解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)

分析几何中的定点和定值问题
【教课目的】学会集理选择参数（坐标、斜率等）表示动向图形中的几何对象，研究、证明其不变性质 ( 定点、定值等 )，领会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中的作用．
【教课难、要点】解题思路的优化．
【教课方法】议论式
【教课过程】
一、基础练习
1 、过直线x 4 上动点 P 作圆O：x2y
2 4 的切线PA、PB，则两切点所在直线AB 恒过必定点．此定点的坐标为．
【答案】(1,0)
y
P
B
4
x
A
【分析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x 4)y( y t ) 0 ，
故 AB 是两圆的公共弦，其方程为4x ty 4 ．
注：部分优异学生可由x0 x y0 y r 2公式直接得出．
4x40令
0得定点 (1,0) .
y
2 、已知 PQ 是过椭圆 C : 2 x2y21中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于P、Q的随意一点．若AP、AQ分别有斜率 k1、 k2，则 k1k2=______________．
【答案】 -2
【分析】设P( x, y), A( x0 , y0 ) ，则Q(x,y) y0y y0y y02y 2
k1 k2
x x0x 2
x
2
，
x0x0
2x2y 21
又由 A 、 P 均在椭圆上，故有：00，
2x2y21
y02
y
2
两式相减得 2( x0
2x 2 )( y0
2y
2 ) 0， k1k222
2
x0x
3 、椭圆x 2y 2
1，过右焦点F作不垂直于 x 轴的直线交椭圆于A、 B 两点，3627
AB 的垂直均分线交x 轴于N e=1
，则 NF : AB 等于_______.
4
2
【答案】1 4
【分析】
设直线 AB 斜率为 k ，则直线方程为y k x 3 ,
与椭圆方程联立消去y 整理可得34k 2x224k2 x36k 2 1080 ,
则 x1 x224k2
2
, x
1
x
2
36k 2108 34k34k2
,
所以 y1y2
18k
, 34k2
则 AB 中点为
12k 2
,
9k
. 34k
2
4k
2
3
所以 AB 中垂线方程为 y9k21x12k22,
34k k 3 4k
令则 x3k 2即
N 3k2
2 ,0
y 0 ,
34k2,34k,
所以 NF3
3k 29(1k 2 ) 34k234k 2
.
AB1 k
2
x 1 2
36 1 k 2
NF 1
x 2
4x 1 x 2
4k 2
,所以
.
3 AB
4
４、已知椭圆 x 2
y 2 1(a b 0) ， A, F 是其左极点和左焦点，
P
是圆 x 2
y 2
b 2
a 2
b 2
上的动点，若
PA = 常数，则此椭圆的离心率是
PF
【答案】 e = 5 1
2
【分析】
PA
常数
，所以当点 P 分别在（± b ，0 ）时比值相等，
因为 PF
即
a b = a+b
，整理得： b 2 ac ，
b c b+c
又因为 b 2 a 2 c 2 ，
所以 a 2
c 2
ac
同除以 a 2 可得 e 2 + e -1=0 ，解得离心率 e =
5 1 ．
2
二、典例议论
例１、
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，椭圆 C ：
x 2
y 2 1的左极点为 A ，过原点 O 的直线（与
4
2
坐标轴不重合）与椭圆
C 交于 P ，Q 两点，直线 PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点．
试问以 MN 为直径的圆能否经过定点（与直线 PQ 的斜率没关）？请证明你的结论．
y
M
A
P
O
Q
N
x
剖析一：
设 PQ 的方程为 y
kx ，设点 P x 0 , y 0 （ x 0 0 ），则点 Q x 0 , y 0 ．
联立方程组
y
kx,
消去 y 得 x 2
4 2
．
2
2y 2
41
x
2k
所以 x 0
2
，则 y 0
2k
．
1 2k
2
1 2 k
2
所以直线 AP 的方程为 y
k
x 2 ．进而 M 0,
2k
1 1 2k 2
1 2k 2
1
同理可得点 N
0, 2k
．
1
1
2k 2
所以以 MN 为直径的圆的方程为
x 2
( y
1
2k 2k 2
)( y 2k ) 0
1 1
1 2k 2
整理得： x 2
