【中考12年】江苏省南通市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题2 代数式和因式分解

2001-2012年某某某某中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题2：代数式和因式分解
一、选择题
1.（2001某某某某3分）下列运算正确的是【 】
A 、a a a b a b =--+
B 、241x x 2÷=
C 、22a a b b =
D 、111
2m m m
-=
【答案】B 。

【考点】分式运算法则。

【分析】根据分式运算法则逐一作出判断：
A 、a a a b a b ≠-
-+，选项错误； B 、242x 1
x x x 42÷=⋅=，选项正确； C 、22a a b b ≠，选项错误； D 、111212m m 2m 2m m
-=-=-，选项错误。

故选B 。

2.（某某省某某市2004年2分）若分式x 1
3x 2
+-的值为零，则x 等于【 】 A 、0
B 、1
C 、
3
2 D 、－1
【答案】D 。

【考点】分式的值为零的条件。

【分析】分式的值为0，则要使分子为0，分母不为0，解得x 的值：
由题意知，x+1=0且3x-2≠0，解得x=－1。

故选D 。

3. （某某省某某市大纲卷2005年2分）把多项式2221a ab b -+-分解因式,结果是【 】 A 、(1)(1)a b a b -+--
B 、(1)(1)a b a b -++-
C 、(1)(1)a b a b +++-
D 、(1)(1)a b a b ++--
【答案】A 。

【考点】分组分解法因式分解。

【分析】当一个多项式超过3项时，应该考虑分组分解法，把能够运用公式或者含有公因式的一些项分为一组后，再利用公式或者提公因式法进行分解因式：
()()()2
2221=1=11a ab b a b a b a b -+----+-- 。

故选A 。

4. （某某省某某市大纲卷2005年2分）已知2x <,则化简244x x -+的结果是【 】
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
【答案】D 。

【考点】二次根式的性质与化简。

【分析】把被开方数配方，再根据x 的取值判断开方后的式子的符号，看是否要加上负号
∵x ＜2，∴x －2＜0。

∴()
2
244=
2=2x x x x -+--。

故选D 。

5. （某某省某某市课标卷2005年2分）计算3a a ÷，结果是【 】
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．4
a 【答案】B 。

【考点】同底数幂的除法。

【分析】根据同底数的幂相除，底数不变指数相减计算：3312a a a a -÷==故选B 。

6. （某某省某某市课标卷2006年2分）计算a 3
•a 2
，正确的结果是【 】 A ．a 3
B ．a 4
C ．a 5
D ．a 6
【答案】C 。

【考点】同底数幂的乘法。

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选出答案：
a3•a 2
=a 3+2
=a 5。

故选C 。

7. （某某省某某市课标卷2006年2分）若分式2x 1
x 1
-+的值为零，则x 的值为【 】
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1 【答案】B 。

【考点】分式的值为零的条件。

【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x ：
由x 2
－1=0，得x=±1。

当x=－1时，分母x ＋1=0，故x=-1不合题意； 当x=1时，分母x ＋1=2≠0，所以x=1时分式的值为0。

故选B 。

8. （某某省某某市2007年3分）(m 2)3
•m 4
等于【 】．
A 、m 9
B 、m 10
C 、m 12
D 、m 14
【答案】B 。

【考点】幂的乘方，同底数幂的乘法。

【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可：（m 2
）3
•m 4
=m 6
•m 4
=m 10。

故选B 。

9. （某某省2009年3分）计算23
()a 的结果是【 】 A ．5
a B ．6
a
C ．8
a
D ．2
3a
【答案】B 。

【考点】幂的乘方。

【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案：23
23
6()a a a ⨯==。

故选B 。

10. （某某省2009年3分）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：
11122-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫
---⎛⎫-++
+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-----⎛⎫-++
+++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【 】 A ．第10个数
B ．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数
【答案】A 。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：
第1个数：
111022-⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)111
1113234326
⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++=-=-
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)111
11111423456424
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++=-=-
⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 按此规律，
第1n -个数：232311(1)(1)(1)11211112342222n n
n n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-----⎛⎫-++
++=-=
⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭； 第n 个数：()232111(1)(1)(1)1111111123421221n n
n n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-----⎛⎫-++++=
-= ⎪⎪
⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭。

