吉林省长春市东北师范大学附属中学2021届高三数学上学期一摸试题 理(含解析).doc

吉林省长春市东北师范大学附属中学2021届高三数学上学期一摸试
题 理（含解析）
一、选择题
1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21i
i
-+表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
运用复数除法的运算法则,化简复数
21i
i
-+,最后选出正确答案. 【详解】因为
2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i
i
-+表示的点的坐标为13
(,)22
-,该点在第四象限. 故选：D
【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题. 2.若全集{}
*
2
560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则(
)U
B A ⋂
（ ）
A. {}0,1,5
B. {}1,5
C. ∅
D.
{}0,1,4,5,6
【答案】B 【解析】 【分析】
解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出
()U B A ⋂.
【详解】{}{
}
{}*
2
*
560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.
因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U
A =,因此(){}1,5U
B A ⋂=.
故选：B
【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.
3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. 32
y x =
B. x
y e
-=
C. 2
1lg y x =-
D.
6y x =+
【答案】D 【解析】 【分析】
对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.
【详解】选项A ：函数3
2y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()x
y f x e
-==的定义域为全体实数集. ()()x
x
f x e
e
f x ----===,所以该函
数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1
()()x
x x f x e e e --===,因为101e
<<,所以该函数此时是
减函数,不符合题意；
选项C ：函数2
()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,
22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,
当()0,x ∈+∞时, 2
()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,
不符合题意；
选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选：D
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.
4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D.
b a
c >>
【解析】 【分析】
根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3x
y =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=； 因为函数5x
y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；
因为函数0.3log y x =是正实数集上的
减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.
5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2021年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为61
21Q =-,则
Q
P
约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ）
A. 710
B. 810
C. 910
D. 1010
【答案】C 【解析】 【分析】
根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设61
3122
k =,运用指数运算法则,把指数式转化
对数式,最后求出k 的值.
【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于61
3122
,设
61
30303122lg 2lg 2
k k k =⇒=⇒=, 因此有9
30lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=.
【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2
–e |x |
在[–2,2]的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为
22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，
设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D
7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式2
1
0ax ax a
-+
≥的解集为R ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断不等式2
1
0ax ax a
-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案.
【详解】因为关于x 的不等式2
1
0ax ax a
-+
≥的解集为R ,所以有：0a >且21
()40a a a
--⋅
≤, 所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出
22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式2
1
0ax ax a
-+
≥的解集为R ”的必要不
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.
8.已知函数()3211,0
log ,0
x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ）
A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞
⎥⎝⎦
B. 3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C. (]3,00,32⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
D. []4,2-
【答案】B 【解析】 【
分析】
根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()31
1211122
f a a a ≤⇒+-≤⇒-
≤≤,而0a ≤,所以 3
02
a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述：
实数a 的取值范围是3
,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 故选：B
【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.
9.二次函数2y ax bx c =++和2
y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题
:p M
N ,命题:q M N ≠∅,则下列命题中真命题的是（ ）
A. p q ∧
B. ()p q ∨⌝
C. ()()p q ⌝∧⌝
D.
()p q ⌝∧
【答案】D 【解析】
根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,
根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.
【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2
y ax bx c =++的值域为：
244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,
二次函数2
y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪
=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,此时显然
:p M
N
是假命题,而2
44ac b a -是负的, 2
44ac b c -是正的,故命题:p M
N 是假命题,
命题:q M
N ≠∅是真命题；
(2)当0a >,0c >时, 二次函数2
y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪
=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,
二次函数2
y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪
⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,此时
2
44ac b a -、 2
44ac b c
-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；
(3)当0a <,0c <时, 二次函数2
y ax bx c =++的值域为：2
44ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,
二次函数2
y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪
=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,此时
2
44ac b a -、 2
44ac b c
-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；
(4)当0a <,0c >时, 二次函数2
y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,
二次函数2
y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪
=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
,此时
2
44ac b a
-是
正数、 2
44ac b c
-是负数,故命题:q M
N ≠∅是真命题；
综上所述：p 是假命题, q 是真命题.
选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；
选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题； 选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题；
选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题. 故选：D
【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.
10.若函数(),0
231,0
x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则
a 的取值范围是（ ）
A. 10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B. (]0,1
C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦
D.