y 2 ( 2k
2k ) y 2 0
1
1 2k 2
1
1 2k
2 x 2 y 2 2 0
2, 0)
由
，可得定点 F (
y
剖析二 ：
设 P （ x 0， y 0 ），则 Q （﹣ x 0 ，﹣ y 0），代入椭圆方程可得 x 0 2 2 y 02 4 ．由直线 PA 方程
为：
y
y 0 ( x 2) ，可得 M 0,
2y 0
2 y 0 x 0
x 0
，同原因直线 QA 方程可得 N 0,
，可得以
2
2
x 0
2
MN 为直径的圆为 x 2
y
2y 0
2
y 2y 0 2 0 ，
x 0
x 0
整理得： x 2
y 2
2y 0
2 y 0 y 4 y 2 0
x 0 2
x 0 2 x 0 2 4
2
4
2
，代入整理即可得
x 2
y 2
4x 0 y 0 y 2 0
因为 x 0
2y 0
x 0 2
4
此圆过定点 F (
2, 0) ．
剖析三 ：
易证： k AP k AQ
b 2 1 a 2
，
2
故可设直线
AP 斜率为 k ，则直线 AQ 斜率为
1 .
2k
直线 AP 方程为 y k( x
2) ，进而得 M (0, 2k ) ，以
1 1
代 k 得 N 0,
2k
k
故知以 MN 为直径的圆的方程为 x 2
( y 2k)( y
1 ) 0
k
整理得： x
2
y
2
2 (
1
2k ) y 0
k
x 2 y 2
2 0
2, 0) .
由
，可得定点 F (
y
剖析四、
设 M (0, m), N (0, n) ，则 以 MN 为直径的圆的方程为
x 2 ( y m)( y
n) 0
即 x 2
y 2
(m n) y mn
再由
k AP k AQ k AM k AN = b 2
1
得 mn - 2 ，下略
a
2
2
.
例 2 、已知离心率为 e 的椭圆
C :x2y2恰过两点，，a2b2
1(a b 0)
(1 e) 和 20 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2) 已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，此中M 、N 对于原点O对称，AB过点 E(1, 0) ，
且 AB、MN 斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和能否为定值？证明你的结
论.
y
M
A
x
分析：O E
a23B N
e (1)由题意：1e22
a2b21
b21
所以椭圆 C 的方程为x
2
y21. 4
(2)设 AB 方程为y k( x1) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，
则 MN 方程为y kx
又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )
k AM k
BN
y1kx3y2kx3k( x1 1) kx3k ( x21) kx3
x1x3x2x3x1x3x2x3
则整理得： k AM k BN k ( x1x3 1)(x2x3 ) (x2x3 1)(x1 x3 )
( x1x3 )( x2x3 )
k AM k
BN
k 2x1x22x32( x1x2 )
①( x1x3 )( x2x3 )
由y k( x1)
消元整理得： (4 k 21)x28k2 x 4k 240 ，x2 4 y24
.
所以 x1 x2
8k 2
1 , x1 x2
4k
4k24k
2
2
4
②
1
y kx
又由消元整理得：x2 4 y2 4
(4 k 2 1)x2 4 ，所以 x324
1③
4k 2
将②、③代入①式得： k AM k
BN0.
例 2( 变式 ) 、已知离心率为 e 的椭圆
C
x2y2
1(a b 0)
，，
. :
a2b2恰过两点 (1 e) 和 20
(3)求椭圆 C 的方程；
(4)已知 AB、MN 为椭圆C上的两动弦，此中 M、N 对于原点O对称，AB过定点
E(m, 0), ( 2 m 2) ，且 AB、MN 斜率互为相反数. 试问：直线 AM 、 BN 的斜率之和能否为定值？证明你的结论.
y
M
A
x
分析：O E
a2
B N e3
(3)由题意：1e22
a2b21
b21
所以椭圆 C 的方程为x
2
y21. 4
(4)设 AB 方程为y k( x m) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，
则 MN 方程为y kx
又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )
.
