45简单的三角恒等变换

4.5
简单的三角恒等变换
、选择题
1 若 tan a= 3, tan 3= 3，贝卩 tan( a — ®等于(
)
C . 3
D.1
答案：D
解析：COS 215。

一 sin 215 °= COS 30 . 答案：B
1 1 、 、
3.
等
式|sin a cos o|+ 2$in 2a — cos 2a|= 2成立的充要条件是(
)
A . a= k 冗紅 Z)
B . a= (k € Z)
& k n
W
C . a=T (k € Z)
D . a= 8 (k € Z)
解析：由题意知：原式=
"|sin 2 a + "|COS 2a|=1
答案：C
4. sin 163 sin 223 半 sin 253 sin 313 等于(
) A . — 2
B.； C . — ~2
D.于
解析：原式=sin 163 °in 223 ° COS 163 C OS 223 = COS (163。

一 答案：B 二、填空题
1 3 n 「
5. ___________________________________________________ 若 cos(a+ 3)= 5, COS (a — 3 = 5 贝U tan a ・ tan= ___________________________ .
|sin 2 a|+ |COS 2a|= 1, ••• 1 + 2|sin 2 久cos 2a|= 1, |sin 4 a|=
0,
k n a
= 7(k € Z).
解析: tan( a — 3)=
tan a — tan 3 1 + tan d an 3
1 + 3X 4
1 3.
A . 2sin 15 cos 15
B . COS 215。

— sin 215
C . 2sin 215。

一 1
D . sin 215 ° COS 215
223°) = COS (— 60°) = 1
2.下列各式中，值为
答案：2n — 1 三、解答题
8.用 tan a 表示 sin 2 a, cos 2 a
2
2
cos 2 a — sin 2 a 1 — tan 2 a
cos 2 a= cos a — Sin a= —"2—i 厂= —?—厂.
sin a+ cos a 1 + tan a
9
.已知1+%= 3求sin2 :+ x 的值.
1 解析：■/ cos(a+ 3)= cos acos 3— sin 久sin
B=-①
5
cos( a — 3 = cos a cos 3+ sin asin 3= 5② 2
由①②解得cos a cos 3= 5， 1 抽 sin osin 3 1 sin asin
3
= 5,则 tan a an
3
= cos 处os 3= 2.
答案:
6.求值:
4
n , «3 n , n , 4 n cos 48 + cos 4—+ COS 4_8 + COS 4§
=
解析:
原式=2 cos 4 扌+ cos 43 = 2 8 8 cos 4 8+ si n 4f
8 8
2
n 2 n
1 2 n
=2 1 — 2si n 2
8cos 28 = 2 1 — §si n 〒 3 2.
答案：2
7.函数y = |sin x|cos x — 1的最小正周期与最大值的和为
1
^sin 2x — 1,
解析：y = |sin x|cos x — 1 =
1
—^sin 2x —
2k n< x w (2k + 1) n, k € Z , (2k + 1)nW x < (2k + 2) n, k € 乙
其图象如图所示:
肿 1
o i ”討伽
V P 1
|
Pill ■鼻
T i T T ■
H
I
I
* X
-1 ■f
函数最小正周期T = 2 n 最大值 1
2,
故最小正周期与最大值之和为
1
n —
2"
解答：sin 2 a= 2sin a cos a= 2sin
oCOS a
2tan a
2
2
2
，
sin a+ cos a tan a+ 1 y max =—
(1)求 tan 2B +C + sin 2：的值；(2)若 a = 2, S A ABC =
2，求 b 的值.
解答：(1)因为锐角厶 ABC 中，A + B + C = n, sin A = ，所以 cos A = 1. 3
3
2sin x 2ta n x cos x 解答：1+a 浪=cos 2x + sin 2x = sin 2x = 5, sin2 n + x =1 1 — cos 2n+ X
cos 2x
1 n
=2 1 — cos 2+ 2x
1 + sin 2x 4
10.已知 cos n
a + 4
求cos 2 a+ n 的值.
解答: cos n
- 2 a+4 =cos 2
n O DOS ——
sin 2 osin n=-2^(cos 2
a — sin 2 O, •/ 2
3 3 n, a <2 n • T W a+ 4<
4 n 又 cos
4 4 n a + 4 3 =5>0， 故可知 2 n<a+ 4<4 n,
n
•-sin a + 4 =
4
5,
n n
从而 cos 2 a= Sin 2 a+ 2 = 2sin a+ 4 cos
a+n = 2X
4
24 25.
n 2 n 丄 小
sin 2 a= — cos 2 a+ 2 = 1 — 2cos 2 a+ 4 = 1 — 2 x 25'
• cos 2a+ n = ¥(cos 2 a — sin 2 %) = ¥大
24
25 25
31 ；'2 50
1.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为 2sin a+ sin 2 a
=—1，求 的
值.
A(3,0)、B(0,3)、C(cos a, sin a), a€ 解答: AC = (cos a — 3, sin a), EBC = (cos a, sin a — 3), 由AC BC = — 1,得(cos a — 3)cos a+ sin a(sin a — 3) = — 1,
/• sin
2 2
2 - . 5 —2sin 2
a+ sin 2 a 2sin 2a+ 2sin 久cos a a+ cos a= T, 2sin a C OS a=—：,又
3' 9' 1 + tan a
1 +sjn a cos a =2sin 久cos a=— 5故所求的值为—9.
2.在锐角厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为
…
2五
a 、
b 、
c ,已知 sin A = 3 ,
得 b 4- 6b 2+ 9 = 0，解得 b =
,3.
1 + cos A 1 7 1 - cos A + 3= 3. 1 3
将 a = 2, cos A =;, c =匚代入余弦定理：a 2= b 2 + c 2-2bccos A ,
3 b
则tan
2
B + C
2
+ sin sin 1 2 3 2 cos 2
+號=
-cos(B +C
2 1 + cos(B + C)
+
2(i
cos A)
(2)因为 S ^ ABC =
2, 又 S ^ ABC = 2bcsin A = ^bc • 3 2 = 2，贝V bc = 3.。