绝对值提高题卷分析
部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案
专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。
专题210 绝对值(拓展提高)(解析版)
专题2.10 绝对值（拓展提高）一、单选题1．9-的绝对值是（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19- 【答案】A【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可【详解】解：9-的绝对值是：9故选:A【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解定义是关键，熟记负数的绝对值是它的相反数是重点 2．若|3|7x -=，则x 的值为（ ）A ．4-B ．4C ．10D ．4-或10 【答案】D【分析】先根据题意求出（3-x ）的值，从而不难求出x 的值，注意绝对值等于正数的数有两个．【详解】解：∵|3|7x -=∴37x -=±∴x=-4或10故选：D ．【点睛】此题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的意义．3．数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等，则m 为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．1- 【答案】D【分析】由数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等且2m m +>，可得m 和2m +互为相反数，由此即可求得m 的值．【详解】∵数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等，2m m +>，∴m 和2m +互为相反数，∴m +2m +=0，解得m =-1．故选D ．【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m 和2m +互为相反数是解决问题的关键．4．已知12x -≤≤，则化简代数式|3|2|1|x x --+的结果是（ ）A ．13x -B ．13x +C ．13x --D ．13x -+【答案】A【分析】由于﹣1≤x ≤2，根据不等式性质可得：x ﹣3＜0，x +1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【详解】解：∵﹣1≤x ≤2，∴x ﹣3＜0，x +1≥0，∴|3|2|1|x x --+=（3﹣x ）﹣2（x +1）＝﹣3x +1；故选：A ．【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．5．已知|a|＝2，b 2＝25，且ab ＞0，则a ﹣b 的值为（ ）A ．7B ．﹣3C ．3D ．3或﹣3 【答案】D【分析】根据绝对值，乘方的意义求出a 、b 的值，再代入计算即可．【详解】解：因为|a|＝2，所以a ＝±2， 因为b 2＝25，所以b ＝±5， 又因为ab ＞0，所以a 、b 同号，所以a ＝2，b ＝5，或a ＝﹣2，b ＝﹣5，当a ＝2，b ＝5时，a ﹣b ＝2﹣5＝﹣3，当a ＝﹣2，b ＝﹣5时，a ﹣b ＝﹣2﹣（﹣5）＝3，因此a ﹣b 的值为3或﹣3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．6．已知,,a b c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．0ab >B ．0b c ->C ．||b c c b ->-D ．a b a c ->-【答案】D 【分析】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出b ＜c ＜0＜a ，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则得出结果．【详解】解：由数轴可得：b ＜c ＜0＜a ，∴ab ＜0，b -c ＜0， ∴b c -=c -b ，a-b 可以看作a ，b 之间的相差的单位长度，c -b 可以看作c ，b 之间的相差的单位长度，∴a -b ＞a -c ，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴，绝对值和有理数的运算，能根据数轴得出b ＜c ＜0＜a 是解此题的关键．二、填空题7．数轴上表示3的点到原点的距离是_________ ．【答案】3【分析】理解点到原点的距离等于这个数的绝对值，计算即可【详解】∵|3|=3，∴表示3的点到原点的距离是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴上的点，绝对值，准确理解点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键． 8．若()2210a b -++=，则3a b +=_________．【答案】1【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵()220a -≥，10b +≥且相加得零，∴20a -=，10b +=，解得2a =，1b =-，所以，()3321211a b +=+-=-=． 故答案为：1．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．9．写出一个负数，使这个数的绝对值小于4______．【答案】-1或-2或-3．【分析】绝对值小于4的数有0,1,2,3，添加负号，得到的数是负数都可以写．【详解】∵数的绝对值小于4，∴绝对值小于4的数有0,1,2,3，添加负号，为负数的有-1，-2，-3，任选一个即可，故答案为：-1或-2或-3．【点睛】本题考查了负数，绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握负数，绝对值的定义是解题的关键． 10．三个数,,a b c 是均不为0的三个数，且0a b c ++=，则a b c a b c ++=______________． 【答案】1或-1．【分析】根据绝对值的定义化简即可得到结论．【详解】解：∵三个数a 、b 、c 是均不为0的三个数，且a+b+c=0，∴a ，b ，c 三个数中必有一个或两个负数，①当a ，b ，c 三个数中只有一个负数时，则1111||||||a b c a b c ++=+-=， ②当a ，b ，c 三个数中有两个负数时，1111||||||a b c a b c ++=--+=-， 综上所述：a b c a b c ++=1或-1， 故答案为：1或-1．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的除法．能分情况讨论是解题关键．注意互为相反数的两个数商为-1．11．如果一个量的实际值为a ，测量值为b ，我们把a b -称为绝对误差，a b a-称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm ，测量得4.8cm ，则测量所产生的绝对误差是_____cm ，相对误差是_____cm ．【答案】0.2 0.04【分析】按照给出的定义计算即可.【详解】解：∵a=5，b=4.8，∴绝对误差是a b -=|5-4.8|=0.2（cm ），∴相对误差是a b a- =5 4.85- =0.04（cm ）.故答案为0.2cm ，0.04cm .【点睛】本题考查了新定义问题,绝对值的计算，理解新定义，并按照要求准确计算是解题的关键. 12．如果|a ﹣2|的值与|b+3|的值互为相反数，那么2b ﹣a ＝_____．【答案】-8【分析】根据相反数的定义和非负数的性质，可求出a 、b 的值，然后代入计算即可．【详解】根据题意得：|a−2|＋|b ＋3|＝0，∴a−2＝0，b ＋3＝0，解得：a ＝2，b ＝−3，则2b−a ＝2×（−3）−2＝−8．故答案为：−8．【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．13．当a =__________时，式子10|2|a -+取得最大值，()2202321a +-+有最小值为__________．【答案】2- 2023【分析】利用绝对值和偶次方是非负性解答即可．【详解】解：由 10|2|a -+取得最大值，即|2|a +取最小值，∵|2|0a +≥，∴ |2|a +的最小值为0，即2a =-，∴当2a =-时，式子10|2|a -+取得最大值，∵()2210a -+≥，∴22023(21)2023a +-+，故22023(21)a +-+有最小值为2023．故答案为2-、2023．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数有三类分别是绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．14．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和2-的两点之间的距离，可列式表示为()52--，或25--；表示数x 和3-的两点之间的距离可列式表示为()33x x --=+．已知31239x x y y ++-+++-=，则x y +的最大值为______．【答案】4 【分析】根据题意分别得到31x x ++-和23y y ++-的最小值，结合31239x x y y ++-+++-=得到31x x ++-=4，23y y ++-=5，根据x 和y 的范围得到x+y 的最大值．【详解】解：由题意可得：31x x ++-表示x 与-3的距离和x 与1的距离之和，23y y ++-表示y 与-2的距离和y 与3的距离之和，∴当-3≤x≤1时，31x x ++-有最小值，且为1-（-3）=4，当-2≤x≤3时，23y y ++-有最小值，且为3-（-2）=5， ∵31239x x y y ++-+++-=， ∴31x x ++-=4，23y y ++-=5，∴x+y 的最大值为：1+3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．三、解答题15．已知|x|＝23，|y|＝13，且xy ＜0，求x ﹣y 的值． 【答案】±1． 【分析】根据绝对值的定义，求出x ，y 的值，再由xy ＜0，得x ，y 异号，从而求得x -y 的值．【详解】解：∵|x |=23，|y |=13， ∴x =±23，y =±13，又xy ＜0， ∴x =23，y =-13或x =-23，y =13； 当x =23，y =-13时，x -y =23-（-13）=1； 当x =-23，y =13时，x -y =-23-13=-1； 综上，x -y =±1． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、减法和绝对值运算，注互为相反数的两个数的绝对值相等． 16．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x 的整数值可以进行分段计算，令x -4=0或x +2=0时，分为3段进行计算，最后确定x 的值． （3）先得出|x -3|+|x -6|的意义，从而得到x 在3和6之间时（包含3和6）有最小值．【详解】解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2，当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6，∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）；当-2＜x ＜4时，∴-（x -4）+（x +2）=6，∴-x +4+x +2=6，∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3；当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6，∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．17．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．例：三个有理数a ，b ，c 满足0abc >，求abca b c ++的值．解：由题意得，a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即0a >，0b >，0c >时， 则：1113a b c a b c a b c a b c++=++=++=， ②当a ，b ，c 有一个为正数，另两个为负数时，设0a >，0b <，0c <， 则：()()1111a b c a b c a b c a b c--++=++=+-+-=-． 综上，abca b c ++的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知3a =，1=b ，且a b <，求+a b 的值；（2）已知a ，b 是有理数，当0ab >时，求a b a b+的值． （3）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <，求a b c a b c ++． 【答案】（1）-2或-4；（2）2±；（3）1【分析】（1）根据绝对值的意义和a ＜b ，确定a 、b 的值，再计算a+b ；（2）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，根据绝对值的意义进行计算即可；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a+b+c=0，0abc <，则a ，b ，c 两正一负，然后进行计算即可．【详解】解：（1）因为3a =，1=b ，且a b <，所以3a =-，1b =或1-，则2a b +=-或4a b +=-．（2）①当0a <，0b <时，112a b a b+=--=-； ②当0a >，0b >时，112a b a b+=+=； 综上，a b a b+的值为2±． （3）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <．所以a ，b ，c 两正一负，不妨设0a >，0b >，0c <， 所以1111a b c a b c++=+-=． 【点睛】考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键；18．综合与实践．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示6和1的两点之间的距离是 ；②数轴上表示﹣2和﹣7的两点之间的距离是 ；③数轴上表示﹣3和6的两点之间的距离是 ．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是12，则可记为：|a﹣3|＝12，那么a＝．②若数轴上表示数a的点位于﹣3与6之间，求|a＋3|＋|a﹣6|的值．【答案】（1）①5；②5；③9；（2）|a﹣b|；（3）①﹣9或15；②9【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，（2）由特殊到一般，得出结论，（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；②由|a＋3|＋|a﹣6|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣3的点到表示6的点之间的距离．【详解】解：（1）①|6﹣1|＝5，②|﹣2﹣（﹣7）|＝5，③|﹣3﹣6|＝9，故答案为：5，5，9；（2）由数轴上两点距离的计算方法可得，|a﹣b|；故答案为：|a﹣b|；（3）①由题意得，a﹣3＝12或a﹣3＝﹣12，解得，a＝15或a＝﹣9，故答案为：﹣9或15；②|a＋3|表示数轴上表示数a与﹣3的点之间的距离，|a﹣6|表示数轴上表示数a 与6两点之间的距离，当数a的点位于﹣3与6之间时，有|a＋3|＋|a﹣6|＝|3﹣（﹣6）|＝9，故答案为：①﹣9或15，②9.【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．19．探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n．