k
AM k
BN
y1kx3y2kx3
x1x3x2x3
k( x1m)kx3k (x2m)kx3 x1x3x2x3
则整理得： k AM k
BN
k ( x1x3m)( x2x3 ) ( x2x3m)( x1x3 )
(x1x3 )( x2x3 )
k
AM
k
BN
k 2x1x22x32m( x1x2 )
①
( x1x3 )( x2x3 )
y k( x m)
消元整理得： (4 k21)x28k 2mx4k 2 m240 ，
由
4 y24
x2
所以 x1x28k
2
m
, x1 x24k 2m24②4k214k21
又由y kx
消元整理得：x2 4 y24
(4 k 21)x2 4 ，所以 x324
1③
4k 2
将②、③代入①式得：k
AM
k
BN0.
三、课外作业
1 、已知椭圆x2y2A、B是其左、右极点，动点M知足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P
1 ，，
42
在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为．
【答案】（0,0 ）
【分析】
试题剖析：设M (2,t ), 则AM : y t
( x 2) ，与椭圆方程联立消y 得(t28) x24t 2 x 4t 232 0，4
.
28t t 2
8t
162t
，所以 k BP 82
，即 k BP k OM1，点Q的坐 O
所以 x P
28， y P2
2t2t
t t 816
t 282
（0,0 ）
x2y21上不一样于左
点A、右点 B 的随意一点，直PA， PB 的斜率2 、已知 P 是
4
12
分 k1 , k2 ,则 k1k2的．
1
【答案】
3
【分析】
P( x, y) ， A(23,0), B(23,0)
y
， k2y
k1
x2，
x 2 33
y y y2 k1k2
x2，⋯⋯①
x 2 3 x 2 312
因 P 在上，所以x2y2 1 ，即 y212x2⋯⋯②
1243
把②代入①，得k1k2
y21 x2123
x2y2
1(a b0) 的离心率e=1
， A,B 是的左右点，P 上不一样于
3 、已知
b2
a22
AB 的点，直PA,PB 的斜角分,， cos() =.
cos()
【答案】 7
【分析】
.
试题剖析：因为
A,B 是椭圆的左右极点，P 为椭圆上不一样于 AB 的动点，
k
PA
k
PB
b 2 Q e
1 c 1 a
2 b 2
1 b
2
3 k
PA b 2 3 a 2
2 a 2
a 2
4 a 2
4，
k PB
，
a 2
4
cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 3
4 7
cos(
) cos cos
sin
sin
1 tan
tan
1 3
4
4 、以下图，已知椭圆
x 2 y 2
1，在椭圆 C 上任取不一样两点
A ，
B ，点 A 对于 x 轴的对称
C ：
4
点为 A ' ，当 A ， B 变化时，假如直线 AB 经过 x 轴上的定点 T (1 ， 0) ，则直线 A 'B 经过 x 轴上的
定点为 ________．
【答案】 (4 ， 0)
AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，由 x 2 y 2 1
得 (my ＋ 1) 2 ＋ 4 y 2 ＝4 ，即 (m 2 ＋ 4) y 2＋ 【分析】设直线 4
x my 1
2 my －
3 ＝ 0.
记 A (x 1， y 1 )， B (x 2， y 2)，则 A ′(x 1 ，－ y 1)，且 y 1＋ y 2＝－ 2m
， y 1 y 2＝－
3 ，
m 2
4
m 2 4
当 m ≠0 时，经过点 A ′(x 1，－ y 1 )，B( x 2， y 2 )的直线方程为
y
y 1 ＝ x x 1
.令 y ＝ 0 ，得 x ＝
y 2
y 1 x 2
x 1
x 2 x 1 y 1 ＋ x 1
my 2 my 1 y 1 ＋ my 1 ＋ 1 ＝ my 1 y 2－my 12＋my 1 y 2＋ my 12
＋ 1 ＝
2my 1 y 2 ＋ 1 ＝
y 2
y 1 ＝
y 1
y 2＋ y 1
y 2＋ y 1
y 2
.