1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'
10x
x f x e x a f
x e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,
由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：20
01311a a a a >⎧⇒<≤⎨
-≤+⎩
,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
故选：C
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力. 11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的
正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x
->的解集为（ ）
A. ()(),20,2-∞-
B. ()()2,02,-+∞
C. ()()2,00,2-
D. ()
(),22,-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据所求不等式的形式构造新函数,根据
()()
211212
0x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单
调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()
30f x x
->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有
()()()()21121221121212
121212
()()
000
x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x --
-⋅<⇒<⇒<---, 设()
()f x g x x
=
,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有
()()()
()()f x f x f x g x g x x x x
---=
===--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.
所以当0x >时,
()
30()(2)02f x g x g x x
->⇒>⇒<<； 当0x <时,
()
30()(2)0220f x g x g x x x
->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述：
()
30f x x
->的解集是()()2,00,2-.
故选：C
【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.
12.若关于x 的方程1
0x x x
x e
m e x e
+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 2.71828e =为自然对数的底数,则3122
3
12x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为（ ） A. e
B. 2e
C. ()4
2m m +
D.
()4
1m m +
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给的方程的特征,令
x x t e
=进行换元,方程转化为2
(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()x
x
g x e =
的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令x x t e =,所以由1
0x x x
x e m e x e
+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =
,1()x
x g x e
'-=,当1x >时, '
()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '
()0g x >,所以函数()x x g x e =单调递增,而1(0)0,(1)g e
==,显然当0x >时,
()0>g x ，当0x <时, ()0<g x 因此函数()x x
g x e
=的图象如下图所示：
要想关于x 的方程1
0x x x
x e
m e x e
+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2
(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且
12312
123
,x x x x x x t t e e e ===, ()()31
22
23
1212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,
3122
23
12111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：B
【
点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题. 二、填空题
13.已知函数()()1,0,0
f x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩,那么
74f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为__________． 【答案】12
- 【解析】 【分析】 求74f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫
⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值,而14f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值直接代入即可求出.
【详解】7733111(1)()(1)()()4444442
f f f f f ⎛⎫=-==-=-=---=- ⎪⎝⎭
. 故答案为：12
-
【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.
14.函数
()()2
12
log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________． 【答案】()3,6 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间. 【
详
解
】
函
数
()
f x 的定义域为：
{}06x x <<,
()()22
112
2
log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6. 故答案为：()3,6
【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.
15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则
()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．
【答案】2243x x -+-【解析】 【分析】
根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当
23x <≤时,函数的解析式即可.
【详解】边长为1的正方形ABCD 的对角线长为2,
当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =； 当1x =时, C 点的坐标为：2),即(1)2f =
当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =； 当5x =时, C 点的坐标为：2),即(5)2f =
当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的
1
4
圆,其方程为： 222(2)143x y y x x -+=⇒=-+-所以2()43f x x x =-+-.
2243x x -+-
【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力. 16.已知函数()2
2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式
()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________．
【答案】[)5,-+∞ 【解析】 【分析】
根据函数()2
2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范
围,求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的
单调性,最后求出t 的取值范围.
【详解】2221()(0)ax x f x x x
'
-+=>,因为函数()2
2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值
点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
,解
得1
02
a <<
. ()()22
1112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦
2
1ln 2a a
=---,
设21()1ln 2,02h a a a a ⎛
⎫=-
--<< ⎪⎝
⎭, 2
2()0a h a a '-=
>,故()h a 在1
02a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭
,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞
故答案为：[)5,-+∞
【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键. 三、解答题
17.在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且
222cos cos sin sin sin C B A A C -=-．
(1)求角B 的值；
(2)若ABC △
的面积为
b =,求a
c +的值．
【答案】(1)3
π
；(2)9 【解析】
(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；
(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.
由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,
所以222
cos 2a c b B ac
+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3
B π
=.
(2)由(1)知3
B π
=,
又b =
,
2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①
又1
sin 2
S ac B =
=20ac ∴=,②
由①②得，2241a c +=,
所以()2
22a c a c +=++281ac =, 所以9a c
.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.
18.已知函数()2
2ln f x x a x =-,()2
22ln 2g x x x =-+-．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】
(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；
(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.
【详解】(1)()22a f x x x '=-()
22x a
x
-=
, 故当0a ≤时,()0f x '≥,
所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,
当0a >时,令()0f x '>,得x
所以函数()f x 在
)
+∞上单调递增,
令()0f x '<,得x <
所以函数()f x 在(
上单调递减,
综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,
当0a >时,函数()f x 在
)
+∞上单调递增,在(上单调递减.
