复变函数笔记—（1）基本概念

复变函数笔记—（1）基本概念
复变函数笔记—(1)基本概念
复数
 复数的⼤部分基础知识在中学阶段就已涉及，这⾥只是简单复述和⼀点拓展。

定义
 形如z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，满⾜i2=−1，且x,y∈R。

x称为复数z的实部，记作x=Re(z)；同理，y称为复数z的虚部，记作y=Im(z)。

若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。

 众所周知，实数可以在⼀条直线——数轴 R 上表⽰，复数也可以在⼀个平⾯——复平⾯ C 上表⽰。

 复数的加减乘除和实数有着⼀样的定义，同样也满⾜交换律、结合律......等⼀系列性质，在运算时只是需注意下i2=−1 即可。

 对于复数的整数次幂，有着和实数⼀样的定义：
z n=z·z·...·z
n个z
 若w n=z，则w称为z的n次⽅根，记作w=n√z。

不难看出，对于复数z≠0 的n次⽅根有n个不同的值。

表⽰
 复数除了在笛卡尔坐标中的表⽰⽅法z=x+iy以外，还可以把复平⾯放⼊极坐标中表⽰为：
z=r(cosφ+i sinφ)
 其中r为z的模（即复平⾯中z到原点的距离，记作r=|z|），φ为z的辐⾓（记作φ=Arg(z)）。

 不难看出，⼀个复数的模是唯⼀的，但是辐⾓并不唯⼀，相互可以相差 2kπ，所以通常⽤arg表⽰辐⾓中的⼀个，并通常会给出其范围。

本⽂约定arg范围为 [0,2π]。

 在极坐标中对复数的表⽰感觉略显复杂，还包括三⾓函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之⼀）对其化简，变为：
z=re iφ
 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐⾓相加。

复变函数
区域
 在复平⾯中的点集D满⾜：
1.开集性：对于任意z∈D，都存在z的邻域U(z)⊂D。

2.连通性：对于任意z1,z2∈D，都可以⽤包含于D的折线相连。

 那么称D为复平⾯上的⼀个区域。

 对于区域D，如果点z的任意邻域都有属于D，也有不属于D的点，则称z为区域D的边界点。

由所有边界点组成的点集称为边界，记作 ∂D。

因为区域都具有开集性，所以显然区域的边界点都不属于该区域，即：
∂D⊄D
 区域同它边界合在⼀起称为闭区域，记作\bar{D}，即：
\bar{D}=D\cup ∂D
 假定区域的边界都是由有限多的闭合曲线、截痕、点组成的，例如：
 再定义边界被分成若⼲独⽴连接部分，这些部分的数⽬就为连通阶数。

在上图中，区域为⼆阶连通区域，闭合曲线和截痕为⼀部分，点为⼀部分。

 对于单连通区域（⼀阶连通区域），取边界上⼀点，顺着边界沿某⽅向⾛，保证区域始终在左边，这个⽅向就称为正⽅向。

再定义对于单连通区域，沿正⽅向⾛⼀圈，某个边界点被进过的次数称为重数，⼀重点⼜称单点。

例如单连通区域：
 其中正⽅形为红⾊箭头⽅向，且点A是三重点，B是单点，C是⼆重点。

定义的拓展
\mathbf{1.}复变函数
（别问为什么“复变函数”做了怎么多标题，因为想不到更概括的）
 函数f如果是从\mathbb{C}映射到\mathbb{C}，则称f为复变函数。

 如果复变函数f是映射上的单射，则称f是单值的；若是双射，则称f是⼀⼀的或单叶的。

\mathbf{2.}极限
 对于复变函数f(z)=w，其中z=x+iy、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（把复变函数变为两个⼆元实函数），如果：
\lim\limits_{x \to x_{0} \atop y \to y_{0}} u(x,y)=u_{0}
\lim\limits_{x \to x_{0} \atop y \to y_{0}} v(x,y)=v_{0}
 两个极限都存在，则称f(z)在点z_{0}=x_{0}+iy_{0}的极限为w_{0}=u_{0}+iv_{0}，记作：
\lim\limits_{z \to z_{0}} f(z)=w_{0}
 通过研究实变函数相似的⽅法，可知实变函数关于极限的基本性质对于复变函数依然满⾜。