（1）填写表：m 5 −5 −6 −6 −10n 3 0 4 −4 2A ，B 两点的距离（2）若A ，B 两点的距离为d ，则d 与m 、n 有何数量关系；（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P ，使它到3和−3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； （4）若点C 表示的数为x ，当C 在什么位置时，23x x ++-取得值最小？【答案】（1）2；5；10；2；12；（2）d ＝|m ﹣n |；（3）作图见详解；0；（4）点C 在点﹣2和点3之间时，|x +2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为5．【分析】（1）由题意观察数轴，得出A 、B 两点的距离；（2）根据题意通过观察表格，进行分析写出一般规律；（3）由题意充分运用数轴这个工具，由此表示整数点P ；（4）根据题意在（2）（3）的启发下，结合数轴，进行分析即可回答题目的问题．【详解】解：（1）见表格；m5 ﹣5 ﹣6 ﹣6 ﹣10 n3 04 ﹣4 2 A 、B 两点的距离2 5 10 2 12故答案为：2；5；10；2；12；（2）若A 、B 两点的距离为d ，则d 与m 、n 的数量关系为：d ＝|m ﹣n |；（3）符合条件的整数点P 有7个，如图；所有这些整数和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3＝0．（4）|x +2|表示点C 到点﹣2的距离，|x ﹣3|表示点C 到点3的距离，当点C 在点﹣2和点3之间时，|x +2|+|x ﹣3|的值最小，其最小值为：5．【点睛】本题主要考查数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离．解题的关键是借助数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．20．阅读材料：我们知道：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ．所以式子3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离；同理4x -也可理解为x 与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索：（1）若25x ，则x 的值是______________．（2）同理538x x -++=表示数轴上有理数x 所对应的点到5和-3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x 是_____________．（3）由以上探索猜想，若点P 表示的数为x ，当点P 在数轴上什么位置时，|3||6|x x -+-有最小值？ 如果有，直接写出最小值是多少？【答案】（1）7或3；（2）-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5；（3）当36x ≤≤时，36x x -+-取最小值，最小值为3【分析】（1）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案；（2）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案；（3）根据（2）的结论，根据数轴的性质分析，即可完成求解．【详解】（1）根据题意得：527x =+=或523-=故答案为：7或3；（2）∵数轴上点到5到点-3的距离为：()538--=当x 在点-3左侧时，58x -> ∴538x x -++>；当x 在点5右侧时，38x +> ∴538x x -++>；∴符合条件的整数x 范围为：35x -≤≤∴所有符合条件的整数x 为：-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5故答案为：-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5；（3）根据（2）的结论，当x 在点3左侧时，63x -> ∴363x x -+->；当x 在点6右侧时，33x ->∴363x x -+->；当36x ≤≤时，633x x +-=-∴当36x ≤≤时，36x x -+-取最小值，最小值为3．【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解．。
七年级数学绝对值(提高版)答案与试题解析
数学绝对值（提高版）试题1．设实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是（）A．B．|b|C．c﹣a D．﹣c﹣a2．|a﹣b|＝|a|+|b|成立的条件是（）A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0D．ab≤13．满足|x﹣2|+|x+1|＝3的x的个数为（）A．0B．2C．3D．多于3个4．若方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的取值为（）A．a＞1B．a＝1C．a＝0D．0＜a＜15．已知（|1+x|+|2﹣x|）（|y+2|+|y﹣1|）＝9，则x﹣2y的最小值为．6．已知实数x满足|x+1|+|x﹣4|＝7．则x的值是．7．已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数x的取值范围是．8．已知方程|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|＝m无解，则实数m的取值范围是．9．设a，b是方程||2x﹣1|﹣x|＝2的两个不相等的根，则的值为．10．解方程：（1）|3x﹣5|+4＝8；（2）|4x﹣3|﹣2＝3x+4；（3）|x﹣|2x+1||＝3；（4）|2x﹣1|+|x﹣2|＝|x+1|．11．解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1 （2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4．12．解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝4x﹣3．13．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？14．讨论方程||x+3|﹣2|＝k的解的情况．15．求关于x的方程||x﹣2|﹣1|﹣a＝0（0＜a＜1）的所有解的和．数学绝对值（提高版）试题答案与试题解析1．设实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是（）A．B．|b|C．c﹣a D．﹣c﹣a解：∵ac＜0∴a，c异号∴a＜0，c＞0又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|∴a＜b＜﹣c＜0＜c|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|表示到a，b，﹣c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|最小，最小值是a与﹣c之间的距离，即﹣c﹣a．故选：D．2．|a﹣b|＝|a|+|b|成立的条件是（）A．ab＞0B．ab＞1C．ab≤0 D．ab≤1解：当a、b异号或a、b中有一个为0时，|a﹣b|＝|a|+|b|成立，∴ab≤0，故选：C．3．满足|x﹣2|+|x+1|＝3的x的个数为（）A．0B．2C．3D．多于3个解：当x＜﹣1时，方程化简为2﹣x﹣x﹣1＝3，解得x＝﹣1（不符合题意的解要舍去），当﹣1≤x＜2时，2﹣x+x+1＝3，x有无数个；当x≥2时，方程化简为x﹣2+x+1＝3，解得x＝2，综上所述：x有无数个，故选：D．4．若方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的取值为（）A．a＞1B．a＝1C．a＝0D．0＜a＜1解：选：B．5．已知（|1+x|+|2﹣x|）（|y+2|+|y﹣1|）＝9，则x﹣2y的最小值为﹣3．解：∵（|1+x|+|2﹣x|）（|y+2|+|y﹣1|）＝9＝3×3，∴﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤1，∴x﹣2y的最小值为﹣1﹣2×1＝﹣1﹣2＝﹣3．故答案为：﹣3．6．已知实数x满足|x+1|+|x﹣4|＝7．则x的值是﹣2或5．解：答案为：﹣2或5．7．已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数x的取值范围是2≤x≤3．x的取值范围是2≤x≤3．8．已知方程|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|＝m无解，则实数m的取值范围是m＜18．实数m的取值范围是m＜18．9．设a，b是方程||2x﹣1|﹣x|＝2的两个不相等的根，则的值为．解：∵||2x﹣1|﹣x|＝2，∴|2x﹣1|﹣x＝2或﹣2，∴|2x﹣1|＝x+2或|2x﹣1|＝x ﹣2，当2x﹣1≥0时，2x﹣1＝x+2，解得x＝3；当2x﹣1＜0时，2x﹣1＝﹣x﹣2，解得x＝﹣；或当2x﹣1≥0时，2x﹣1＝x﹣2，解得x＝﹣1（舍去）；当2x﹣1＜0时，2x﹣1＝﹣x+2，解得x＝1（舍去）；∴a＝3，b＝﹣，∴＝＝＝×＝．故答案为．10．解下列方程：（1）|3x﹣5|+4＝8；（2）|4x﹣3|﹣2＝3x+4；（3）|x﹣|2x+1||＝3；（4）|2x﹣1|+|x﹣2|＝|x+1|．解：（1）|3x﹣5|+4＝8，∴|3x﹣5|＝4，∴3x﹣5＝4或3x﹣5＝﹣4，移项化系数为1得：x＝3或x＝；（2）|4x﹣3|﹣2＝3x+4，∴|4x﹣3|＝3x+6，∴3x+6≥0即x≥﹣2，∴4x﹣3＝3x+6或4x﹣3＝﹣（3x+6），移项化系数为1解得：x＝9或x＝﹣；（3）|x﹣|2x+1||＝3，∴x﹣|2x+1|＝3或x﹣|2x+1|＝﹣3，由x﹣|2x+1|＝3知x＞3，解得：x＝﹣4（舍去）；由x﹣|2x+1|＝﹣3，移项得：|2x+1|＝x+3≥0，∴x≥﹣3，2x+1＝x+3或﹣（2x+1）＝x+3，解得：x＝2或x＝；（4）当x＜﹣1时，原方程可化为：1﹣2x﹣x+2＝﹣x﹣1，x＝2不符合题意；当﹣1≤x＜时，原方程可化为：﹣2x+1﹣x+2＝x+1，x＝不符合题意；当≤x≤2时，原方程可化为：2x﹣1﹣x+2＝x+1恒成立，说明凡是满足≤x≤2的x值都是方程的解；当x＞2时，原方程可化为：2x﹣1+x﹣2＝x+1，x＝2不符合题意．故原方程的解为：≤x≤2．11．解下列方程：（1）|x+3|﹣|x﹣1|＝x+1（2）|x﹣1|+|x﹣5|＝4．解：（1）①当x≥1时，原方程可化为：x+3﹣（x﹣1）＝x+1，解得：x＝3；②当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3﹣（1﹣x）＝x+1，解得：x＝﹣5；③当﹣3≤x＜1时，原方程可化为：x+3+x﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1．综上可得：方程的解为：x＝3或x＝﹣5或x＝﹣1；（2）方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为：1≤x ≤5．12．解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝4x﹣3．解：（1）当x≤﹣时，原方程可化为：﹣3﹣2x+x﹣1＝4x﹣3∴5x＝﹣1，解得：x＝﹣，与x≤﹣不符；（2）当x≥1时，原方程可化为：2x+3﹣x+1＝4x﹣3∴3x＝7．∴x＝；（3）当﹣＜x＜1时，原方程可化为：2x+3﹣1+x＝4x﹣3∴x＝5与﹣＜x ＜1不相符；综上所述，方程的解为：x＝．13．当a满足什么条件时，关于x的方程|x﹣2|﹣|x﹣5|＝a有一解？有无数多个解？无解？解：①x≥5时，x﹣2﹣（x﹣5）＝x﹣2﹣x+5＝3，当a＝3时，有无数多解；当a≠3时，无论a取何值均无解；②x≤2时，2﹣x﹣（5﹣x）＝2﹣x﹣5+x＝﹣3，当a＝﹣3时，有无数解；当a≠﹣3时，无解；③2＜x＜5时，x﹣2﹣（5﹣x）＝x﹣2﹣5+x＝2x﹣7，∴4＜2x＜10，∴4﹣7＜2x﹣7＜10﹣7即：﹣3＜2x﹣7＜3．所以当﹣3＜a＜3时，有一解；当a＞3或a＜﹣3时，无解．综上所述，当a＝±3时，方程有无数个解，当a ＞3或a＜﹣3时，无解；当﹣3＜a＜3时，有一解．14．讨论方程||x+3|﹣2|＝k的解的情况．解：当k＜0，原方程无解；当k＝0时，原方程可化为：|x+3|﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣5；当0＜k＜2，此时原方程可化为：|x+3|＝2±k，此时原方程有四解：x＝﹣3±（2±k），即：x＝k﹣1或x＝﹣k﹣5或x＝﹣k﹣1或x＝k﹣5；当k＝2时，原方程可化为：|x+3|＝2±2，此时原方程有三解：x＝1或x＝﹣7或x ＝﹣3；当k＞2时，原方程有两解：x+3＝±（2±k），即：x＝k﹣1或x＝﹣k﹣5．故x＝k﹣1或x＝﹣k﹣1或x＝﹣k﹣5或x＝﹣5+k．15．求关于x的方程||x﹣2|﹣1|﹣a＝0（0＜a＜1）的所有解的和．解：由原方程得||x﹣2|﹣1|＝a，∴|x﹣2|﹣1＝±a，∵0＜a＜1，∴|x﹣2|＝1±a，即x﹣2＝±（1±a），∴x＝2±（1±a），从而x1＝3+a，x2＝3﹣a，x3＝1+a，x4＝1﹣a，∴x1+x2+x3+x4＝8，即原方程所有解的和为8．。
七年级数学上册专题提分精练绝对值的几何意义(解析版)
专题05 绝对值的几何意义1．阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．回答下列问题：(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x 和-2的两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示a 和1的两点之间的距离为6，则a 表示的数为 ；(3)若x 表示一个有理数，则|x +2|+|x -4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)4，2x +(2)7或5-(3)有最小值，6【解析】【分析】（1）根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b |即可求解；（2）根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b |即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．(1)解：()134--=，()2x x --=+故答案为：4，2x +．(2) 解：∵16a -=∴7a =或5a =-，故答案为：7或5-．(3) 在数轴上的24x x ++-几何意义是：表示有理数x 的点到﹣2及到4的距离之和，所以当24x -≤≤时，它的最小值为6．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为62-=______；表示－1和2两点之间的距离为()()1212--+=--=______；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -，如果表示数a 和－1的两点之间的距离是3，那么a ＝______．(2)若数轴上表示数a 的点位于－5与3之间，求53a a ++-的值；(3)当x ＝______时，45x x x +++-的值最小，最小值为______．【答案】(1)4，3，2或−4；(2)8；(3)0，9【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质列式计算即可；（2）去绝对值即可求出答案；（3）根据绝对值的几何意义分析得出x 的值，进而计算即可．(1)解：数轴上表示6和2的两点之间的距离为62-=4；表示－1和2两点之间的距离为()()1212--+=--=3；∵表示数a 和−1的两点之间的距离是3，∴|a −（−1）|＝3，解得a ＝2或−4，故答案为：4，3，2或−4；(2)∵表示数a 的点位于－5与3之间， ∴()53538a a a a ++-=++-=；(3) 由绝对值的几何意义可知：45x x x +++-的值就是数轴上表示数x 的点到0的距离与到－4的距离和到5的距离之和，∴当x ＝0时，45x x x +++-的值最小，最小值为9．