(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()2
1F x x
'=
-,令()0F x '=, 解得2x =,
当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F
=，
所以()()g x f x -有且只有一个零点2.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.
19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面
ABD ,F 是BD 的中点,且2AE =．
(1)求证：DE AC ⊥；
(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】
(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥； (2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角
B E
C F --的大小．
【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则()
0,0,2E ,()2,0,0B ,()0,2,0D
取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又
平面BDA ⊥平面BDC ,
CF ∴⊥平面BDA ,
(C ∴
,
(0,DE ∴=-
,(AC =
, (0,DE AC ⋅=-
⋅(0=,
DE AC ∴⊥.
(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,
则(2,0,EB =
,(BC =-,
DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨
⋅=
⎩1111120
x x y ⎧-=⎪⎨
--=⎪⎩ 令()
1,1,n =-.
平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =,()1,1,0F 所以()1,1,0EC =
，(FC =,
由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩
得()1,1,0m =-.
设二面角B EC F --为θ, 则2
cos cos ,n m θ==
所以二面角B EC F --的大小为45︒.
【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.
20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>
>的两个焦点,O 为坐标原点,
,点
()
在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断
tan DE DF EDF ⋅∠是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存
在,说明理由．
【答案】(1)22
162x y +=；(2)存在,最小值为6
,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】 【
分析】
(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；
(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠的表达式,可以发现只需判断
EDF 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根
与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.
【详解】(1)点()
在椭圆上,则2
231
1a b
+=, 又
c a =
222a b c =+, 解得26a =,22b =,
∴椭圆的方程为22
16
2
x y +=；
（2）tan DE DF EDF DE
⋅∠
=sin 2DEF DF
EDF S ∠=△, 只需判断EDF 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,
联立2216
2y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩
,得2
2
6
31x k =+
, 所以1EF x ==
因为1
OD
k k
=-，同理可知OD =
=
,
1122EDF S EF OD =
=⋅
△
261k +=()()()
22
2
613
3132
k k k +≥
=++,
此时22313k k +=+,
因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠最小值为6, 易知直线OD 的方程为y x =-,
联立22162y x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩,
解得2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
,
即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202x
g x a x a
=
>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；
(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由．
【答案】(1)
12
；(2)1a ≥；(3) 当1
12a <<时,()F x 极大值大于极小值；
当1
02
a <<
时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】 【分析】
(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值；
(2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；
(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可.
【详解】(1)因为()11
f x x '=
+,()()242a g x x a '=+, 所以()112
f '=,()()24112a
g a '=
+,
由()()11f g ''=,得12
a =
(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102x
x x x a
+->+, 易知()00F =,
()()21412a F x x x a '=-++()()()22
4112x a a x x a +-=++ ①当()4100
a a a ⎧-≥⎨
>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,
所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.
②当()4100
a a a ⎧-<⎨
>⎩，即01a <<时,
()0F x '=,得
1x =-
,2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,
()()00F x F <=,不符合题意.
综上,1a ≥. (3)()()
()()
22
41012x a a F x x x a +-'=
=++,
即()2
410x a a +-=有两个不相等实数根
1x =-
2x =因为()
101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩
,
所以01a <<且1
2
a ≠,
①当21a -<-时,即112
a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,
故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >.
②当120a -<-<时,即102
a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,
故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .
()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a
-++++ ()()()
21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭, 因为210x x ->,220x a +>,120x a +<,
所以()()12F x F x <. 综上，当
112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102
a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力.
22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P
的极坐标54π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．
【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；
【解析】
【分析】 (1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；
(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．
【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,
由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭cos sin 22θθ⎫⋅-⋅⎪⎪⎭
2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,
即22
22x y x y +=-, ∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；
(2)易知P 的直角坐标()3,3--
，设()
1,1Q αα-+, 则PQ
的中点24,22M αα⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝
⎭
, 设M 到直线l 的距离为d ,
则d
=
=当sin 14πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时
,min 2
d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力.
23.已知函数()12f x x x =+-．
(1)求不等式()2f x ≥-的解集；
(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上有解,求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；
a ≤≤【解析】
【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；
(2)根据题意本问题题可以转化为()2
max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．
【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩
, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅
故不等式()2f x ≥-的解集为{}
13x x -≤≤；
(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩
, 在2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,
所以2520a a -+≤,
解得5522
a +≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。