∵
()()()()()()
2112110221211n n n n n n
>n n n n n n -+-----==+++， ∴n 越大，第n 个数越小，所以选A 。

11. （某某省某某市2010年3分）若3x 6-在实数X 围内有意义，则x 的取值X 围是【 】
A ．x 2≥-
B ．x 2≠-
C ．x 2≥
D ．x 2≠
【答案】C 。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】要使3x 6-在实数X 围内有意义，只要满足代数式3x －6≥0，解其不等式即得x 2≥。

故选C 。

12. （某某省某某市2011年3分）设0m>n>，2
2
4m n mn +=，则22
m n mn
-＝【 】
A ．2 3
B ． 3
C ． 6
D ．3 【答案】A 。

【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算。

【分析】由224m n mn +=有()()2
2
62m n mn m n mn +=-= ，，因为0m>n>，所以6m n mn += ，
2m n mn -= ，则()()22621223m n m n m n mn mn mn mn mn
+--⋅====。

故选A 。

13.（2012某某某某3分）计算(－x)2
·x 3
的结果是【】 A ．x 5
B ．－x 5
C ．x 6
D ．－x 6
【答案】A 。

【考点】幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法。

【分析】根据幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法运算法则，计算后直接选取答案：
（－x ）2
•x 3
=x 2
•x 3
=x 2+3
=x 5。

故选A 。

14.（2012某某某某3分）已知x 2
＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【】 A ．64B ．48C ．32D ．16 【答案】A 。

【考点】完全平方式。

【分析】∵x 2
＋16x ＋k 是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x 2
＋16x ＋k=0根的判别式△=0。

∴△=162
－4×1×k=0，解得k=64。

故选A 。

也可配方求解：x 2
＋16x ＋k=（x 2
＋16x ＋64）－64＋k= （x ＋8）2
－64＋k ， 要使x 2
＋16x ＋k 为完全平方式，即要－64＋k=0，即k=64。

二、填空题
1. （2001某某某某2分）分解因式：22x a - = ▲ 。

【答案】()()x a x a +-。

【考点】应用公式法因式分解。

【分析】直接应用平方差公式即可：()()22x a x a x a -=+-。

2.（某某省某某市2002年3分）当0≤x＜12x x 1-的结果是 ▲ ． 【答案】1。

【考点】二次根式和绝对值的性质。

【分析】由已知X 围判断x 、x －1的符号，再根据二次根式和绝对值的性质计算：
∵0≤x＜1，∴ x 2
=x ；|x －1|=1－x 2x x 1=x 1x=1-+-。

3. （某某省某某市2003年2分）分解因式：mn+nm 2= ▲ ； a 2＋4ab ＋4b 2
= ▲ 。

【答案】mn （1+m ）；（a+2b ）2。

【考点】提公因式法和运用公式法因式分解。

【分析】（1）提取公因式mn 即可：mn+nm 2
= mn （1+m ）；
（2）运用完全平方公式即可：a 2
+4ab+4b 2
=（a+2b ）2。

4. （某某省某某市2004年3分）如图，是一个简单的数值运算程序
当输入x 的值为－1时，则输出的数值为 ▲
【答案】1。

【考点】代数式求值。

【分析】由题意知，计算过程可以表示为：－3x －2，然后代入x 的值计算，当x=-1时，原式=3－2=1。

5. （某某省某某市2004年3分）化简ab
b
a b ab -÷-)(2的结果为 ▲ 【答案】2ab 。

【考点】分式的乘除法。

【分析】将分式的除法运算转化为乘法运算，将第一项提取公因式，然后进行约分计算即可：
()22()==a b ab
ab b b a b ab ab a b
--÷
-⋅-。

6. （某某省某某市2004年3分）请任意写一个能在实数X 围内分解因式的二次三项式 ▲ （该 二次三项式的字母、系数不限） 【答案】x 2
－3x ＋2（答案不唯一）。

【考点】因式分解和多项式乘法的关系。

【分析】根据因式分解与多项式相乘是互为逆运算，写出两个单项式乘积展开即可： 例如∵（x －1）（x －2）=x 2
－3x ＋2，∴二次三项为x 2
－3x ＋2（答案不唯一）。

