【2020年数学高考】江西省重点中学协作体2020届高三下学期第一次联考 数学(理).doc

江西省重点中学协作体2020届高三第一次联考试卷
数学（理科）试卷
满分150分 考试时间120分钟
命题人：新余一中 吉安县中
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1 .设集合1
{|
0}2x A x x
+=≥-，{1,0,1,2}B A B =-，则（ ）
A ．}{1,0,1- B. }{2,1,0 C. }{2,1,0,1- D.}{
2,1 2. 设复数21,z z 互为共轭复数， i z 311+
=，则21z z ＝( )
A ．－2＋i
B ．4
C ． －2
D ．－2－i
3. 已知数列{}n a 满足12(2)n n a a n --=≥，且134
,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A. 2n a n = B. 210n a n =+ C. 210n a n =- D. 24n a n =+ 4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方 形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 （ ） A.
64
π
B.
32
π
C.
16π D. 8
π
5.
若
22cos(
)
4
θθπ
θ=+，则sin 2θ=（ ）
A ．
13 B ．23- C ．2
3 D ．13
- 6. 已知函数2
2()log f x x x =+，则不等式0)1()1(<--f x f 的解集为（ ）
A ．)2,0(
B ．)2,1(-
C ．)2,1()1,0(
D ．(1,1)(1,3)-
7.设向量a ，b 满足1,2==b a ，且)(b a b
+⊥，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为( ） A ．1 B ．1- C. 21- D ．2
1
8. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有面中,面积最大的那个面的面积为( ) A.2
B.
C.
9. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约
数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。

如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入64022046a b ==，时，输出的=a （ ）
A. 66
B. 12
C. 36
D. 198
10. 已知抛物线2:8C y x P =上一点，1:2l x =-直线，
2:35300l x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为
（ ） A. 2
B.
C.
D. 11.已知函数2
||33
()()(3)(3)3
x x f x g x b f x x x -≤⎧⎪==--⎨-->⎪⎩，，函数，，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A. 11
(,)4
-
+∞ B. 11(3,)4
--
C. 11(,)4
-∞-
D. (3,0)-
12. 设1=x 是函数3212()1()n n n f x a x a x a x n N +++=--+∈的极值点，数列{}n a 中满足11a =，
22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则1223
20182019
20182018
2018
[]b b b b b b +++
=
（ ）
A ．2017
B ．2020
C ．2019
D ．2020
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若
36=⎰
-dx x n
n
(其中0n >),则()21n
x -的展开式中2x 的系数为 ．
14.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(，点N ),(y x 的坐标满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤-≥+2211y x x y y x
的最小
值为 .
15. 设双曲线C ：22
11221(0,0)x y a b F F a b
-=>>的左焦点为，过作x 轴的垂线交双曲线C 于M ，N 两
点，其中M 位于第二象限，B （0，b ），若BMN ∠是锐角，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________.
16. 已知边长为36的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折成二面角A -BD -C 的大小为60°
的四面体，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．
三、解答题（本大题共6小题，17-21题必答题，每小题12分；22、23题为选做题，任选一题作答，
每小题10分，共70分） 17．（本小题满分12分）
已知函数22()2sin 2sin (),6f x x x x R π
=--∈
（1）求函数()y f x =的对称中心；
（2）已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(
),262B b c f ABC a
π++=∆的外
ABC ∆周长的最大值。

18.（本小题满分12分）
交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950 a .某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
19．（本小题满分12分）
如图四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ABCD ⊥平面，底面是梯形，
AB ∥CD ，BC CD ⊥，AB=PD=4，CD=2，AD =，M 为CD 的中点，N 为PB 上一点，且(01)PN PB λλ=<<。

（1）若1
4
λ=
时，求证：
MN ∥平面P AD ；
（2）若直线AN 与平面PBC ， 求异面直线AD 与直线CN 所成角的余弦值。

20. （本小题满分12分） 如图，已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ， 其左右焦点为)
0,1(1-F 及)0,1(2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴
分别交于E D ,两点，且||1AF 、||21F F 、||2AF 构成等差数列.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）记D GF 1∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得
2112S S =？说明理由.
21．（本小题满分12分） 已知函数21
()ln 2
f x x x x =-。

（1）若函数()(0,2)f x m ≥在上恒成立，求实数m 的取值范围.
（2）设函数()(01)x
g x a a a a
=
->≠且，若函数()()['()1]F x g x f x x =+-的图象与x 轴交于点A(1x ,0),B(2x ,0)两点，且0x 是函数()y F x =的极值点，试比较2
,
,2
1021x x x x x +的大小.
选做题，从22、23题任选一题作答，两题都答以第一题作答为准记分。