【点睛】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，正确理解数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -是解题的关键．3．阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，||a 表示有理数a 对应的点到原点的距离，同样的道理，|2|a -表示有理数a 对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|52|3-=，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数9-对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；(2)|5|-a 表示有理数a 对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果|5|2-=a ，那么有理数a 的值是_______；(3)如果|1||6|7-+-=a a ，那么有理数a 的值是_______．(4)代数式|1||6|-+-a a 的最小值是_________，此时有理数a 可取的整数值有______个．【答案】(1)12；(2)5，3或7；(3)0或7；(4)5，6．【解析】【分析】（1）根据题意可知，数轴上有理数9-对应的点到有理数3对应的点的距离是|93|--，计算即可；（2）根据题意进行解题即可；（3）式子代表的a 对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，找到对应的点即可； （4）代数式|1||6|-+-a a 的最小值在数轴上1与6之间，最小值为5，符合条件的值有6个．(1)解：由题意得，|93|--=12，故答案为：12．(2)|5|-a 表示有理数a 对应的点与有理数5对应的点的距离；|5|2-=a ，表示到5所对应的点距离为2的点，即为：3或7．故答案为：5；3或7．(3)|1||6|7-+-=a a 表示：a 对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，从数轴上观察得出a 的值为：0或7，故答案为：0或7．(4)代数式|1||6|-+-a a 表示的是a 对应的点到1的距离与到6的距离的和，最小值为1到6的距离，最小值为5，符合条件的整数值在1到6之间，共6个．故答案为：5，6．【点睛】本题主要考查的数材料阅读理解能力，考查知识点为绝对值的几何意义，灵活运用其几何意义是解题的关键．4．（1）数轴上表示4与2-的点之间的距离为_________，数轴上表示3与5的点之间的距离为_________（2）|4(2)|--=___________；|35|-=___________（3）观察（1）（2）两小题，若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为y ，则A 与B 两点间的距离可以表示为__________．A 与表示-2的点之间的距离可表示为__________ （4）结合数轴，求23x x -++的最小值为 ________【答案】（1）6；2；（2）6；2 ；（3）x y -，2x +；（4）5【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式，即可求出距离；（2）根据绝对值的性质即可求解；（3）根据两点间的距离公式，即可求解；（4）由绝对值的意义进行化简，即可求出答案；【详解】解：（1）数轴上表示4与−2的点之间的距离为()426--=，数轴上表示3与5的点之间的距离为352-=；故答案为：6，2；（2）|4−(−2)|=6；|3−5|=2；故答案为：6，2；（3）A 与B 两点间的距离可以表示为x y -，A 与表示-2的点之间的距离可表示为()22x x --=+； 故答案为：x y -，2x +；（4）∵|x -2|+|x +3|理解为：在数轴上表示点x 到2和-3的距离之和，∴当点x 在2与-3之间的线段上，即-3≤x ≤2时，|x -2|+|x +3|有最小值，最小值为：2-（-3）=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．5．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4||40|=-，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|73|-，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作||-a b ．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数3-的点之间的距离的式子是________；式子|5|+a 的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当|2|3-=m 时，m =________；(3)探究：|1||9|++-m m 的最小值为_________，此时m 满足的条件是________；(4)|1||9||16|++-+-m m m 的最小值为________，此时m 满足的条件是__________．【答案】(1)23+或2(3)--；数轴上表示数a 的点与数2的点之间的距离．(2)1-或5(3)10，19m -≤≤(4)17，9m =【解析】【分析】（1）根据距离公式及定义表示即可；（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)解：①在数轴上的意义是表示数2的点与表示数3-的点之间的距离的式子是()23-- ， 故答案为：()2323--=+； ②∵5a +=|a -(-5)|， ∴5a +在数轴上的意义是表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．故答案为：表示数a 的点与表示数-5的点之间的距离．(2) 解：∵2m -表示数m 到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；故答案为：-1或5；(3) 解：∵19m m ++-表示数m 与-1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，此时动点m 在-1表示点与9表示点构成的线段上，∴19m -≤≤ ；故答案为：10、19m -≤≤；(4)解：根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，此时动点m 在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0， ∴9m = ；故答案为：17、 9m =．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．6．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若32x -=成立，则x ＝_________．（3）请你写出12x x -+-的最小值为________．并确定相应的x 的取值范围是______．【答案】（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x ≤2【解析】【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；（2）根据题意可得方程x -3=±2，再解即可；（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x 的最小值．【详解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7；（2）∵|x -3|=2成立，∴x -3=±2，∴x =5或1，故答案为：5或1；（3）当x ＜1时，原式=-x +1-x +2=-2x +3＞1；当1≤x ≤2时，原式=x -1-x +2=1；当x ＞2时，原式=x -1+x -2=2x -3＞1，∴|x -1|+|x -2|的最小值是1，故答案为：3，1≤x ≤2．【点睛】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．7．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探究】(1)如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B ，再把点A 向左移动3个单位，得到点C ，则点B 和点C 表示的数分别为_______和_______，B ，C 两点间的距离是_______；(2)数轴上表示x 和﹣2的两点A 和B 之间的距离表示为_______；如果|AB |＝3，那么x 为_______；(3)要使代数式|x +2|+|x ﹣3|取最小值时，则整数x 的值为_______．(4)当x 为_______时，|x +4|+|x ﹣2|＝12．【答案】(1) 2.5-，0.5-，2 (2)2x +，1或5-(3)2-，1-，0，1，2，3(4)7-或5【解析】（1）根据相反数的定义求得点B表示的数，根据数轴上点的的位置，求得点A，C表示的数；（2）根据绝对值的意义，表示出|x+2|＝3，解绝对值方程即可求解；（3）根据|x+2|+|x﹣3|取最小值，即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，根据x为整数即可求解；（4）由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12，则x＜﹣4或x ＞2，根据题意得出方程，﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12，解方程即可求解．(1)解：∴点B所表示的数与2.5互为相反数，∴点B所表示的数为﹣2.5，又∵点A向左移动3个单位，得到点C，点A所表示的数是2.5，∴点C所表示的数为2.5﹣3＝﹣0.5，∴BC＝|﹣2.5+0.5|＝2，故答案为：﹣2.5，﹣0.5，2；(2)由题意可知，数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为|x+2|，当AB＝3，即|x+2|＝3，解答x1＝1，x2＝﹣5，故答案为：|x+2|，1或﹣5；(3)∵|x+2|+|x﹣3|取最小值，即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，∴当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为|﹣2﹣3|＝5，又∵x为整数，∴整数x为﹣2，﹣1，0，1，2，3，故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3；(4)由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12，因此x＜﹣4或x＞2，故有﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12，解得x＝﹣7或x＝5，故答案为：﹣7或5【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上的两点距离，一元一次方程，掌握绝对值的意义是解题的8．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，点A 与原点O 两点之间的距离表示为AO ，则0AO a a =-=，类似地，点B 与原点O 两点之间的距离表示为BO ，则BO b =，点A 与点B 两点之间的距离表示为AB a b ．请结合数轴，思考并回答以下问题：(1)填空：①数轴上表示1和3-的两点之间的距离是______．②数轴上表示m 和1-的两点之间的距离是______．③数轴上表示m 和1-的两点之间距离是3，则有理数m 是______． (2)求满足246x x -++=的所有整数x 的和______． (3)已知31510412y x z x z y -+-+-=-+----．求x y z ++的最大值为______．【答案】(1)①4；②|m +1|；③2或-4(2)-7(3)9【解析】【分析】(1) ①根据题意即可求得；②根据题意即可求得；③根据题意可得|m +1|=3，解方程即可求得； (2)根据246x x -++=的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2与-4的点的距离之和为6，可得42x -≤≤，可得x 可取的整数，据此即可求得；(3)由原式可得32145110-+-+-++-+-=y y x z z ，由321-+-≥y y ，145x x -++≥，514-+-≥z z ，可得23y ≤≤，41x -≤≤，15z ≤≤，据此即可求得．(1)解：①数轴上表示1和3-的两点之间的距离是|1-(-3)|=4；②数轴上表示m 和1-的两点之间的距离是|m -(-1)|=|m +1|；③由数轴上表示m 和1-的两点之间距离是3，得|m +1|=3，故m +1=3或m +1=-3，解得m =2或m =-4，故有理数m 是2或-4，故答案为：①4；②|m +1|；③2或-4；(2) 解：246x x -++=的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2与-4的点的距离之和为6， ∵4-(-2)=4+2=6，∴42x -≤≤，∴x 可取的整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2， 故满足246x x -++=的所有整数x 的和为：(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-7，故答案为：-7；(3) 解：∵31510412y x z x z y -+-+-=-+---- ∴32145110-+-+-+++-+-=y y x x z z ， ∵321-+-≥y y ，145x x -++≥，514-+-≥z z ， ∴32145110-+-+-+++-+-≥y y x x z z ，∴23y ≤≤，41x -≤≤，15z ≤≤，∴241315x y z -+≤++≤++，即19x y z -≤++≤，故答案是：9．【点睛】本题考查了数轴上两点间距离的求法，绝对值的几何意义，理解和掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键．9．阅读下面一段文字：在数轴上点A ，B 分别表示数a ，b ．A ，B 两点间的距离可以用符号AB 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A ，B 两点之间的距离AB ．例如：当a ＝2，b ＝5时，AB ＝5－2＝3；当a ＝2，b ＝－5时，AB ＝52--＝7；当a ＝－2，b ＝－5时，AB ＝52---（）＝3，综合上述过程，发现点A 、B 之间的距离AB ＝b a -（也可以表示为a b -）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a 和－2的两点间距离是6，则a ＝ ；（2）如果数轴上表示数a 的点位于－4和3之间，则43a a ++-＝ （3）代数式123a a a -+-+-的最小值是 ．（4）如图，若点A ，B ，C ，D 在数轴上表示的有理数分别为a ，b ，c ，d ，则式子||||||a x x b x c x d -+++-++的最小值为 （用含有a ，b ，c ，d 的式子表示结果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）c d b a +--【解析】【分析】（1）根据题意可得：26a --= ，解出即可求解；（2）根据题意可得：43a -<< ，从而得到40,30a a +>-< ，进而得到4a +＝a ＋4，3a -＝3－a ，即可求解；（3）根据题意可得：当a ＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示x 对应点到,,,a b c d -- 对应的点的距离之和，从而得到当d x c -≤≤ 时，||||||a x x b x c x d -+++-++有最小值，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：26a --= ，∴26a --= 或26a --=- ，解得：4a = 或-8；（2）∵表示数a 的点位于－4和3之间，∴43a -<< ，∴40,30a a +>-< ， ∴4a +＝a ＋4，3a -＝3－a ， ∴43a a ++-＝ a ＋4＋3－a ＝7；（3） 当a ＝2时，代数式存在最小值， ∴123a a a -+-+-＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2；（4）根据题意得：()()||||||||||||a x x b x c x d a x x b x c x d -+++-++=-+--+-+--，∴原式表示x 对应点到,,,a b c d -- 对应的点的距离之和，如图所示，∴当d x c -≤≤ 时，||||||a x x b x c x d -+++-++有最小值，∴原式x a b x c x x d =---+-++c d b a =+-- ．