该强调，复变函数的极限与趋近⽅式⽆关。

\mathbf{3.}连续
 当复变函数f在z_{0}点的极限为其在该点取值时，即：
\lim\limits_{z \to z_{0}} f(z)=f(z_{0})
 则称f在点z_{0}处连续。

 通过前⾯极限的定义，可以看出，f在点z_{0}连续的充要条件是函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)连续。

顺带指出，若函数f在区域D中每⼀点都连续，则称f在区域D内连续，记作：
f(z)∈\mathcal{C}(D)
 其中\mathcal{C}(D)表⽰在D内所有连续函数的集合，类似的有可微\mathcal{C}'(A)、线性\mathcal{L}(A)等。

 同时，有界、⼀致连续等定义也和实变函数中的定义相似。

当然，连续同样也可以像实变函数⼀样⽤δ,ε语⾔定义。

 通过连续，这⾥给出⼀个定理，但不加证明（证明需⽤拓扑学知识）：
 若函数w=f(z)为区域D到M的单叶连续映射，
 则M也为⼀个区域，且反函数z=f^{-1}(w)也为区域M内的单叶连续映射。

\mathbf{4.}可微
 如果函数f(z)在点z附近，如果极限：
\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}
 存在，则称f(z)在点z处可微（可导），且称该极限的值为f(z)在点z_{0}的导数。

 关于可微，有个⼗分著名的充要条件，即柯西-黎曼⽅程：
f(z)=u+iv~在点~z~可微 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u(z)}{\partial x}=\frac{\partial v(z)}{\partial y} \\ \frac{\partial u(z)} {\partial y}=-\frac{\partial v(z)}{\partial x} \end{array}\right.
 （关于这个名字，其实最初提出该⽅程的是达朗贝尔和欧拉）
 接下来只证明其必要性：
 设函数f在点z可微（依然设f=u+iv和z=x+iy），即\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}存在。

⼜因为复变函数极限与趋近⽅式⽆关，所以先令z+h的虚部和z相同，⽽从实部趋近于z，那么极限可变为：
\lim\limits_{h \to 0}\frac{u(x+h,y)+iv(x+Δx,y)-(u+iv)}{h}
 将u凑在⼀起，v凑在⼀起，不难发现有两个偏导的定义式，将v的系数i提出得到原极限为：
f'=\frac{∂u}{∂x}+i\frac{∂v}{∂x}
 类似地，令z+h的实部等于z的实部，从虚部趋近z，可得到原极限还等于：
f'=\frac{∂v}{∂y}-i\frac{∂u}{∂y}
 因为两种趋近⽅式得到的结果应该⼀样，所以有：
\left\{ \begin{array}{l} \frac{∂u}{∂x}=\frac{∂v}{∂y} \\ \frac{∂u}{∂y}=-\frac{∂v}{∂x} \end{array} \right.
 于是就证明了其充分性。

⽽必要性就利⽤多元函数的，将f(z+h)-f(z)写为u,v的全微分形式，最后证得f(z+h)-f(z)的值等于Ah+o(h)，其中A与h⽆关，两边除以h即得导数存在，即可微。

解析
 复变函数论⼜称解析函数论，可见解析在复变中是⼀个极为重要的性质。

 若函数f在区域D内处处可微，则称f在区域D内解析，f为区域D内的解析函数。

 若对数学中函数的⼀些性质有⼀定了解，可发现“解析”这个性质是极强的性质，所以解析函数的性质也⼗分优秀。

甚⾄有种说法，复变函数是研究性质最好的函数，⽽实变函数是研究性质最差的函数。

从后⾯的学习也可知“解析”这个性质确实可以推出很多优美的结论。

 以上就是本篇全部内容。

下⼀篇时间随缘吧。

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