－
2m3
m24＋ 1 ＝ 4 ，所以y＝ 0 时，x＝4.
2m
m24
当 m ＝0时，直线AB的方程为 x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然能够有一条经过点 (4 ，0) 的直线．当直线 AB 为 x 轴时，直线A′B就是直线 AB ，即x轴，这条直线也
经过点 (4 ， 0) ．综上所述，当点A，B 变化时，直线A′B 经过 x 轴上的定点(4，0)．
x2y2
1的右焦点 F2的直线交椭圆于于M ,N 两点，令F2 M m, F2 N n ，则5、过椭圆
3
4
mn
____ ．
m n
【答案】
3
4
【分析】
x2y 2
1
，得 M 试题剖析：不失一般性，不如取MN垂直 x 轴的状况，此时 MN ：x=1, 联立43
x1
（1，3
）,N （1，-
3
），∴m=n= 3 ，∴ mn3 222m n4
6 、已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为F12，0，点B 2,2
在椭圆 C 上，直线y kx k0
与椭圆 C 交于
E F
两点，直线
AE AF
分别与
y
轴交于点
M
，
，，
N ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．
x2y2
1(a b 0) ，
分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为
b2
a2
因为椭圆的左焦点为 F12，0 ，所以a2b2 4 ．
设椭圆的右焦点为F2 2，0，已知点 B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 BF1BF22a ，
所以 2a3224 2 ．
所以 a22，进而 b2．
所以椭圆 C 的方程为x
2
y 2 1 ．84
解法二：设椭圆
C 的方程为
x2y 2
a2b2
1
(a b0) ，
因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①
因为点 B 2,2
42
1．②在椭圆 C 上，所以
b2
a2
由①②解得， a2 2 ，b 2．
所以椭圆 C 的方程为x2y 2
1 ．84
（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为22,0．
因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y2
1交于两点E，F，84
设点 E x, y（不如设 x00 ），则点 F x0 ,y0．00
y kx,
28
联立方程组x2y2消去 y 得x2．
84
112k
所以 x022，则 y022k．
12k1
2
2 k2
所以直线 AE 的方程为y
k
x22．112k 2
因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，
令 x
22k22k
0 得 y
12k2
，即点 M 0,
1
．112k2
同理可得点
22k
N 0,．
1 1 2k2
22k22k2 2 12k 2
．
所以 MN
12k 2112k2k
1
设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,
2
k
．
2
2 2
2 12k 2
则以 MN 为直径的圆的方程为x2y
k ，
k
即 x2y 22 2 y 4 ．
k
令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．
故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．
解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为22,0 ．
因为直线 y kx (k0) 与椭圆x
2
y21交于两点 E，F，84
设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (x0 ,y0 ) ．
所以直线 AE 的方程为y
y0x22
．x022
因为直线 AE 与 y 轴交于点M，
令 x
2 2 y0
，即点 M
2 2 y0
．0 得 y
22
0,
x0x022
同理可得点 N 0,
2 2 y0
．x022
2 2 y0 2 2 y016 y0
．所以 MN
2 2 x0x028
x0 2 2
因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y02
1 ．84
.
所以 MN 8
．y0
设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P
2x0
．0,
y0
2
则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016
．y0
2
y0
即 x2y2 +2 2x
0 y4 ．
y0
令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．
故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．
解法三：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0．
因为直线 y kx ( k 0) 与椭圆x2y2
1交于两点E，F，84
设点 E2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．
所以直线 AE 的方程为y
2sin x22
．22 cos 2 2
因为直线 AE 与 y 轴交于点M，
令 x 0 得 y2sin，即点 M0,2sin．
cos1cos1
同理可得点 N0, 2sin．
cos1
所以 MN
2sin2sin4
1cos1．
cos sin
设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2cos
．sin
2
则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2cos4，
sin sin2
.