【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．10．先阅读，后探究相关的问题【阅读】|52|-表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|52|+可以看做|5(2)|--，表示5与2-的差的绝对值，也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B ，再把点A 向左移动3个单位，得到点C ，则点B 和点C 表示的数分别为_____和_____，B ，C 两点间的距离是_____； （2）数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离表示为_______；如果||3AB =，那么x 为______；（3）要使代数式|2||3|x x ++-取最小值时，则整数x 的值为_______．（4）当x 为______时，|4|x ++|2|x -=12．【答案】（1）B ： 2.5-，C ：3-，BC =0.5；（2）2x +，1或5-；（3）2,1,0,1,2,3--；（4）7-或5【解析】【分析】（1）根据相反数的定义，可得点B 所表示的数为-2.5，再由点A 向左移动3个单位，得到点C ，可得点C 所表示的数为-0.5，即可求解；（2）根据【阅读】可得|x +2|=3，即可求解；（3）|x +2|+|x -3取最小值，即数轴上表示数x 的点到表示-2，3的距离之和最小，可得到当-2≤x ≤3时，|x +2|+|x -3|的值最小，其最小值为|-2-3|=5，即可求解；（4）由（3）可知|x +4|+|x -2|的最小值为|-4-2|=6，从而得到x <-4或x >2时，|x +4|+|x -2|=12，即可求解．【详解】解：（1）∵点B 所表示的数与2.5互为相反数，∴点B 所表示的数为-2.5，又∵点A 向左移动3个单位，得到点C ，点A 所表示的数是2.5，∴点C 所表示的数为2.5-3=-0.5，∴BC =|-2.5+0.5|=2；（2）由题意可知，数轴上表示x 和-2的两点A 和B 之间的距离表示为|x +2|，当AB =3时， |x +2|=3，解得：x =1或-5；（3）|x +2|+|x -3取最小值，即数轴上表示数x 的点到表示-2，3的距离之和最小， ∴当-2≤x ≤3时，|x +2|+|x -3|的值最小，其最小值为|-2-3|=5，又∵x 为整数，∴整数x 为-2，-1，0，1，2，3；（4）由（3）可知|x +4|+|x -2|的最小值为|-4-2|=6，∵|x +4|+|x -2|=12，∴x<-4或x>2，∴-x-4+2-x=12或x+4+x-2=12，解得：x=-7或5．【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程的应用，一元一次方程，数轴上的动点问题，熟练掌握绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．11．阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=；（3）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是；（2）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是；（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是．【答案】（1）0，12；（2）大于等于﹣1且小于等于2；（3）-2或3；（4）﹣1．【解析】【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；（3）若|x-2|-|x+1|=3，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．【详解】（1）|x-1|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示1和-1的距离相等，因此到1和-1距离相等的点表示的数为1(1)2+-=，|x-2|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示2和-1的距离相等，因此到2和-1距离相等的点表示的数为2(1)122 +-=，故答案为：0，12；（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和为3，∵2和-1两点的距离之和为3∴表示x 的点在2和-1之间∴-1≤x ≤2，（3）|x ﹣2|+|x +1|=5表示的意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距离等于5，∵2和-1两点的距离之和为3∴在2的右边多出（5-3）÷2=1，即表示数x =2+1=3；或者在-1的左边多出（5-3）÷2=1，即表示数x =-1-1=-2；故答案为-2或3；（4）|x -2|-|x +1|=3表示的意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距离大3，根据数轴直观可得，x ≤-1，x 的最大值为-1，故答案为：-1；．【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 12．阅读材料，回答下列问题：观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与2-，3与5，2-与6-，4-与3．并计算两个数的差的绝对值，回答问题：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值的数量关系是_______；（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为1-，则A 与B 两点间的距离可以表示为_____；（3）结合数轴可得23x x -++______，此时x 的取值范围是______； （4）若关于x 的方程115x x x a -+++-=无解，则a 的取值范围是_______．【答案】（1）相等；（2）|1|x +；（3）5，32x -≤≤；（4）6a <【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得出结论；（2）根据数轴上两点之间的距离可得结果；（3）把x 的取值范围分成3x <-，32x -≤≤和2x >三类进行讨论，求出最小值及x 对应的取值范围即可；（4）把x 的取值范围分成1x <-，11x -≤<，15x ≤≤和5x >四类进行讨论，求出最小值，由于方程115x x x a -+++-=无解，则a 小于最小值即可得出答案．【详解】（1）由题可知，数轴上两点距离=两点表示的数的差的绝对值，故答案为：相等；（2）由（1）可知：(1)1AB x x =--=+， 故答案为：1x +；（3）①当3x <-时，20x -<，30x +<，23(2)(3)23215x x x x x x x ∴-++=---+=-+--=-->，②当32x -≤≤时，20x -<，30x +>，23(2)(3)235x x x x x x ∴-++=--++=-+++=，③当2x >时，20x ->，30x +>，23(2)(3)23215x x x x x x x ∴-++=-++=-++=+>，∴当32x -≤≤时，23x x -++有最小值为5，故答案为：5，32x -≤≤；（4）①当1x <-时，10x -<，10x +<，50x -<，115(1)(1)(5)358x x x x x x x ∴-+++-=---+--=-+>，②当11x -≤<时，10x -<，10x +>，50x -<，115(1)(1)(5)7x x x x x x x ∴-+++-=--++--=-+，61158x x x ∴<-+++-≤，③当15x ≤≤时，10x ->，10x +>，50x -<，115(1)(1)(5)5x x x x x x x ∴-+++-=-++--=+611510x x x ∴≤-+++-≤，④当5x >时，10x ->，10x +>，50x ->，115(1)(1)(5)3510x x x x x x x ∴-+++-=-+++-=->，115x x x ∴-+++-最小值为6， 方程115x x x a -+++-=无解，6a ∴<，故答案为：6a <．【点睛】本题考查数轴上两点的距离以及绝对值的意义，掌握分类讨论的思想方法求最值是解题的关键．13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是_____________；数轴上表示a 与2的两点之间的距离可以表示为_____________；表示数a 和-2的两点之间的距离是3，那么=a _____________；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于_______________．（2）同理31a a ++-表示数轴上有理数a 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数a ，使得314a a ++-=，这样的整数是_______________． （3）由以上探索猜想对于任何有理数a ，36a a -+-是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．（4）存在不存在数a ，使代数式324a a a ++-+-的值最小？如果存在，请写出数=a _____________，此时代数式324a a a ++-+-最小值是_______________．【答案】（1）3；2a ；-5或1；m n -；（2）-3，-2，-1，0，1；（3）存在，最小值为3；（4）存在，2，7【解析】【分析】（1）根据题意，结合数轴即可得到结果；（2）根据31a a ++-表示数轴上有理数a 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和即可求解；（3）根据两点间的距离的表示，数x 在3和6之间时，有最小值，然后求解即可；（4）分类讨论a 的范围，利用绝对值的代数意义化简，确定出最小值，以及此时a 的值即可．【详解】（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示a 与2的两点之间的距离可以表示为2a ；表示数a 和-2的两点之间的距离是3，则()223a a --=+= ，可得：a +2=3或a +2=-3，解得：=a -5或1；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -（2）因为31a a ++-表示数轴上有理数a 所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，314a a ++-=，所以数a 位于-3与1之间，所以符合条件的整数a 为-3，-2，-1，0，1；（3）当36a ≤≤时存在最小值，且最小值()()363a a =-+-= ；（4）存在数a ，使代数式324a a a ++-+-的值最小，①a ≤−3时，原式＝−a −3＋2−a ＋4−a ＝3−3a ，则a ＝−3；②−3≤a ≤2时，原式＝a ＋3＋2−a ＋4−a ＝9−a ，则a ＝2；③2≤a ≤4时，原式＝a ＋3＋a −2＋4−a ＝a ＋5，则a ＝2；③a ＞4时，原式＝a ＋3＋a −2＋a −4＝3a −3＞9，综上所述，当a ＝2时，原式有最小值7．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．14．同学们都知道：()32--表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示x 与2的两点之间的距离可以表示为___________．（2）如果25x ，则x =__________． （3）同理21x x ++-表示数轴上有理数x 所对应的点到－2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得213x x ++-=，这样的整数是___________． （4）由以上探索猜想对于任意有理数x ，321x x x -+-+-是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）2x -；（2）7或-3；（3）-2、-1、0、1；（4）有最小值，最小值为2【解析】【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用绝对值求解即可；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答．【详解】（1）数轴上表示x 与2的两点之间的距离可以表示为2x -，故答案为：2x -； （2）∵25x ， ∴25x -=或25x -=-，解得：7x =或3x =-，故答案为：7或-3；（3） ∵21x x ++-表示数轴上有理数x 所对应的点到-2和1所对应的点的距离之和， 如图，当x 对应的数在2-与1之间（包含-2与1）213,AB BC x x ∴+=++-= 满足213x x ++-=∴这样的整数有-2、-1、0、1，故答案为：-2、-1、0、1；（4）有最小值，最小值为2，理由如下：如图，1,2,3AB x BC x BD x =-=-=-， 当321x x x -+-+-最小时，即,B C 重合时，则2x =， 所以321x x x -+-+-的值有最小值，最小值为1012++=．【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法，会去绝对值符号，利用数轴的特点解答．15．我们知道：如果点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么在数轴上A 、B 两点之间的距离AB =|a -b |．所以式子|x -3|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离．利用这个结论，请结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示0和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和-1的两点之间的距离可以表示为|x -(-1)|，即：|x +1|．如果|x +1|=2，那么x = ．（3）如果数轴上表示数x 的点位于2与-3之间，那么|x -2|+|x +3|的值为 ． （4）当x 取 时，1x -=|x +3|；当x 取 时，|x -2|+|x +2|=6．（5）当x 取 时，|x +3|+|x -1|+|x -5|的值最小，最小值是【答案】（1）3，3，5；（2）-3或1；（3）5；（4）-1，-3，3；（5）1， 8【解析】【分析】（1）根据数轴的概念和性质以及两点间的距离即可解答；（2）根据绝对值的性质和方程的思想进行解；（3）利用绝对值的性质进行化简，即可求出答案；（4）根据绝对值的意义，进行分类讨论，由此可得到关于x 的方程，求出x 的值即可； （5）根据绝对值的意义，当x 为中间点时有最小值，依此即可求解．