7. （某某省某某市课标卷2005年3分）若x∶y =1∶2，则x y x y
-+= ▲ ．
【答案】13
-。

【考点】比例的性质，分式的值。

【分析】根据题意，设x=k ，y=2k ．直接代入即可求得x y k 2k 1==x y k 2k
3
---++。

8. （某某省某某市课标卷2005年3分）计算2
21
42
a a a -=-- ▲ ． 【答案】
1
2
a +。

【考点】分式的加减法。

【分析】首先找到最简公分母把式子通分，然后进行加减运算：
()()()()()()2
212221
==422222222
a a a a a a a a a a a a a +--=---+-+-+-+。

9. （某某省某某市大纲卷2006年3分）一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买3个篮球和5个排球共需要 ▲ 元． 【答案】3m+5n 。

【考点】列代数式。

【分析】根据题意，得3个篮球需要3m 元，5个排球需要5n 元．则共需（3m+5n ）元。

10. （某某省某某市2008年3分）计算：3(2)a ＝▲ ． 【答案】38a 。

【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可：
3333(2)=2=8a a a ⋅。

13. （某某省某某市2010年3分）分解因式：2ax ax -＝ ▲ ． 【答案】()ax x 1-。

【考点】提取公因式法因式分解。

【分析】直接提取公因式分解：()2ax ax=ax x 1--。

14. （某某省某某市2011年3分）分解因式：()2
2323m x y mn --＝ ▲ ． 【答案】()()322m x y n x y n -+--。

【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】()()()()22
2232332322m x y mn m x y n m x y n x y n ⎡⎤--=--=-+--⎣⎦。

15.（2012某某某某3分）单项式3x 2
y 的系数为 ▲ ． 【答案】3。

【考点】单项式。

【分析】根据单项式的概念，把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数，所以单项式3x 2
y 的系数为3。

三、解答题
1. （2001某某某某6分）计算1a 2+
【答案】解：原式＝21
a 2 【考点】二次根式化简。

【分析】先将各根式化为最简二次根式，再合并同类根式。

2.（某某省某某市2002年5分）计算：（1）()()a 2b 3a 7b ＋－；（2）
23322216x y z 8x y z 8x y ÷（＋）． 【答案】解：（1）()()2222a 2b 3a 7b =3a 7ab 6ab 14b 3a ab 14b +--+-=--。

（2）
2332222322322216x y z 8x y z 8x y =16x y z 8x y 8x y z 8x y =2yz+xz ÷÷+÷（＋）。

【考点】多项式乘多项式，整式的除法。

【分析】（1）根据多项式乘多项式，先把一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算。

（2）根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加计算。

3.（某某省某某市2002年5分）当1时，求22x x 3x 1
x 1x 1x 4x 3
+--⋅++++的值． 【答案】解：原式=
()()()()x 1x 1x x 3x x 11==x 1x 1x 1x 3x 1x 1x 1
+-+--⋅-+++++++。

当1时，原式
【考点】分式的化简求值，分母有理化。

【分析】把分式化简，然后把x 的值代入化简后的式子求值即可。

4. （某某省某某市2002年3分） 【答案】解：原式==xy 2y x -+。

【考点】二次根式的混合运算。

【分析】可以运用乘法分配律进行计算。

5. （某某省某某市2003年7分）先化简代数式()()
2222
2
a b a b 2ab
(
) a b a b a b a b +--
÷+--+ ，然后请你自取一组a ，b 的值代入求值．
【答案】解：原式=()()()()()()()()()()()22222a b a b a b a b a b a b 2ab
==a b a b a b a b a b 2ab a b a b 2ab ⎡⎤--+-++⎢⎥-⋅⋅++-+-+-⎢⎥⎣⎦。

取a=1，b=2时，原式=1+2=3。

【考点】分式的化简求值
【分析】先对a 2
－b 2
分解因式，再通分进行化简求值．关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算。

要注意：a 、b 的取值需使原式及化简过程中的每一步都有意义。

6. （某某省某某市大纲卷2005年5分）计算 322223(35)a b a b a b ab a b ÷+⋅-- 【答案】解：原式=3ab 2
＋b ·（－3ab －4a 2
b ）= 3ab 2
－3ab 2
－4a 2b 2
= －4a 2b 2。

