题满分14分）(1)∵|a |＝1，|b |＝1， ………2分
|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2
＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β)
＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， ………6分
|a －b |2＝(25
5)2＝45
， ………7分
∴2－2cos(α－β)＝4
5，∴cos(α－β)＝3
5
. ………8分
(2)∵－π
2<β<0<α<π
2
，∴0<α－β<π.
由cos(α－β)＝3
5得sin(α－β)＝4
5
， ………10分
由sin β＝－5
13
得cos β＝
1213
. (11)
分
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×1213＋35×(－513)＝33
65. ………14分。