《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件

Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
〔2〕弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如下图简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作 用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
y
对dx 段进展平衡分析，有
x Y0即为
x dx
Q (x)q(x)dxQ (x)dQ (x)0
q(x)dxdQ (x) q(x)
Q(x)+d Q(x) 剪力与分布载荷间的关系为
M(x)
A
Q(x) dx M(x)+d M(x)
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
〔1〕剪力Q。 绕争论对象顺时针转为正剪力；反之为负。
〔1〕计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与 坐标系相全都。
〔2〕计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计 算简便为原则。
〔3〕集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩一样。 〔4〕集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力一样，但弯
矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
dБайду номын сангаасxqx
dx
M A0即为
Q (x)x d M (x)1q(x)(x)d 2 [M (x)d M (x) ]0 2
弯矩与分布载荷间的关系为
dM(x) Q(x) dx
弯矩、剪力与分布载荷间的关系为
d2M(x)dQ(x)q(x)
dx2
dx
➢ Q图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q；
➢ M图上某处的斜率等于梁在该处的剪力Q。
梁的支承条件与载荷状况一般都比较简单，为了便于分析 计算，应进展必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷〔包括支座反力〕有三种类型： 集中载荷、均布载荷和集中力偶。
q
M
F
3.支座的分类 m
解 〔1〕求支座约束反力。
Y0 F AF BP2P0
M B0 F A3aP2a2Pa0
得 FA=4P/3，FB=5P/3
〔2〕列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1FA
4P 3
Q2x2FA
P1P 3
x10, a x2a, 2a
Q3x3FA
P2P5P 3
x32a, 3a
〔3〕绘制Q图和M图。
明显在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线
段，如下图； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为三
条直线段，如下图。
〔4〕最大剪力和最大弯矩值。
Q m ax
5P 3
M m ax
5P a 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图
M M (x) 的图线表示。
一般状况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为l。 求作此梁的剪力图和弯矩图。
D
B
3
B
4
RB
a
解 〔1〕计算支座反力。
由 MB0得
FA
• 2a M
1 qa2 2
0
M1 FA 2a 4 qa
由 Y0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA0 校核
5qa2 M 2 FB•2a0
可据此推断支座反力计算正确。
〔2〕计算剪力。 如下图，设1-1截面上的剪力为Q1〔按规定其图示为
二、几种常见载荷作用下梁的内力图特征
无分布载荷段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
QQ
Q
图
斜直线
Q
Q
特 征
x
x
x
x
Fs >0 Fs <0 增函数 降函数
M 图M 特
x
斜直线
M
x
抛物线
M
M
x
x
征 增函数 降函数 凹状 凸状
突变
无变化
Q Q1
C
Q2
x
Q1 –Q2 =P
❖ 〔2〕截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外 的点算起，仅需写清方程的适用范围即可。
❖ 〔3〕方程的适用范围，在集中力〔包括支座反力〕作用处， 剪力方程应为开区间，因在此处剪力图有突变；在集中力偶 作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处弯矩方程有突变。
❖ 〔4〕假设所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时 除计算该段的端值外，应留意曲线的凸、凹向极值。
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、平面弯曲的概念 工程实例
A
q
B
x LL
解〔1〕求支座反力。
Y 0
MA0
FAql0
MA
ql2 2
0
FA ql
ql 2 MA 2
(2)写出内力方程。
QFAqx
Q
MMAq22xFA•x
(0xl)
FA （+）
M
l
2
x
x (3)依据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
ql2 M
max 2
例11-3 图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。作 剪力图和弯矩图，确定 Q max和 M max。
例11-4 如下图外伸简支梁，梁受均布荷载q作用， CB=a,AC=a/2。作， 剪力图和弯矩图，确定 Q max和
M max。
解 〔1〕求支座约束反力。
Y0FCFBq23a0
MB
0FCaq23a23a
20
得
FC
9 qa 8
3
FB
qa 8
(2)列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1q1x
x1(0,
第十一章 弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算 简图
其次节 梁的内力计算 第三节 载荷集度、剪力和弯矩间 的关系
教学目的和要求
❖ 梁的弯曲变形是工程实际中特别重要的一种构件变 形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算， 包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点把握承受截 面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力 图和弯矩图，生疏作剪力图和弯矩图的具体方法。 同时要把握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。
〔2〕由微分关系推断各段的Q-图、M-图的外形。
载荷
Q 图
CA
q0
AD
q C0
DB
q0
M 图 ➢倾斜直线
➢倾斜直线
(3)从左向右绘制剪力图和弯矩图。
Q
4.2KN
M
3.8KN.m
(+)
(-)
E
-3KN
(-)
3.8KN.m
x
1.41KN.m
(+) (-)
-3KN.m
(+)
x
本章小结
❖ 1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。 ❖ 确定横截面上剪力和弯矩的根本方法是截面法。在把
正向〕，可得
Y0FAQ10
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4FAFB
(3)计算弯矩。 如下图，设1-1截面上的弯矩为M1〔按规定其图示为正向〕，可得
MC0FA•aM 10
同理可得
M1 FAa M 2FA•aM
M 3FA•2aM
M 4FA•2aM
由以上例题可以得出结论：
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面外形
平面弯曲——当全部的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
简支梁 悬臂梁 外伸梁
其次节 梁的内力计算
一、剪力和弯矩 如下图，F、a、l。 求距A端x处截面上内力。
〔1〕求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F(l a) Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
〔2〕求内力，应用截面法
m
FXA A
本章小结
❖ 3.作剪力图和弯矩图的根本方法，可分为以下几个步骤： ❖ 〔1〕依据平衡条件求支座反力； ❖ 〔2〕在集中力〔包括支座反力〕、集中力偶作用处，或
均布荷载规律发生变化处分段；
❖ 〔3〕列出各段梁的剪力方程和弯矩方程；
❖ 〔4〕依据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图；
❖ 〔5〕确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。
❖ 4.载荷集度q、剪力Q和弯矩M三者之间有以下的微分关系，
即
dQ q dx
dM Q dx
d 2M dx2
q
❖ 由这些关系，可以得到剪力图和弯矩图的一些规律。利用 这些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内力图。
感谢大家！
握这一方法的根底上，也可以直接利用外力确定剪力和弯 矩。 ❖ 微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。 ❖ 2.本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法： ❖ 〔1〕依据剪力方程和弯矩方程作图； ❖ 〔2〕用叠加法作图； ❖ 〔3〕用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作 图。其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最根本的方法， 要重点把握。
折角
Q
C x
突变
M
M
M1 x
x
M2
M1M2m
例11-5 如下图外伸简支梁，同时受集中力F，弯矩M0， 均布载荷q作用，试作出梁的剪力图、弯矩图。
F=3KN
q=2KN/m
M0 6KN.m
C
A
1
4
m
m
D
B
1 m
解 〔1〕依据平衡条件求支座反力。
MA0 FB 3.8KN
MB0 FA7.2KN
由 Y 0 校核其无误。
a) 2
Q2x2q2xFC9q8aq2x
x2(a2,
3a) 2
〔3〕绘制Q图和M图 。
〔4〕最大剪力和最大弯矩值。
Q m ax
5qa 8
M m ax
9qa2 128
列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应留意：
❖ 〔1〕任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平 衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相全都。