【详解】解：（1）根据题意，数轴上表示0和3的两点之间的距离是：303-=；数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是：1(4)3---=；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是：1(4)5--=；故答案为：3，3，5；（2）∵12x +=，∴12x +=±，∴3x =-或1x =；故答案为：3-或1；（3）由题意，则∵如果数轴上表示数x 的点位于2与-3之间，∴32x -<<，∴20x -<，30x +>， ∴23(2)35x x x x -++=--++=故答案为：5；（4）根据题意， ∵13x x -=+，∴x 的值在1和3-之间，∴10x ->，30x +<，∴1(3)x x -=-+，解得：1x =-； ∵226x x -++=，当2x <-时，20x -<，20x +<，原方程可化为：(2)(2)6x x ---+=，解得：3x =-；当22x -≤≤时，224x x -++=，不符合题意；当2x >时，20x ->，20x +>，原方程可化为：226x x -++=，解得：3x =；故答案为：1-，3-，3；（5）根据绝对值的意义和数轴的定义，当1x =时，|x +3|+|x -1|+|x -5|的值有最小值；∴原式4048=++=；故答案为：1，8；【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 16．我们知道，在数轴上，a 表示数a 到原点的距离．进一步地，点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 两点之间的距离就表示为a b -；反过来，a b -也就表示A ，B 两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例．若52x +=，那么x 为： ①52x +=，即|(5)|2x --=．文字语言：数轴上什么数到5-的距离等于2．②图形语言：③答案：x 为7-和3-．请你模仿上题的①②③，完成下列各题：（1）若|4||2|x x +=-，求x 的值．①文字语言：②图形语言：③答案：（2）32x x --=时，求x 的值：①文字语言：②图形语言：③答案：（3）134x x -+->，求x 的取值范围：①文字语言：②图形语言：③答案：（4）求|1||2||3||4||5|x x x x x -+-+-+-+-的最小值．①文字语言：②图形语言：③答案：【答案】（1）①文字语言：数轴上什么数到4-的距离等于它到2的距离②图形语言：画图见解析③答案：1x =-．（2）①文字语言：数轴上什么数到3的距离减去它到0的距离等于2．②图形语言：画图见解析． ③答案：12x = （3）①文字语言：数轴上什么数到1的距离加上它到3的距离大于4．②图形语言：画图见解析③答案：4x >或0x <．（4）①文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5五个数的距离之和最小，最小值是多少． ②图形语言：画图见解析．③答案：当3x =时，最小值为6．【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；（2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；（3）根据数轴上什么数到1距离加上它到3的距离大于4，观察数轴求解即可；（4）根据绝对值的几何意义，数轴上什么数到1，2，3，4，5五个数的距离之和最小，最小值是多少求解．【详解】（1）文字语言：数轴上什么数到4-的距离等于它到2的距离图形语言：答案：1x =-．（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离减去它到0的距离等于2．图形语言：答案：12x = （3）文字语言：数轴上什么数到1的距离加上它到3的距离大于4．图形语言：答案：4x >或0x <．（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5五个数的距离之和最小，最小值是多少 图形语言：答案：当3x =时，最小值为210126++++=．【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是利用数形结合求解．17．【问题提出】1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值．我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：。
专题06 绝对值压轴题型汇总(解析版)
专题06 绝对值压轴题型汇总一、单选题1．若a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c 是相反数等于它本身的数，d 是到原点的距离等于2的负数，e 是最大的负整数，则a+b+c+d+e 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【答案】D 【分析】根据题意求出a 、b 、c 、d 、e 的值，再代入代数式求值即可. 【详解】a 是最小的正整数，a =1；b 是绝对值最小的数，b=0；c 是相反数等于它本身的数，c=0；d 是到原点的距离等于2的负数，d=-2；e 是最大的负整数，e=-1； a +b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2 故选D 【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键.2．当x 满足（ ）时，1.50.5 2.50.5 3.50.5 4.50.5 5.50.5 6.50.5x x x x x x -+-+-+-+-+-的值取得最小． A ．11119x ≤≤ B ．1197x ≤≤C ．1175x ≤≤D ．111311x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义分类讨论即可解决问题 【详解】设y=|1.5x -0.5|+|2.5x -0.5|+|3.5x -0.5|+|4.5x -0.5|+|5.5x -0.5|+|6.5x -0.5| =0.5（|3x -1|+|5x -1|+|7x -1|+|9x -1|+|11x -1|+|13x -1|）， 当x≤113时，y=0.5（1-3x+1-5x+1-7x+1-9x+1-11x+1-13x ）=3-24x ，此时y 的最小值为5913，当113＜x≤111时，y=2-11x ，此时y 的最小值为1， 当111≤x≤19时，y=1+12x ，此时y 的最小值=1，当19≤x ＜17时，y=9x ，此时y 的最小值1， 当17≤x ＜15时，y=16x -1，y 的最小值为97， 当15≤x ＜13时，y=21x -2，此时y 的最小值为115，当x≤13时，y=24x -3，此时y 的最小值5，故选A ． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．3．下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a ，b 互为相反数，ab ≠0,则1ab=-；③ 若a a -=，则3()a -的值为负数；④ 若ab ≠0，则a ba b +的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B 【分析】根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答. 【详解】① 平方等于64的数是±8； ② 若a ，b 互为相反数，ab ≠0,则1ab=-； ③ 若a a -=，可得a≥0，则()3a -的值为负数或0；④ 若ab ≠0，当a>0，b>0时，a b a b +=1+1=2；当a>0，b<0时，a b a b +=1-1=0；当a<0，b>0时，a b a b +=-1+1=0；当a<0，b<0时，a b a b +=-1-1=-2；所以a ba b+的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1. 综上，正确的结论为②，故选B. 【点睛】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.4．数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，且11c a a c ---=-．若下列选项中，有一个表示A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【分析】从选项数轴上找出a 、B 、c 的关系，代入|c ﹣1|﹣|a ﹣1|=|a ﹣c|．看是否成立． 【详解】∵数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，设B 表示的数为b ， ∵b=1，∵|c ﹣1|﹣|a ﹣1|=|a ﹣c|． ∵|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=|a ﹣c|．A 、b ＜a ＜c ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=c ﹣b ﹣a+b=c ﹣a=|a ﹣c|．正确，B 、c ＜b ＜a 则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=b ﹣c ﹣a+b=2b ﹣c ﹣a≠|a ﹣c|．故错误，C 、a ＜c ＜b ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=b ﹣c ﹣b+a=a ﹣c≠|a ﹣c|．故错误．D 、b ＜c ＜a ，则有|c ﹣b|﹣|a ﹣b|=c ﹣b ﹣a+b=c ﹣a≠|a ﹣c|．故错误． 故选A ． 【点睛】熟记数轴定义以及运用有理数的运算规则是解决本题关键.更应该理解掌握验证等式是否成立的方法，若等式成立则必须左边运算结果等于右边运算结果.5．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】分析：若P 为定值，则化简后x 的系数为0，由此可判定出x 的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简． 详解：∵P 为定值，∵P 的表达式化简后x 的系数为0； 由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；∵x 的取值范围是：1-7x≥0且1-8x≤0，即18≤x≤17；所以P=（1-2x ）+（1-3x ）+…+（1-7x ）-（1-8x ）-（1-9x ）-（1-10x ）=6-3=3． 故选B ．点睛：能够根据P 为常数的条件判断出x 的取值范围，是解答此题的关键．6．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||+||a b c a b c a -----的结果是（ ）A ．a–2cB ．–aC ．aD ．2b–a【答案】C 【解析】由数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：a <b ，c >a ，c >b ，a <0，∵a –b <0，c –a >0，b –c <0，∵||||+||a b c a b c a -----=b –a –（c –a ）+（c –b ）–（–a ）=b –a –c +a +c –b +a =a ．故选C ．7．已知x 的取值能使|x ﹣3|+|x+2|取得最小值，则所有2x中整数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】分析：由题意已知x 的取值能使32x x -++取得最小值，可以分类讨论①3x ≥；②23x -<<；③2x ，≤-求出x 的范围，然后把x 代入2x中，进行求解．详解：∵已知x 的取值能使|x −3|+|x +2|取得最小值，∵当3x ≥时，有|x −3|+|x +2|=x −3+x +2=2x −1，∵当x =3时有最小值：2×3−1=5； ∵当−2<x <3时，有|x −3|+|x +2|=3−x +x +2=5，∵其有最小值5；当2x -≤时，有|x −3|+|x +2|=3−x −x −2=1−2x ，∵当x =−2时有最小值5， ∵23x -≤≤，可以使|x −3|+|x +2|取得最小值， ∵3122x -≤≤， ∵所有2x中整数有−1，0，1，共3个，故选C.点睛：结合两个绝对值符号里面的数，分类讨论，化简绝对值是解决本题的关键.8．若存在3个互不相同的有理数a ，b ，c ，使得|1﹣a |+|1﹣3a |+|1﹣4a |=|1﹣b |+|1﹣3b |+|1﹣4b |=|1﹣c |+|1﹣3c |+|1﹣4c |=t ，则t = A ．112B ．34C ．1D ．2【分析】 【详解】存在3个互不相同的实数a ，b ，c ，使得|1-a|+|1-3a|+|1-4a|=|1-b|+|1-3b|+|1-4b|=|1-c|+|1-3c|+|1-4c|=t ，当a≥1时，原式=a -1+3a -1+4a -1=8a -3；当1/3 ≤a ＜1时，原式=1-a+3a -1+4a -1=6a -1；当1/4 ≤a ＜ 时，原式=1-a -3a+1+4a -1=1；当a ＜1/4 时，原式=1-a+1-3a+1-4a=3-8a ，则t=1， 故选C.二、填空题9．已知m 是正整数，设()()x y x m x m =---，例如：当x =2，m =6时，(2)26(26)8y =---=，若(1)(2)(3)(2019)110y y y y +++⋅⋅⋅⋅+=，则m =____． 【答案】11 【分析】分类讨论：当x m ≥时，()()x y x m x m =---=()()x m x m ---=0； 当x m <时，()()x y x m x m =---=()()m x x m ---=() 2m x -；然后表示出()()()()1232019y y y y +++⋅⋅⋅⋅+，即可计算出m 的值.【详解】解：∵当x m ≥时，()()x y x m x m =---=()()x m x m ---=0； 当x m <时，()()x y x m x m =---=()()m x x m ---=() 2m x -； ∵()()()()1232019y y y y +++⋅⋅⋅⋅+=2(m -1)+2(m -2)+2(m -3)+……+2[m -(m -1)]+2(m -m)+0+……+0=m(m -1) ∵m(m -1)=110,m 为正整数 ∵m=11. 【点睛】本题考查了绝对值的应用，分类讨论是关键.10．已知正整数a ，b ，满足220b b -+-=，0a b a b -+-=且a b ，则ab 的值为__________．【分析】根据绝对值的定义确定b 的范围，判断出a 的范围，再确定a 、b 的值，最后相乘即可. 【详解】解：∵220b b -+-= ∵2=2b 0b --≥，即b≤2 ∵b=1或b=2 又∵0a b a b -+-= ∵b-a 0a b -=≥，即a≤b ∵ab∵b=2，a=1 所以ab=2. 【点睛】考查绝对值的相关性质；通过确定a ，b 的范围确定a 、b 的值是解决本题的难点.11．若方程22|4|221||x x x x a -+-+-+=总有解，则a 的取值范围是___.【答案】a≥5. 【分析】根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，求出224221x x x x -+-+-+ 的最小值,可得答案． 【详解】解：∵224221x x x x -+-+-+可以看做22221x x -+-与4x x -+的和，∵22221x x -+-可以看作数轴上表示数2x 的点与表示2, 2, 1的点之间的距离求和，故当2=2x 时，22221x x -+-取得最小值1，此时=x ；4x x -+可以看作数轴上表示数x 的点与表示4, 0的点之间的距离求和，当04x << 时，4x x -+取得最小值4∵当x 224221x x x x -+-+-+有最小值为1+4=5, ∵当a≥5时，方程22422a 1=x x x x -+-+-+总有解.∵则a 的取值范围是：a≥5 故答案为: a≥5. 【点睛】考查了绝对值的应用，利用了两点之间的距离公式，注意224221x x x x -+-+-+可以看做数轴上表示数x 或2x 的点与表示4, 2, 2, 1, 0的点之间的距离求和，求得最小值，即可得a 的取值范围.12．已知x ，y 均为整数，且|x ﹣y |+|x ﹣3|＝1，则x +y 的值为_____． 【答案】5或7或8或4 【分析】由绝对值的非负性质可知|x ﹣y |和|x ﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即1x y -=，30x -=或31x -=，0x y -=，然后解绝对值方程组即可，．