垂径定理和圆周角

O P
（1）
A
O
B
DE C
2
例 3：如 图 ， AB 为 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 E， 已 知 CD=12， BE=2， 则 ⊙O 的 直 径 为 _________
题型 2：添加辅助线，构造垂径定理
例 1：如 图 ， BD 是 ⊙O 的 弦 ， 点 C 在 BD 上 ， 以 BC 为 边 作 等 边 三 角 形 △ 恰好经过点 O，其中 BC=12，OA=8，则 BD 的长为_______
变 式 训 练 ：将 一 个 半 径 为 5cm 的 半 圆 O，如 图 折 叠 ，使 弧 AF 经 过 点 O，则 折 痕 AF 的 长 度 为 _________
例 4：A 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OA=3，则过点 A 且长小于 10 的整数弦的条数是（ ）
A、1 条
B、2 条
C、3 条
例 3：如图，小明顺着大半圆从 A 地到 B 地，小红顺着两个小半圆
从 A 地到 B 地，设小明、小红走过的路程分别为 a、b，
则 a 与 b 的大小关系是（ ）
A． a=b
B．a＜b
C．a＞b
D．不能确定
小试牛刀：
例4图
1、下 列 命 题 中 是 真 命 题 的 有 （ ）
①两 个 端 点 能 够 重 合 的 弧 是 等 弧 ； ②圆 的 任 意 一 条 弦 把 圆 分 成 优 弧 和 劣 弧 两 部 分 ；
11 题
14、如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm, AC 的长为
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
15、已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC
A．直径相等的两个圆是等圆
B． 长 度 相 等 的 两 条 弧 是 等 弧
C．圆中最长的弦是直径
D． 一 条 弦 把 圆 分 成 两 条 弧 ， 这 两 条 弧 可 能 是 等 弧
例 2：已知：如图，OA、OB 为⊙O 的半径，C、D 分别为 OA、OB 的中点，求证 AD=BC.
O
C
D
例 3：A、 B 是 半 径 为 5cm 的 ⊙O 上 两 个 不 同 的 点 ， 则 弦 AB 的 取 值 范 围 是 （
A例BC3，图点
A
在圆内，且
AC
例1图
例2图
例3图
变式训练
例 2：如 图 ，⊙O 过 点 B、C，圆 心 O 在 等 腰 Rt△ ABC 的 内 部 ，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则 ⊙O 的 半 径 为 _________
例 3：将半径为 2 厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为________
D、4 条
例 5：已知⊙O 的半径是 5cm，弦 AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 与 CD 的距离是（ ）
A． 1cm
B．7cm C．1cm 或 7cm
D．无法判断
小试牛刀： 2、如图（1），在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）
边上的高为( )
A．2
B．8
C．2 或 8 D．3
17、如图，已知 AB 是⊙O 的直径， 是弦，AB⊥CD， CE CD 且 AB=10cm， BD= 2 5 cm．求 CD 和 CE
例4图
题型 2：综合题
例 1：如 图 ，在 半 圆 的 直 径 上 作 4 个 正 三 角 形 ，如 这 半 圆 周 长 为 C1，这 4 个 正 三 角 形 的 周 长 和 为 C2，
则 C1 和 C2 的大小关系是（
）
A． C1＞ C2
B． C1＜ C2
C．C1=C2
D．不能确定
例1图
例 2： 如图，AB, CD 为⊙O 的两条直径，E, F 分别为 OA, OB 的中点，求证：四边形 CEDF 是平行四边形．
圆 知识点：圆以及圆的相关概念 （1）圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示：以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O” （3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AC） （4）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的 AB）直径等于半径的 2 倍。 （5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （6）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
A.3cm B.2 3 cm C. 4 3 cm D. 8 3 cm
9、已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度 AB=16cm，拱高 CD=4cm，
那么拱形的半径是
cm.
10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB = 10cm, CD = 8cm, 那么 A , B 两点到直线 CD 的距离之和为 ( ) A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm
A．AB＞0 B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D． 0＜ AB≤10
A
B
）
例第25图题
例 4：如 图 ， 以 AB 为 直 径 的 半 圆 O 上 有 两 点 D、 E， ED 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 C， 且 有 DC=OE， 若 ∠C=20°， 则 ∠EOB 的 度 数 是 _________．
A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．弧 AD=弧 BD D．PO=PD C
O
O
A
P
B
D (1)
A
M
B
(2)
3．如图（2），已知⊙O 的半径为 5，弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 的长可能是（ ）
A．2.5
B．3.5
C．4.5
D．5.5
5.如 图 ， ⊙O 的 弦 AB 垂 直 平 分 半 径 OC， 若 AB= 6 ， 则 ⊙O 的 半 径 为 _________
③长 度 相 等 的 弧 是 等 弧 ； ④半 径 相 等 的 圆 是 等 圆 ； ⑤直 径 是 最 大 的 弦 ；
⑥半圆所对的弦是直径．
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
2、如 图 ，在 以 原 点 为 圆 心 ，2 为 半 径 的 ⊙O 上 有 一 点 C，∠COA=45°，则 C 的 坐 标 为 _________________ 3、如图，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数是______
第2题 图
第3题 图
4、一个点到定圆上最近点的距离为 4，最远点的距离为 9，则此圆的半径是__________.
5、已知⊙O 的半径为 R , 弦 AB 的长也是 R，则∠AOB 的度数是
.
6、如 图 ，以 △ OAB 的 顶 点 O 为 圆 心 的 ⊙O 交 AB 于 点 C、D，且 AC=BD，OA 与 OB 相 等 吗 ？ 为 什 么 ？
弧用符号“⌒”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或者等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧。
典例分析： 题型 1：圆的相关概念
例 1：下 列 说 法 中 ， 结 论 错 误 的 是 （ ）
D
**垂径定理及其推论可概括为： 过圆心
垂直于弦
直径 平分弦
知二推三
平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
典例分析：
题型 1：垂径定理的应用
例 1： 如图 1，P 为⊙O 内一点，OP=3cm，⊙O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_______；最长弦长为_______．
例 2：如 图 2，AB 为⊙O 直径，E 是弧 BC 的中点，且∠ACB=900，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，AC=_______．
6、如图为某桥的桥拱平面图形，拱宽 AB=12，拱高 CD 为 4，则该桥拱所在圆弧的半径为____
7、如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M, AM = 2，BM = 8.
则 CD 的长为（ ）
A.4
B,5
C.8
D . 16
8、在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（ ）
11、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 AP:PB=1:4, CD=8， 则 AB=_______________.
12.如 图 ， 已 知 在 半 径 为 2 的 ⊙O 中 有 一 点 E， 过 点 E 的 弦 AB 与 CD 互相垂直，且 OE=1，则 AB2+CD2 的值 等于__________________
知识点：垂径定理
1>垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2>推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
C
A
B
M
O
第 6 题图