选修4-4：坐标系与参数方程 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为22cos (2)32sin x y α
απαπα=+⎧≤≤⎨
=+⎩
为参数，以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为sin()42
πρθ-=
（1）求曲线C 1与C 2的直角坐标方程；
（2）当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围．
选修4-5：不等式选讲 23．（本小题满分10分） 已知函数()|1||2|()f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤
（2）若关于x 的不等式()|23|[0,1]f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

江西省重点中学协作体2020届高三第一次联考
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
13. 60 15. 16. 156
提示：一，选择题
8．几何体为如图所示的三棱锥P-ABC ，其中C 为该棱的中点。

则三角形PAB 面积最大。

是边长为2
的等边三
角
形，其面积为2
.
9.模拟程序框图的运行过程，如下； a =6402，b =2046，
执行循环体，r =264，a =2046，b =264，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r =198，a =264，b =198， 不满足退出循环的条件，执行循环体，r =66，a =198，b =66 不满足退出循环的条件，执行循环体，r =0，a =66，b =0
满足退出循环的条件r =0，退出循环，输出a 的值为66.故选A. 10.距离之和的最小值即为抛物线的焦点到2l 的距离。

11.由题可知，
()2
3,0()3,033,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪
=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩
，2,0(3),036,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩。

()()y f x g x =-恰有4个零点，即函数
y b =与函数()()3y f x f x =+-的图像恰有4个交点。

()()223,033,03
715,3x x x f x f x x x x x ⎧---<⎪
+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩
，画出图像可知113,4b ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭。

故选B 。

12. 由题可知，212()32n n n f x a x a x a ++'=--，
则1221(1)320320n n n n n n f a a a a a a ++++'=--=-+=即
()2112n n n n a a a a +++-=-，211a a -=，32212a a -=⨯=，243222a a -=⨯=，，
212n n n a a ---=，累加得12n n a -=。

故n b n =。

122320182019
201820182018
b b b b b b +++= 1112018()122320182019+++⨯⨯⨯=12018(1)2019-=201820182019-
=1
20172019+。

所以12
23201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤
+++=⎢⎥⎣
⎦。

故选A 。

二、填空题
13. 60 14.
15.22M ,,N ,,b b c c a a ⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为
BMN ∠是锐角，故MB 与
MN 的数量积为正数。

经计算可得
b a >。

所以c
e a ===>=)
e ∈+∞。

16.设BD 的中点为E ，连接AE ，CE 。

则平面ACE 垂直于平面BCD 。

设G 为BCD ∆的重心，过G
作平面BCD 的垂线GO ，则GO 在平面ACE 内，在平面ACE 内作EO 垂直于AC 交
GO 于点O ，即O 为该四面体外接球的球心。