【详解】解：因为x ，y 均为整数，31x y x -+-=， 可得：1x y -=，30x -=或31x -=，0x y -=， ∵当30x -=，1x y -=，可得：3x =，2y =，则5x y +=； 当30x -=，1x y -=-，可得：3x =，4y =，则7x y +=； 当31x -=，0x y -=，可得：4x =，4y =，则8x y +=； 当31x -=-，0x y -=，可得：2x =，2y =，则4x y +=， 故答案为5或7或8或4． 【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．13．代数式|1008||504||1007|x x x ++++-的最小值是_____． 【答案】2015 【分析】根据两点之间的距离用绝对值的表达式，由图形确定出所求的最小值即可． 【详解】 如图：则代数式的最小值为|1007﹣（﹣1008）|=2015． 故答案为：2015． 【点睛】本题考查了绝对值及数轴，解题的关键是理解两点间的距离表达式．14．如图，在单位长度是1的数轴上，点A 和点C 所表示的两个数互为相反数，则点B 表示的数是______.【答案】﹣2 【分析】根据图示，点A 和点C 之间的距离是6，据此求出点C 表示的数，即可求得点B 表示的数. 【详解】∵点A 和点C 所表示的两个数互为相反数，点A 和点C 之间的距离是6 ∵点C 表示的数是﹣3，∵点B 与点C 之间的距离是1，且点B 在点C 右侧， ∵点B 表示的数是﹣2 故答案为﹣2 【点睛】本题为考查数轴和相反数的综合题，稍有难度，根据题意认真分析，熟练掌握数轴和相反数的相关知识点是解答本题的关键.三、解答题15．已知2(5)-40a b ++=．（1）求出,a b 并将这两个数在数轴上所对应的点A 、B 表示出来；（2）数轴上A 、B 之间的距离记作AB ．定义：AB a b =-．设点P 在数轴上对应的数为x ． ① 当13PA PB +=时,直接写出x 的值 ． ② 设PA PB m +=，借助数轴求出m 的最小取值及对应的x ．【答案】（1）a=-5，b=4，数轴表示见解析；（2）①-7或6；②m 最小值为9，-5≤m≤4 【分析】（1）根据非负数的性质得到a 和b 的值，在数轴上表示即可；（2）①根据题意可将13PA PB +=理解为点P 到A 和到B 的距离之和为13，再通过计算得到点P 表示的数；②根据题意得到当点P 在线段AB 上时，m 值最小，从而求解． 【详解】解：（1）∵2(5)-40a b ++=，∵a+5=0，b -4=0， ∵a=-5，b=4， 数轴表示如下：（2）①∵13PA PB +=， ∵5413x x ++-=，即点P 到A 和到B 的距离之和为13， ∵AB=4-（-5）=9， （13-9）÷2=2，∵点P 表示的数为-7或6； ②∵PA PB m +=，即点P 到A 和到B 的距离之和为m ， 根据数轴可知：当点P 在线段AB 上时， m 最小，且为9，此时-5≤m≤4． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题关键是理解题目的意思，结合数轴解决问题．16．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离 ．（2）数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是 ． （3）数轴上表示x 和1的两点之间的距离表示为 ． （4）若x 表示一个有理数，则|x ﹣2|+|x +4|最小值为 ．【答案】（1）2；（2）6；（3）|1|x -；（4）6 【分析】（1）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果． （2）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果． （3）依据在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-，即可得到结果．（4）判断出x 的点在表示4-和2的两点之间有最小值，即可得到|2||4|x x -++的最小值值即为|42|--的值． 【详解】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离为|31|2-=； （2）数轴上表示12-和6-的两点之间的距离是|6(12)|6---=；（3）数轴上表示x 和1的两点之间的距离表示为|1|x -； （4）42x -<<时|2||4|x x -++有最小值， ∴最小值|42|6=--=，故答案为：2，6，|1|x -，6． 【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，两点间的距离，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． 17．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即|x|＝|x －0|，也可以说，|x|表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示数轴上数x 1与数x 2对应点之间的距离． 例1：已知|x|＝2，求x 的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2或2，所以x 的值为－2或2． 例2：已知|x －1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或－1，所以x 的值为3或－1 仿照材料中的解法，求下列各式中x 的值． （1）|x|＝3； （2）|x －(－2)|＝4．（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋3|＋|x －2|＝5，这样的整数是_______． 【答案】（1）-3或3；（2）2或-6；（3）-3，-2，-1，0，1，2 【分析】（1）|x|可表示数轴上表示x 的点到原点的距离，据此求解可得； （2）|x -（-2）|可表示数轴上与-2对应的点的距离，据此求解可得；（3）由于|x+3|表示x 与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x -2|表示x 与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而|x+3|+|x -2|=5，则x 表示的点在-3与2表示的点之间． 【详解】（1）在数轴上与原点距离为3的点表示的数为-3和3， ∵x 的值为：-3或3；（2）在数轴上与-2对应的点的距离为4的点表示的数为2和-6， ∵x 的值为：2或-6；（3）∵|x+3|表示x 与-3两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x -2|表示x 与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而-3与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2-（-3）=5，|x+3|+|x -2|=5， ∵-3≤x≤2．∵使得|x+3|+|x -2|=5这样的整数是：-3，-2，-1，0，1，2．故答案为：-3，-2，-1，0，1，2．【点睛】本题考查了绝对值和数轴，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点．18．同学们都知道，│4－（－2）│表示4与－2的差的绝对值，实际上也可理解为4与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理│x－3│也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：(l)在数轴上表示x和－1两点之间的距离表示为．如果它们的距离为3，那么x=(2)找出所有符合条件的整数x，使│x－4│+│x+2│=6成立．(3)由以上探索猜想，对于任何有理数为x，│x－3│+│x－6│是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．x+；-4或2；（2）符合条件的整数x有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）有，【答案】（1）1最小值为3【分析】（1）根据题干中的说明可得结果；（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x-4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【详解】解：（1）由题意可得：x+，数轴上表示x和－1两点之间的距离表示为1如果它们的距离为3，那么x=-4或2，x+；-4或2；故答案为：1（2）令x-4=0或x+2=0时，则x=4或x=-2，当x＜-2时，∵-（x-4）-（x+2）=6，-x+4-x-2=6，x=-2（范围内不成立），当-2＜x＜4时，∵-（x-4）+（x+2）=6，-x+4+x+2=6，6=6，∵x=-1，0，1，2，3，当x＞4时，∵（x-4）+（x+2）=6，2x=8，x=4，x=4（范围内不成立），∵综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）由（2）的探索，设3、6、x 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、X ，则|x -3|+|x -6|=AX+BX ，AB=|6-3|=3，∵AX+BX≥AB ，∵|x -3|+|x -6|≥3，当X 在A 、B 之间时成立．∵对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|有最小值为3．【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．19．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“”，规定a b a b a b =++-.（1）若()2230a b -++=，计算a b 的值.（2）当a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b .（3）已知0a >，()8a a a =，求a 的值.【答案】（1）6；（2）－2b ；（3）2【分析】（1）先求出a 、b 的值，再根据题目中的规定，可以求得所求式子的值；（2）根据数轴可以判断a 、b 的正负和它们绝对值的大小，从而可以解答本题；（3）先表示出a a ，再表示()a a a ，根据题意和题目中的式子可以求得a 的值． 【详解】解：（1）∵()2230a b -++=，∵a=2,b=-3 ∵a∵b=|a+b|+|a -b|，∵a b =2∵（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；（2）由数轴可得，b ＜0＜a ，|b|＞|a|，∵a∵b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-a-b+a-b=-2b；（3）∵a＞0，（a∵a）∵a=8，∵（|a+a|+|a-a|）∵a=8，∵2a∵a=8，∵|2a+a|+|2a-a|=8，∵3a+a=8，解得，a=2．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是理解新运算“”的法则，明确有理数混合运算的计算方法．20．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与﹣2，3与5，﹣2与﹣6，﹣4与3．并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则A与B两点间的距离可以表示为；若|x﹣6|＝3，则x＝．（3）结合数轴求出|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时符合条件的整数x为．【答案】（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）|x+1|；x=9或3；（3）3；-1，0，1，2【分析】（1）直接借助数轴可以得出；（2）分三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1；若|x-6|=3，则x-6=±3，求出x即可；（3）为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算．【详解】解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；故答案为：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x ＜0时，距离为x+1，当x ＞0，距离为x+1．综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为|x+1|；若|x -6|=3，则x -6=±3，x=9或3；故答案为：|x+1|；x=9或3；（3）因为x 为有理数，就是说x 可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．①当x ＜-1时，x -2＜0，x+1＜0，所以|x -1|+|x+3|=-（x -2）-（x+1）=-2x -1＞3；②当-1≤x ＜2时，x -2＜0，x+1≥0，所以|x -1|+|x+3|=-（x -2）+（x+1）=3；③当x≥2时，x -2≥0，x+1＞0，所以|x -2|+|x+1|=（x -2）+（x+1）=2x -1≥3；综上所述，当x=-1，0，1，2，所以|x -2|+|x+1|的最小值是3．故答案为：3；-1，0，1，2．【点睛】本题考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A -B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离．一、单选题 1．（已知非零实数a ，b ，c ，满足1b a c a b c ++=-，则||abc abc 等于（ ） A ．±1B ．﹣1C ．0D ．1【答案】D【详解】 1b a c a b c++=-,∴a,b,c 两个是负数，一个是正数,0abc ∴>, 1abcabc ∴=.选D.点睛：（1）b a c a b c++需要分类讨论，a,b,c 同正，同负，两正一负，两负一正. （2）化简绝对值公式：|x |,0,0x x x x -<⎧=⎨≥⎩.2．式子|x ﹣1|-3取最小值时，x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可．【详解】解：∵|x −1|≥0，∵当|x −1|=0，即x =1时式子|x −1|-3取最小值．故选A ．【点睛】本题主要考查绝对值的性质.理解一个数的绝对值是非负数这一性质是解题的关键． 3．满足27218a a ++-= 的整数 a 的个数有 （ ）A ．9 个B ．8 个C ．5 个D ．4 个【答案】D【解析】令2a +7=0,2a -1=0,解得，72a =-,12a =, 1）当72a ≤-时， 27218a a ---+=，72a =-.舍去. 2）7122a -<<时， 27218a a +--=,0=0,所以a 为任何数，所以a 为-3，-2，-1,0.3）12a ≥-时，27218a a ++-=, 12a = ,舍去. 综上，a 为-3，-2，-1,0.选D.点睛：绝对值问题，要“找零点，分区间，分类讨论”，也就是令绝对值内为0，然后分别讨论，去绝对值利用公式x =,0,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩,具体问题，往往把x 看做一个式子. 4．如果a 表示有理数，那么a +1，|a +1|，（a +1），|a |+1中肯定为正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【详解】根据有理数和绝对值的意义，可根据a 的值不确定，知a+1不一定是正数，（a+1）的值不确定，但是|a|≥0，可知|a+1|是正数， |a|+1一定是一个正数.故选A.5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简|a +b |﹣|b |+|b +c |+|c |的结果是（ ）A ．