2025数学大一轮复习讲义苏教版 第十章 概率、统计与其他知识的交汇问题

P(X＝9)＝C45×124×121＝352，P(X＝10)＝C55×125＝312. 所以X的概率分布为
X 5 6 7 8 9 10
P
1 32
5 32
5 16
5 16
51 32 32
则 E(X)＝5×312＋6×352＋7×156＋8×156＋9×352＋10×312＝23420＝125.
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不 低于3分的概率为f(p).求当p为何值时，f(p)取得最大值.
当 p∈35，1时，f′(p)<0，函数 f(p)单调 递减，
所以当
p＝35时，f(p)取得最大值为
f
3 5
＝C35×353×1－352＝261265，
此时，p＝n2＋43nn＋2＝35，
解得 n＝3 或 n＝23(舍去)， 所以当 n＝3 时，f(p)取得最大值261265.
思维升华
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策 方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳 方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率 为p， 则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝ 10(p3－2p4＋p5)， f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， 所以当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增，
从 n＋2 件正品中任选 2 个，有 C2n＋2种 选法，其中等级相同的有(C2n＋C22)种 选法， 所以某箱产品抽检被记为B的概率为 p＝1－CC2n＋2n＋C2 22＝1－nn22＋－3nn＋＋22＝n2＋43nn＋2.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得 最大值，并求出最大值.
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10 与q10的大小.
由①可知 pn＝23－12n－1＋13， 所以 p10＝23×－129＋13<13， 所以 q10＝12(1－p10) ＝12×23－32×－129>13， 故p10<q10.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
例2 (2023·沈阳模拟)根据以往大量的 测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸 X( 单 位 ： mm) 服 从 正 态 分 布 N(μ ， σ2) ， 并把钢管内径在[μ－σ，μ＋σ]内的产品 称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为二等品，一等品与 二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收.现从该企业生产的 产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率直方图如图.
跟踪训练2 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项
为“四人赛”.活动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可
获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局
比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明 参 两加局“)时双，人第对一战局”和活第动二时局，比每赛局获比赛胜获的胜概的率概分率别为为12p；，31参.加李“明四周人一赛到”周活五动每(每天天都 参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响.
(1)通过检测得样本数据的标准差s＝ 0.3，用样本平均数x作为μ的近似值， 用样本标准差s作为σ的估计值，根 据所给数据求该企业生产的产品为 正品的概率P1；(同一组中的数据用 该组区间的中点值代表) 参 考 数 据 ： 36.2×0.2 ＋ 36.4×0.25 ＋ 36.6×0.7 ＋ 36.8×0.8 ＋ 37×1.1 ＋ 37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
二等品内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内，即在[37.3,37.6]内， 所以该企业生产的产品为正品的概率为P1＝P(36.7≤X≤37.6)＝(0.8＋ 1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71.
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一 个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件 产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
跟踪训练1 (2023·日照模拟)在卡塔尔举办的世界杯决赛中，
阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能
地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可
能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门
将即使方向判断正确也有
2 3
的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次
＝24403(1＋2p)2(1－p)(4－10p)，
所以当 p∈0，25时，f′(p)>0，f(p)在0，25上单调递增； 当 p∈25，1时，f′(p)<0，f(p)在25，1上单调递减， 所以当 p＝25时，f(p)取得最大值.
课时精练
1.(2023·广州模拟)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的
0,1,2,3， 易知 X～B3，19， 所以 P(X＝k)＝Ck3·19k·893－k，k＝0,1,2,3，
故X的概率分布为
X0
1
2
3
P
512 7
所以 E(X)＝3×19＝13.
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名 前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可 能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能 地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传 出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 易知p1＝1，p2＝0. ①证明：pn－13为等比数列；
由题意，估计从该企业生产的产品中 随机抽取 1 000 件钢管内径的平均数为 x ≈185×0.2＝37， 所以μ＝37，σ＝s＝0.3， 则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝ 37.6， 则一等品内径在[μ－σ，μ＋σ]内，即在[36.7,37.3]内，
③ 处 写 出 pi ＋ 1 与 pi 的关系
构造等比数列{pi＋λ}，设 pi＋1＋λ＝25(pi＋λ)，解得 λ＝－13，
则 pi＋1－13＝25pi－13， (7分)
④处构造出等比数列
又 p1＝12，p1－13＝16， 所以pi－13是首项为16，公比为25的等比数列， 即 pi－13＝16×25i－1， pi＝61×25i－1＋13. (9分) (3)因为 pi＝16×25i－1＋13，i＝1,2，…，n， 所以当n∈N*时，
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的概率分布和均值；
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312， P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156，
⑤处计算出pi
E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝16×11－－2525n＋n3 ＝1581－25n＋n3，
故 E(Y)＝1581－25n＋n3.(12 分)
⑥处利用题干结论 计算E(Y)
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题 常常以概率、统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定 及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的 事件类型.
答题模板 规范答题不丢分
解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为 事件Bi，(1分)
所以 P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
①处写出P(B2)的概率计算 公式
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(3分)
P(X＝3)＝C33193＝7129， 所以X的概率分布为
X0
1
2
3
P
512 729
64 243
8 243
1 729
E(X)＝571229×0＋26443×1＋2843×2＋7129×3＝274239＝13.
方法二 依题意可得门将每次可以扑到点球的概率
为 p＝13×13＝19， 门将在前三次扑到点球的个数X的所有可能取值为
点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的概率分布和均值；
方法一 X的所有可能取值为0,1,2,3， 在一次扑球中，扑到点球的概率为 P＝13×13×13×3＝19， 所以 P(X＝0)＝C03893＝571229，
P(X＝1)＝C13·19×892＝26443，
P(X＝2)＝C23·192×89＝2843，
由题意知“每天得分不低于 3 分”的概率为 p＋(1－p)×13＝13＋23 p(0<p<1)， 所以 5 天中恰有 3 天每天得分不低于 3 分的概率 f(p)＝C3531＋23p31－13－23p2 ＝24403(1＋2p)3(1－p)2， f′(p)＝24403[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]
第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn， 则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为 pn－1， 第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1， 则 pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×12＝－12pn－1＋12， 即 pn－13＝－12pn－1－31，
又 p1－13＝23， 所以pn－13是以23为首项，－12为公比的等比数列.
第十章
§10.8 概率、统计与 其他知识的交汇问题
重点解读
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真， 支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必 考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为 创新问题.
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 (12分)(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮， 规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前 投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率；[切入点：pi＋1与pi之间的关系]
12
记甲前3次答题得分之和为40分为事件A， 则事件A是甲前3次答题中仅答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为 P(A)＝C13×34×1－342＝694.
12
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi). ①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；
(3)已知：若随机变量 Xi 服从两点分布，且 P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i
n
n
＝1,2，…，n，则 E(Xi)＝qi.记前 n 次(即从第 1 次到第 n 次投篮)中甲
i＝1
i＝1
n
投篮的次数为 Y，求 E(Y).[关键点：利用给出的公式推出 E(Y)＝pi]
i＝1
[思路分析] (1)利用全概率公式 (2)寻求pi＋1与pi之间的关系，构造等比数列 (3)根据结论及等比数列的求和公式求解
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
(5分)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
② 处 写 出 P(Ai ＋ 1) 的 概率计算公式
即 pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识
答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，
答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题
得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为
3 4
，
各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；