天津市静海县2017_2018学年高二数学4月学生学业能力调研测试试题理提高卷20180428110

天津市静海县第一中学 2017-2018学年高二数学 4月学生学业能力调
研测试试题
x 1. （15分）函数 f (x )
ax sin x cos x ，且 f (x ) 在
4
处的切线斜率为 2
8
.
(1)求 a 的值，并讨论 f (x ) 在
[
,
]]上的单调性；
(2)设函数
1 x
g (x )
ln(mx
1)
1 x
(x 0) ，其中 m 0，若对任意的
x 1 [0, )
总存在
x 2
[0, ]
，使得 g (x 1) f (x 2 )成立，求 m 的取值范
围 2
3 h (x ) x sin x
（3）已知函数
2
，试判断 h (x ) 在 (
, 2
) 内零点的个数.
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2. (15分)已知函数f(x)e ax
x ，(a R)的图象与y轴交于点A，曲线y f(x)在点A
处的切线斜率为－1.
(1)求a的值；
(2)证明：当x 0时，x
e；
2x
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x ,)
0时，恒有x2
ce x
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静海一中2017-2018第二学期高二数学(4月)
学生学业能力调研提高卷答案
π2π
1.(15分) 已知函数f(x)＝ax sin x＋cos x，且f(x)在x＝处的切线斜率为.
4 8
(1)求a的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
1－x
(2)设函数g(x)＝ln(mx＋1)＋，x≥0，其中m>0，若对任意的x1∈[0，＋∞)总存
1＋x
π
在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)成立，求m的取值范围．
2
[解析](1)∵f′(x)＝a sin x＋ax cos x－sin x＝(a－1)sin x＋ax cos x，
π 2 π 2 2π
f′(4 )＝(a－1)·＋·a·＝，
2 4 2 8
∴a＝1，f′(x)＝x cos x.
ππ
当f′(x)>0时，－π<x<－或0<x< ；
2 2
ππ
当f′(x)<0时，－<x<0或<x<π，
2 2
ππππ
∴f(x)在
( ，上单调递增；在，上单调递减．
－π，－2) (0，2) (－，0) ( ，π)
2 2
π
(2)当x∈[0，]时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1，
2
则只需g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立即可．
m－2
m( m)
x2＋
g′(x)＝(x≥0，m>0)，
mx＋1x＋12
m－2
①当m≥2时，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上单
m
调递增，又g(0)＝1，
∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2时成立．
2－m
②当0<m<2时，当x∈( 时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减，∴g(x)<g(0)＝1，
0，m)
故0<m<2时不成立．
综上m≥2
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2.（15分）
已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<e x；
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.
解(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无
极大值．
(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<e x.
(3)①若c≥1，则e x≤c e x.
又由(2)知，当x>0时，x2<e x.
所以当x>0时，x2<c e x.
取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.
1
②若0<c<1，令k＝>1，要使不等式x2<c e x成立，只要e x>kx2成立．
c
而要使e x>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．
2 x－2
令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝，
x x
所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．
取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln2)＋3(k－ln k)＋5k，
易知k>ln k，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.
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16
即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.
c
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.
- 5 -。