a +bB ．a +b ﹣2cC ．﹣a ﹣b ﹣2cD ．a +b +2c【答案】C【解析】试题分析：根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a 、b 、c 的符号和大小，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．解：根据数轴可得b ＜c ＜0＜a ，且|a |＜|b |，则a +b ＜0，b +c ＜0．则原式=﹣（a +b ）+b ﹣（b +c ）﹣c=﹣a ﹣b +b ﹣b ﹣c ﹣c=﹣a ﹣b ﹣2c ．故选C ．6．如果有理数a 和它的相反数的差的绝对值等于﹣2a ，则（ ）A ．a≤0B ．a≥0C ．a=0D ．任意有理数【答案】A【解析】根据绝对值的定义和性质，可知|a ﹣（﹣a ）|=﹣2a ，可得a≤0，故选：A ．点睛：本题考查绝对值的定义以及性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常见题．二、填空题7．若x 是有理数，则24682018x x x x x -+-+-+-+⋯+-的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判断出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣|就是求数轴上某点到2、4、6、…、的距离和的最小值；然后根据某点在a 、b 两点之间时，该点到a 、b 的距离和最小，当点x 在2与之间时，到2和距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x =1010之间时，算式|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣的值最小，据此求出|x ﹣2|+|x ﹣4|+|x ﹣6|+…+|x ﹣|的最小值是多少即可．解：根据分析，可得当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣的值最小，最小值是：（﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣|的最小值是509040．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．8．x是有理数，则10095221221x x-++的最小值是________．【答案】15 17【分析】本题分3种情况①当x＜-95221时；②当-95221≤x≤100221时；③当x＞100221时进行讨论，从而得到所求的结果．【详解】解：分三种情况讨论：（1）当x＜-95221时，原式=-（x-100221）-（x+95221）=-x+100221-x-95221=-2x+5221＞-2⨯（-95221）+5221=195221=1517；（2）当-95221≤x≤100221时，原式=-（x-100221）+x+95221=-x+100221+x+95221=195221=1517；（3）当x＞100221时，原式=x-100221+x+95221=2x-5221＞2×100221-5221=95221=1517；综合（1），（2），（3），可得最小值是15 17．故答案为1517． 【点睛】本题主要考查了绝对值的运用，关键是讨论时要讨论所有的情况，不能缺少一个． 9．在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数a 、b 的A 、B 两点之间的距离等于||-a b ．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足1|27|x x -++=的x 的值为___________．【答案】3或4-【分析】根据两点间的距离公式，对x 的值进行分类讨论，然后求出x ，即可解答；【详解】 解：根据题意，2|1|x x -++表示数轴上x 与1的距离与x 与2-的距离之和，当2x <-时，|(1)(2)2=1|7x x x x =---+-++，解得：4x =-；当21x -≤≤时，|(1)(2)2=1|7x x x x =--++-++，此方程无解，舍去；当1x >时，|(1)(2)2=1|7x x x x =-++-++，解得：3x =；∵满足1|27|x x -++=的x 的值为：3或4-.故答案为：3或4-.【点睛】本题考查了两点之间的距离，以及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，正确的把绝对值进行化简.注意利用分类讨论的思想解题.10．如图A ，B ，C ，D ，E 分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a 对应的点在B 与C 之间，数b 对应的点在D 与E 之间，若3a b +=则原点可能是_________．【答案】B 或E【分析】先利用数轴特点确定a ，b 的关系从而求出a ，b 的值，确定原点．【详解】解：当为A 为原点时，|a|+|b|＞3，当B 为原点时，|a|+|b|可能等于3，当C为原点时，|a|+|b|＜3，当D为原点时，|a|+|b|＜3，当E为原点时，|a|+|b|可能等于3．故答案为：B或E．【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键．11．①若2a与1－a互为相反数，则a=_________.②已知|a|=3，|b-1|=4，|a-b|=b-a，则a+b=_____________.【答案】-1 8或2或-6【分析】①根据互为相反数的两数和为0，列等式求解；②根据绝对值性质求出a，b值，再根据a b b a-=-确定a≤b，根据此关系确定a，b的值求解即可.【详解】解：①∵2a与1－a互为相反数，∵2a+(1-a)=0∵a=-1.②∵|a|=3，∵a=3或a= -3；∵|b-1|=4，∵b-1=4或b-1= -4，∵b=5或b= -3.∵|a-b|=b-a，∵a-b≤0，∵a≤b.∵a=3，b=5或a= -3，b=5或a= -3，b= -3，∵a+b=3+5=8或a+b=(-3)+5=2或a+b=(-3)+(-3)= -6即a+b的值为8或2或-6故答案为：①-1；②8或2或-6【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是解答此题的关键.12．已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若a b cma b c=++，n2=且m n m n+=--，则3m2n+4mn2=____.【答案】10.【分析】根据(a+b)(b+c)(c+a)=0，可知a 、b 、c 中有2个数互为相反数，另一个为正数，故1111a b c m a b c=++=+-=，由n 2=且m n m n +=--，可求出n 的值，最终2234m n mn +即可得解。
专题29 绝对值(基础检测)(解析版)
专题2.9 绝对值（基础检测）一、单选题1．下列各数中，绝对值为43的数是（）A．34B．34-C．114-D．113-【答案】D【分析】根据绝对值的定义判断即可．【详解】解：A、34的绝对值是34，故A不符合题意；B、34-的绝对值是34，故B不符合题意；C、因为15144-=-，所以54-的绝对值是54，故C不符合题意；D、因为14133-=-，所以43-的绝对值是43，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．正确理解绝对值的定义是解题的关键．2．中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，则﹣0.5的绝对值是（）A．2-B．12-C．2 D．12【答案】D【分析】由绝对值的概念即可求得．【详解】﹣0.5的绝对值为0.5，即12．故选：D．【点睛】此题考查了绝对值的求法，解题的关键是熟练掌握绝对值的概念．3．下列各数，绝对值比1小的数是（）A．3-B．1-C．0 D． 2 【答案】C【分析】求出选项中数的绝对值与1进行比较即可判断．【详解】解：A 、3-的绝对值是3，31>，不符合题意；B 、1-的绝对值是1，11=，不符合题意；C 、0的绝对值是0，01<，符合题意；D 、2的绝对值是2，21>，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是：掌握绝对值的定义．4．某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】找出四个选项中，四个数的绝对值的最小者即可得． 【详解】解：0.80.8+=， 1.2 1.2-=，0.50.5-=，11+=，因为0.50.81 1.2<<<，所以从容量的角度看，这四盒牛奶容量最接近标准的是选项C ，故选：C ．【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值，理解题意，掌握绝对值的性质是解题关键． 5．4-的相反数是（ ）A ．4B ．4-C ．14D ．14- 【答案】B【分析】先计算绝对值，再取相反数即可． 【详解】44-=，4的相反数是：-4故选B ．【点睛】本题考查了绝对值的概念，相反数的概念，理解概念是解题的关键．6．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】到原点距离最远的点，即绝对值最大的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．【详解】解：-3、0、1、2四个点所表示的有理数的绝对值分别为3、0、1、2，其中绝对值最大的是-3． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．二、填空题7．17-=________． 【答案】17 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：1177-=， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数．8．化简：34ππ-+-=________．【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算．【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则．9．代数式|2||2|x ++-的最小值等于__________．【答案】2【分析】根据绝对值的非负性即可得出结论【详解】解：∵|2|0x +≥ ；|2|-=2∴|2||2|x ++-的最小值为2【点睛】此题考查了绝对值的非负性和绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键． 10．写出绝对值不大于2.5的所有整数_________．【答案】0，±1，±2 【分析】根据绝对值、整数的定义直接求得结果．【详解】解：根据题意得：绝对值不大于2.5的整数有0，±1，±2， 故答案为：0，±1，±2． 【点睛】此题主要考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．数轴上大于2-不大于2的整数有__________．【答案】-1、0、1、2【分析】可以借助数轴，在数轴上将-2与2在数轴上标出，再确定它们之间整数的个数．同时要注意不大于2的含义．【详解】解：由题意可得：大于-2且不大于2的整数为-1、0、1、2共四个整数，故答案为：-1、0、1、2．【点睛】本题考查了数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 12．如图，有理数a 在数轴上的对应点为A ，已知b a <，且b 为正整数，则b 的值可以是______．【答案】1【分析】根据数轴的定义可得21a -<<-，从而可得12a <<，由此即可得出答案． 【详解】解：由数轴的定义得：21a -<<-，12a ∴<<，b a <，且b 为正整数，1b ∴=，故答案为：1．【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键．13．数轴上有A ，B 两点，A 、B 两点间的距离为3，其中点A 表示数1-，则点B 表示的数是______．【答案】2或-4【分析】根据数轴上A 、B 两点之间的距离公式AB a b b a =-=-计算即可 ；【详解】解：设点B 表示的数为x ，根据题意得：()13x --=，∴13x +=± ，解得：x =2或-4，故答案为：2或-4．【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，理解绝对值的意义是解题的关键．14．下列四个地方：死海（海拔400-米），卡达拉低地（海拔133-米），罗讷河三角洲（海拔2-米），吐鲁番盆地（海拔154-米）．其中最低的是__________．【答案】死海【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解题.【详解】4001541332-<-<-<-∴死海最低，故答案为：死海.【点睛】本题考查有理数的大小比较，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键.三、解答题15．在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数．132-，3--，0，-1.5，()5--，122-【答案】132-<3--<122-< 1.5-<0<()5--，表示见解析． 【分析】根据绝对值的定义，相反数的定义，逐一化解排序即可得大小关系，再根据数轴上右边的数大于左边的数表示即可得．【详解】解：13 3.52-=-；33--=-；()55--=；12 2.52-=-，由此大小关系为：132-<3--<122-< 1.5-<0<()5--，表示如下图： 【点睛】本题主要考查了数轴和有理数大小的应用；能正确化解绝对值，正确理解有理数的大小比较是解题的关键，注意在数轴上的数，右边的总比左边的大． 16．已知有理数a ，b 在数轴上对应的点如图所示．（1）当0.5a =， 2.5b =-时，求1a b a b b b -++--+的值；（2）化简：1a b a b b b -++--+．【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）先代入数值，再根据绝对值的代数意义化简求解即可； （2）根据绝对值的代数意义、去括号、合并即可得到结果．【详解】解：（1）当0.5a =， 2.5b =-时原式()()0.5 2.50.5 2.5 2.5 2.51=--++-----+32 2.5 1.51=+--=（2）根据如图所示数轴上点的位置可知：1b <-，01a <<∴0a b ->，0a b +<，0b <，10b +<，原式()()()1a b a b b b =--+--++1a b a b b b =---+++1=【点睛】此题考查了整式的加减、数轴、以及绝对值，解题的关键是熟练掌握各自的定义．17．|2||7||3|0a b c -+-+-=，求2a b c --的值．【答案】6-【分析】根据非负数的性质求得a 、b 、c ，代入即可求得2a b c --的值．【详解】解：∵|2||7||3|0a b c -+-+-=，∴20,70,30a b c -=-=-=，即2,7,3a b c ===，∴222736a b c --=⨯--=-．【点睛】本题考查绝对值的非负性，代数式求值．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解决此题的关键．18．若4,9,a b a b a b ==-=-，求+a b 的值【答案】-5或-13【分析】依据绝对值的性质求得a 、b 的值，然后代入求解即可．【详解】∵|a|=4，|b|=9，|a-b|=a-b ，∴a=±4，b=±9，a-b≥0．∴a=±4，b=-9．当a=4，b=-9时，则a+b=4+（-9）=-5；当a=-4，b=-9时，则a+b=-4+（-9）=-13．综上所述，a+b 的值为-5或-13．【点睛】考查了绝对值的性质、有理数的加法法则，熟练掌握相关性质是解题的关键．19．出租车司机小李某天下午在东西方向的公路上载运客人，如果规定向东为正，向西为负，出发地记为点.出租车的行程如下（单位：千米）：12,7,10,13,11,4,13,14+-+--+-+.（1）最后一名客人到达目的地时，小李距出车地点A 的距离是多少?（2）若汽车耗油量为0.12升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？【答案】（1）4千米；（2）10.08升．【分析】（1）求出各数之和，根据计算结果判断即可；（2）求出各数绝对值之和，得出行驶里程，再乘以0.12即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：：（＋12）＋（−7）＋（＋10）＋（−13）＋（−11）＋（＋4）＋（−13）＋（＋14）＝−4（千米）， 故最后一名客人到达目的地时，小李距出车地点A 的距离4千米；（2）这天下午行驶总里程为：|＋12|＋|−7|＋|＋10|＋|−13|＋|−11|＋|＋4|＋|−13|＋|＋14|＝84（千米），则共耗油量为：84×0.12＝10.08（升）；所以这天下午汽车共耗油10.08升．【点睛】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义求出行驶里程是解答此题的关键．20．根据如图所示的数轴，解答下面问题.（1）分别写出A 、B 两点所表示的有理数；（2）请问A 、B 两点之间的距离是多少？（3）在数轴上画出与A 点距离为2的点（用不同于A 、B 的其它字母表）.【答案】（1）点A 表示1；点B 表示-2.5；（2）距离是3.5；（3）两点C 、D 分别是-1，3，图详见解析.【分析】（1）观察数轴，即可找出A 、B 两点表示的数；（2）根据两点的距离公式，即可求出A 、B 两点之间的距离；（3）设与A 点距离为2的点表示的数为x ，根据两点间的距离公式即可得出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x 的值，将其标记在数轴上即可．【详解】解：（1）根据数轴可知点A 表示1；点B 表示-2.5；（2）依题意得：AB 之间的距离为：()1 2.5--=1+2.5=3.5；（3）设与A 点距离为2的点表示的数为x ，根据题意得：|x-1|=2，解得：x=-1或x=3．将其标记在数轴上，点C 、D 即为所求．【点睛】本题考查数轴、两点间的距离公式以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）观察数轴，找出A 、B 两点表示的数；（2）利用两点间的距离公式求出线段AB 的长度；（3）利用两点间的距离公式列出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程．。