【考点】整式的混合运算。

【分析】根据单项式的除法，单项式乘多项式的运算法则计算。

7.（某某省某某市大纲卷2005年6分）先化简,再求值:2222
22(1)2a b a b a b ab ab -+÷+-,其中
511a =-,311b =-+.
【答案】解：原式=22()()2()2a b a b a ab b ab a b ab +-++÷-=22()a b ab
ab a b +⨯
+=2a b
+。

当a =511-，b =311-+时，原式=
2a b +=2
511311
--+=1。

【考点】分式的化简求值，二次根式的化简求值。

【分析】正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算。

8. （某某省某某市大纲卷2006年10分）已知A=a ＋2，B=a 2
－a ＋5，C=a 2
＋5a －19，其中a ＞2． （1）求证：B ﹣A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由．
【答案】解：（1）∵B－A=（a －1）2
＋2＞0，∴B＞A 。

（2）C －A=a 2
＋5a －19－a －2=a 2
＋4a －21=（a ＋7）（a －3），
∵a＞2，∴a＋7＞0。

∴当2＜a ＜3时，A ＞C ； 当a=3时，A=C ； 当a ＞3时，A ＜C 。

【考点】因式分解的应用，整式的加减。

【分析】计算B﹣A后结论，从而判断A与B的大小；同理计算C﹣A，根据结果来比较A与C的大小。

11. （某某省某某市2007年5分）已知x＝2007，y＝2008，求
222
2
x2xy+y x y x y
5x4y x
5x4xy
++-
÷+
-
-
的值．
【答案】解：原式=
()
()
222
x+y5x4y x y x x
==x+1 x5x4y x y x x
--+
⋅+
-+
∴当x=2007，y=2008时，原式=2007+1=2008。

【考点】分式的化简求值。

【分析】先把分式化简，再把给定的值代入求值。

12. （某某省某某市2008年5分）分解因式2(2)(4)4x x x +++-．
【答案】解：原式＝(2)(4)(2)(2)x x x x ++++-＝(2)(22)x x ++＝2(2)(1)x x ++。

【考点】提公因式法因式分解。

【分析】提取公因式2x +，化简后，再提取公因式2。

13. （某某省2009年4分）2121a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪⎝
⎭ 【答案】解：原式2221(1)(1)(1)1(1)1
a a a a a a a a a a a --+-+=÷=⨯=--。

【考点】分式的混合运算。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。

14. （某某省某某市2010年5分）22a 931a a 6a 9-⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭
． 【答案】解：原式=()()()
2a 3a 3a 3a 3a 3==a a 3a 3a 3a 3+---÷⋅+-++。

【考点】分式的混合运算。

【分析】把第一个分式的分子、分母分别因式分解，约分，从而化简第一个分式，再通分进行计算。

15. （某某省某某市2011年5分）先化简，再求值：(4a b 3－8a 2b 2
)÷4a b ＋(2a ＋b )(2a －b )，其中a ＝2，b ＝1．
【答案】解：原式＝4a b (b 2－2a b )÷4a b ＋4a 2－b 2＝b 2－2a b ＋4a 2－b 2＝4a 2－2a b 当a ＝2，b ＝1时，原式＝4×22－2×2×1＝16－4＝12。

【考点】代数式化简，平方差公式。

【分析】利用提取公因式先把分式化简，应用平方差公式把多项式乘多项式化简，然后合并同类项，再代入。

16.（2012某某某某8分）先化简，再求值：22x 4x 31(x 1)(x 2)x 1⎡⎤-++÷⎢⎥+--⎣⎦
，其中x ＝6．
【答案】解：原式＝
()()()
2
(x1)(x2)+2x4x+3x2
(x1)(x1)x+x6x1x1
===x1 (x1)(x2)x3x2x3x2x3
+---
+----
⋅⋅⋅-+-+-+-+。

当x＝6时，原式＝6－1＝5。

【考点】分式的化简求值。

【分析】先把括号里面的分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外的除法运算转化成乘法运算，再进行约分化简，最后把x=6代入即可求值。