角OEG
为30︒，EG=3，故，故O 的表面积为156π。

三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分） 17．解：由()1cos2[1cos2()]cos(2)cos263f x x x x x
ππ
=---
-=--
11
cos22cos22cos222
x x x x x =-=-
sin(2)6
x π
=-…………………………………………………………2分
（1）令2()()6
212
k x k k z x k Z π
ππ
π-
=∈=
+∈，则 所以函数()(
,0)212
k y f x k Z ππ
=+∈的对称中心为
……………5分 （2）由1()sin()cos 2626222B b c b c b c
f B B B a a a
π
π++++=+=⇒+=
得 sin
cos B a B
b c +=+，由正弦定理得：
sin sin cos sin sin sin sin cos sin A B A B B C A B B A B +=+=+
又因为1
sin 0cos 1sin()62
B A A A π≠-=⇒-=
由506
6
6663
A A A A π
π
ππππ
π<<-
<-
<
-==得，所以，即…………8分
又3ABC a A ∆==
由余弦定理得：2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+- 22
2
3()()()644
b c b c b c b c +≥+-+=+≤即
当且仅当b c =时取等号，∴周长的最大值为9………………12分
18．解：（1）由题意可知的可能取值为
，
，
，a ，
，
.
由统计数据可知：
16
1
)3.1(,163)1.1(,41)(,81)7.0(,81)8.0(,41)9.0(=
==========
=a X p a X p a X p a X p a X p a X p 所以的分布列为：
所以90316
1
3.11631.141817.0818.0419.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a EX ……6分
（2
）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为4
1
，三辆车中至多有一辆事故车的概率为
32
27)43(41)411(2
133=
+-=C P ………………9分 ②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-4000,8000. 所以的分布列为：
所以.50004
38000414000)(=⨯+⨯-=Y E 所以该销售商一次购进100
辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为
万元. ………………12分
19．（1）证明：若14λ=时，1144
PN PB PA PE PA ==，在上取，
连接EN ，DE ，11444PN PB PE PA AB ===， ，
∴EN ∥AB ，且114EN AB == M 为CD 的中点，CD=2，∴112DM CD ==
又AB ∥CD ，∴EN ∥＝DM
∴四边形DMNE 是平行四边形，∴MN ∥DE ，
又DE ⊆平面PAD ，MN 平面PAD ，
∴ MN ∥平面PAD
（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH ⊥CD ，
则以D 为坐标原点建立空间直角坐标D-x yz ，
∴点D （0，0，0），M （0，1，0），
C （0，2，0），B （2，2，0），A （2，-2，0），
P （0，0，4），CB =（2，0，0），CP =（0，-2，4），
(2,2,4)AN AP PN AP PB λ=+=+=-+
(2,2,4)(22,22,44)λλλλ-=-+-， 该平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则
0202400CB n x y z CP n ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩令z=1，y=2，x=0，(0,2,1)n ∴=
该直线AN 与平面PBC 所成的角为θ，则 2||sin |cos |||||5(22)AN n AN n AN n θλ=<>===-
解得1228248,(,,)(,,)(2,2,0)3333333N CN AD λ==-=-则，，
设直线AD 与直线CN 所成角为α， 则cos |cos ,|AD CN α=<>==
20.解. （1）因为1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列，
所以1212224a AF AF F F =+==，所以2a =，
又因为1c =，所以23b =，
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=．………………4分 （2）假设存在直线AB ，使得2112S S =，显然直线AB 不能与x ， y 轴垂直． 设AB 方程为()1y k x =+)0(≠k ，
将其代入22
143x y +=，整理得()
22224384120k x k x k +++-=，………………5分 设()11,A x y ， ()22,B x y ，所以2
122843
k x x k -+=+， 故点G 的横坐标为2
1224243x x k k +-=+，所以22243,4343k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．………………7分 设)0,(D X D ,因为DG AB ⊥，所以2223431443
D k
k k k x k +⨯=---+， 解得2
243D k x k -=+，即22,043k D k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
． ………………8分 ∵1Rt GDF ∆和Rt ODE ∆相似，且2112S S =，则OD GD 32=，………9分
∴34323433443422
2222222+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k k k k k 整理得0932=+-k ，因此32=k ，3±=k
所以存在直线AB )1(3+±=x y . ………………12分
21.解（1）'()ln 1f x x x =+-，令()ln 1h x x x =+-，则11'()1x h x x x
-=
-=
∴当01'()0,()x h x h x <<>时，单调递增，
当1<x <2时，'()0h x <，()h x 单调递减.
∴()(1)0h x h ≤=
∴'()0ln 10f x x x ≤+-≤即…………①
()(0,2)f x ∴在单调递减 (2)2ln 22m f ∴≤=-…………………………………………5分
（2）()ln ()0,x F x x a a =-=则ln 00x x a a
=-=或，不妨取2121,x x a == 又ln 1'()x a F x a x a
=-+令ln 1()x a x a x a ϕ=-+，则21()0a x ax x ϕ'=+>
()(0,)x ϕ∴+∞在上单调递增. …………………………………6分
又ln 11()1(ln 1)a a a a a a a ϕϕ==-+=-+，
由①式可知ln 10(0,1)a a a a -+<>≠且
所以()00a ϕϕ<<即…………………………………8分
又222122*********()()ln (ln 1)222211x x a a a a a a a a a ϕϕ++++==-+=+-++
由①式知，取22222201ln 10111x x x a a a =>≠-+<+++，则且，得
∴2212ln 1021a a ++->+ 12)(02x x ϕ+∴>
又0x 是()F x 的极值点，00()0()0F x x ϕ'∴==，即
∴120()()2x x x ϕϕϕ+<<
又()(0,)x ϕ+∞在上单调递增 ∴1202x x x +<
………………………12分 22．解（1）曲线C 1的参数方程为22cos (2)32sin x y ααπαπα=+⎧≤≤⎨=+⎩
为参数，
∴曲线C 1的普通方程为：22(2)(3)4(04,13)x y x y -+-=≤≤≤≤
曲线C 2的极坐标方程为)ρθθ= ∴曲线C 2的直角坐标方程为0x y t -+=………………………………5分
（2）曲线C 1的普通方程为：22(2)(3)4(04,13)x y x y -+-=≤≤≤≤
为半圆弧，由曲线C 2与C 1有两个公共点，则当C 2与C 1相切时，
2|1|
t =⇒-=
11t ∴=-或（舍去）
当C 2过点（4，3）时，4-3＋t=0
12C C ∴当与有两个公共点时，11t -≤-……………………………10分
23.解（1）若m=2时，|1||22|3x x -++≤
当1x ≤-时，原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-得，所以413x -≤≤-
当11x -<<时，原不等式可化为12230x x x -++≤≤得，所以10x -<≤
当1x ≥时，原不等式可化为212233x x x -++≤≤得，所以x ∈Φ
综上述：不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤…………………………………5分
（2）当[0,1]x ∈时，由()|23|f x x ≤-得1|2|32x x m x -++≤-
即|2|2x m x +≤-
故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-得
又由题意知：（min max 2)(23)x m x --≤≤-
即32m -≤≤…………………………………10分。