数学物理方程 教学课件

数学物理方程
初边值问题（混合问题）：既有初始条件，又有边 界条件；
初始问题（Cauchy问题）：只含初始条件； 边值问题：只含边界条件。
从数学角度，主要研究定解问题的三个性质： ① 解的存在性 定解问题至少存在一个解； ② 解的唯一性 定解问题至多有一个解； ③ 解的稳定性 定解问题的解对定解条件或方程 中的参数等的连续依赖性。 适定：定解问题的解存在、唯一、稳定。
数学物理方程
线性方程：方程中关于未知函数及其偏导数都是一 次的；
拟线性方程：方程不是线性的，但其最高阶导数仍 是一次的；
非线性方程：除了线性、拟线性方程之外的方程。
k 阶偏微分方程的一般形式
数学物理方程
经典解（古典解）：
在 中有定义且k
次连续可微，代入方程能使其在 中恒成立。
例1. 求二阶线性偏微分方程的解
解：固定 ，对方程两边关于 积分，得
再固定 ，对其两边关于 积分，得到方程的解为
其中
是任意的可微函数。
数学物理方程
定解条件：对微分方程所表征的物理量附加的一些 特定条件。
1. 初始条件：关于初始时间的物理量限制条件； 2. 边界条件：关于区域边界上的物理量限制条件。 定解问题：寻求方程满足定解条件的解的问题。
微分方程系列课程之
数学物理方程
数学物理方程
数学物理方程
课程主要内容：
1. 典型方程的推导和常用建模方法； 2. 定解问题解的性质（存在性、唯一性和稳定
性）； 3. 数理方程的应用举例。
第一章 绪论
数学物理方程
§1.1 偏微分方程及基本概念
偏微分方程：含有多元未知函数及其偏导数的等式。
பைடு நூலகம்
阶：方程中关于未知函数的最高阶偏导数的阶数。
③ 研究解的性质。
数学物理方程
数学物理方程（数理方程）：主要指从物理学以及 其他自然科学、技术科学等中所产生的偏微分方 程（有时也包括常微分方程、积分方程、积分微 分方程等）。 数理方程的主要研究内容：
① 建立数学模型 把实际问题归结为数学问 题，也就是归结为数理方程的定解问题；
② 求解定解问题 提供定解问题的解法，给出 解的表达式或解的数值形式；