即 x 2
y 24cos
y 4 ．
sin
令 y
0 ，得 x 2
4 ，即 x 2或 x 2 ．
故以 MN 为直径的圆经过两定点
P 1 2,0 ，P 2 2,0 ．
、已知椭圆
x 2
y 2
（a
， b
）的离心率为 3 A (1 ，
3
在椭圆 C 上．
7C: a
2
b 2
=1
>0>0，点
2 )
2
(I) 求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ )设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断能否存在以原点
O 为圆心的圆，满
足此圆与 l 订交于两点 P 1， P 2 （两点均不在座标轴上） ，且使得直线 OP 1 ， OP 2 的斜率之
积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明原因．
（Ⅰ）解：由题意，得
c 3 ， a 2 b 2 c 2 ，
又因为点 A(1, 3 )在椭圆 C 上，
a
2
2
所以
1
3 1 ， 解得
a
2 ， b 1， c
3 ，
a 2
4b 2
所以椭圆 C 的方程为
x 2
y 2
1.
4
（Ⅱ） 结论：存在切合条件的圆，且此圆的方程为
x 2
y 2
5 .
证明以下：
假定存在切合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2
y 2 r 2 (r
0) .
当直线 l 的斜率存在时，设
l
的方程为
y
kx m .
y kx
m,
2
2
2
由方程组
x 2
得 (4k
1) x
8kmx 4m
4
0 ，
y
2
1,
4
因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，
所以 1 (8km) 2
4(4k
2
1)(4m
2
4) 0 ，即 m 2
4k 2 1 .
.
y kx m,
得 (k 2
2
2kmx
m 2
r 2
0 ，
由方程组
y 2
r 2 ,
1)x
x 2
则
2
(2km)
2
4(k
2
1)(m
2
r 2 ) 0 .
设 P 1 (x 1, y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，则
x 1
x 2 2km ， y
2x
b ，
k 2 1
设直线 OP 1 ， OP 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，
y y
2 (kx
m)(kx 2
m) k 2 x x
2
km( x
x ) m 2
k 1k 2
1
1
1
1
2
x 1x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
所以
k 2 m 2 r 2 km k 2km m 2 m 2 2 2
k 2
1 2 1
r k
2 r 2
2 r 2
m
m
k 2 1
，
k 1 k 2
(4 r 2 )k 2
1
2
4k 2
1
4k 2
(1
r 2
) .
将
m
代入上式，得
要使得
k 1
k
2
为定值，则
4 r 2
1
2
4
1 r
2 ，即 r 5 ，考证切合题意 .
所以当圆的方程为
x 2 y 2
5 时，圆与 l 的交点 P 1, P 2 知足 k 1k 2 为定值 1 .
4 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l
的方程为 x
2 ，
此时，圆 x 2 y 2
5 与 l 的交点 P 1 , P 2 也知足 k 1k 2
1 .
4
y 2 2
2
2
8、已知椭圆 C 1 ：
x
1( a b
0) 的离心率为
，且过定点 M (1 ， )． a 2
2
2 2
b
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 已知直线 l ： y kx
1
(k R) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，试问在 y 轴上能否存在定点
P ，使得
3
以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明原因．
e
c
2
5
a
2
a 2
2
2
a 2
2
(1) 解：由已知 b c
b
2
5
1 1
1
2a 2
2
4
b
∴椭圆 C 的方程为2 y
2
4x21 55
y kx 1
322
(2) 解：由得：9(2k4) x12kx 43 0
2y24x2
1
5 5
设 A(x1， y1)， B(x2， y 2)，则 x1、 x2是方程①的两根
∴x1x2
12k
，x1 x2
43
9(2k24)9(2k24)
uuur
，
uuur
，
设 P(0， p )，则PA ( x1，p)
y1p) PB ( x2y2
uuur uuur
p 21
PA PB x1 x2y1 y2p( y1y2 )x1 x2(kx1)( kx2
(18p 245)k236 p2
3 2
4 p39
uuur uuur uuur 9(2k24) uuur
若 PA PB ，则 PA PB
即 (18 p245)k 236 p224 p39 0对随意 k∈R恒建立18p 245 0
∴
24 p390
36 p2
此方程组无解，∴不存在定点知足条件
.①
1
) pk ( x1 x2 ) 2 p p2
33。