七年级数学上学期 绝对值重难点突破(含解析)
初中数学人教版七年级上学期第一章有理数绝对值重难点突破一、解答题1.(8分)（2020七上·硚口期中）已知是有理数.（1）当时，先判断的正、负符号，再求的值；（2）当时，直接写出的值.2.(8分)（2021七上·相城月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a＋c|﹣|1﹣b|＋|﹣a﹣b|3.(10分)（2021七上·苏州月考）如图所示，有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，原点为点O.①化简：|a﹣c|+2|c﹣b|﹣|b﹣a|.②若B为线段AC的中点，OA＝6，OA＝4OB，求c的值.4.(12分)（2020七上·金华期中）数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。
我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。
同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。
请结合数轴解决下列问题：①当时，表示什么意思？________；②若，则________；③若，则的值是________；④求使的值最小的所有符合条件的整数.二、综合题5.(10分)（2021七上·薛城期中）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．利用上述结论，回答以下问题（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=；（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为；②若该两点之间的距离是3，那么x值为；（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．6.(11分)（2021七上·建昌期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用，表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和两点之间的距离是．（2）可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（3）若，则．（4）若表示一个有理数，的最小值为．（5）直接写出所有符合条件的整数x，使得，的值为7.(10分)（2021七上·温岭期中）点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|回答下列问题：（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x的值是；（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=；（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是.8.(15分)（2020七上·武汉期中）（问题背景）在数轴上，点表示数在原点的左边，点表示的数在原点的右边，如图1，所示，则有：①；②线段的长度等于.（问题解决）点、点、点在数轴上的位置如图2所示，三点对应的数分别为，、.①线段的长度为▲；②若点为线段的中点，则点表示的数是▲；③化简：.（关联运用）①已知：点、点、点、点在数轴上的位置如图3所示，点对应的数为，点对应的数为，若定长线段沿数轴正方向以每秒个单位长度匀速运动，经过原点需要1秒，完全经过线段需要2秒，求的值；②已知，当式子取最小值时，相应的的取值范围是▲，式子的最小值是▲.（用含、的式子表示）9.(16分)（2020七上·孝南期中）已知是最小的正整数，且，满足，请回答：（1）请直接写出，，的值：=，=，=；（2）在（1）的条件下，若点为一动点，其对应的数为，点在0到1之间运动，即时，化简：；（3）在（1）（2）的条件下，，，分别对应的点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为.请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：，；（2）解：当同正时，；当两正一负时，；当一正两负时，；当同负时，；综上：或±1.【考点】绝对值及有理数的绝对值，代数式求值【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法法则可知a，b同号，再利用有理数的加法法则，结合已知可得到a，b同为负数，然后化简绝对值，可求出结果。
绝对值及有理数的大小比较(提高)巩固练习含答案
【巩固练习】一、选择题1．（2016•日照）以下选项中比|﹣|小的数是（ ）A ．1B ．2C ． D.2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）．A ． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④3．满足|x|＝-x 的数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4.（2015•黄石模拟）若|x ﹣5|=5﹣x ，下列不等式成立的是（ ）A. x ﹣5＞0B. x ﹣5＜0C. x ﹣5≥0D. x ﹣5≤05．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．A ．b ＜-a ＜a ＜-bB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-b ＜a ＜-a ＜bD ．-a ＜a ＜-b ＜b6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=．8．（2015秋•张掖校级期中）如果|a ﹣2|+|b+1|=0，那么a+b 等于 ．9.（2015•重庆校级模拟）若a ＞3，则|6﹣2a|= （用含a 的代数式表示）．10．绝对值不大于11的整数有 个．11．式子|2x-1|+2取最小值时，x 等于 ．12．若1a a=-，则a 0；若a ≥a ，则a ． 三、解答题13．若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x ，求x+y 的值．14．（2014秋•天水期末）如图，数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c ．则：a ﹣b 0，a+c 0，b ﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）你能把|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．15．阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a -b∣；当A 、B 两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b -a=∣a -b∣；②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a ）=∣a -b∣；③如图1-1-4，点A 、B 在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b ）=∣a -b∣，综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x 为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是______________．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵|﹣|=，A 、1＞，故本选项错误；B 、2＞，故本选项错误；C 、=，故本选项错误；D 、﹣＜，故本选项正确；故选D ．2．【答案】C【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C3．【答案】D【解析】x 为负数或零时都能满足|x|＝-x ，故有无数个．4.【答案】D.5．【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．二、填空题7．【答案】1【解析】由题意可知：7,2m n ==，所以27321m n -=-⨯=8．【答案】1【解析】解：由题意得，a ﹣2=0，b+1=0，解得，a=2，b=﹣1，则a+b=1，故答案为：1．9.【答案】2a-610.【答案】23【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．11．【答案】1 2【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=12时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2．12．【答案】＜；任意数三、解答题13．【解析】解：因为|x-y|≥0，所以y-x≥0，y≥x．由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=-3．（1）当y=2时，x+y=-1；（2）当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．14.【解析】解：由数轴得，a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]=﹣a+b+a+c﹣b+c=2c．15．【解析】解：①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．。
七年级数学上册专题提分精练绝对值、相反数、倒数综合(解析版)
专题06 绝对值、相反数、倒数综合1．已知、互为相反数且，、互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求()220102011a b a m cd b +-+-的值． （注：cd =c d ⨯） 解：∵、互为相反数且， ∴a b += ，ab= ； 又 ∵、互为倒数， ∴cd = ；又 ∵的绝对值是最小的正整数， ∴m = ，∴2m = ；∴原式= ． 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据相反数、倒数的性质及绝对值是最小的正整数即可得到结果. ∵、互为相反数且， ∴a b +=0，ab=1-； 又 ∵、互为 ∴cd =1；又 ∵的绝对值是最小的正整数， ∴m =1±，∴2m =1；∴原式=1(1)011--+-=． 考点：相反数，倒数，绝对值点评：解题的关键熟练掌握互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1. 2．若a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，|m |＝2，则式子2a b m m x xy+-+的值为多少？ 【答案】6或2 【解析】 【分析】利用a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数可得a +b ＝0，xy ＝1，因为 |m |＝2，所以分情况讨论当m ＝2时，当m ＝﹣2时，分别计算即可． 【详解】解：∵a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，|m |＝2， ∴a +b ＝0，xy ＝1，m ＝±2， 当m ＝2时，原式＝2﹣0+4＝6， 当m ＝﹣2时，原式＝﹣2﹣0+4＝2，综上可得：式子2||+-+a b m m x xy的值为6或2． 【点睛】本题考查相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数的性质，倒数的性质以及绝对值的性质．3．已知：a与b互为相反数且a、b均不为零，c是最大的负整数，d是倒数等于本身的数，x是平方等于9的数，试求x+ab+2c﹣a bd+【答案】0或﹣6##-6或0【解析】【分析】根据a与b互为相反数且a、b均不为零，c是最大的负整数，d是倒数等于本身的数，x是平方等于9的数，可以得到a+b＝0，ab＝﹣1，c＝﹣1，d＝±1，x＝±3，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：由题意得，a+b＝0，ab＝﹣1，c＝﹣1，d＝±1，x＝±3，当x＝3时，x+ab+2c﹣a bd+＝3+（﹣1）+2×（﹣1）﹣0 d＝3+（﹣2）+（﹣1）+0＝0；当x＝﹣3时，x+ab+2c﹣a bd+＝﹣3+（﹣1）+2×（﹣1）﹣0 d＝﹣3+（﹣1）+（﹣2）+0＝﹣6；由上可得，x+ab+2c﹣a bd+的值是0或﹣6．【点睛】本题考查了相反数、倒数、乘方的意义，以及有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b＝0，ab＝﹣1，c＝﹣1，d＝±1，x＝±3．4．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，，求式子a bm cdm+++的值．【答案】5或3-【解析】根据绝对值的意义，相反数的定义和倒数的定义可得0a b +=，1cd =，4m =±，然后分情况代入所求的式子计算即可 【详解】解：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为4， 0a b ∴+=，1cd =，4m =±，当4m =时，04141054a b m cd m +++=++=++=； 当4m =-时，0-41-4103-4a b m cd m +++=++=++=-； 因此，a bm cd m+++的值是5或3-． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义和倒数的定义以及代数式求值，掌握上述知识是解题的关键．5．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数且x 的绝对值是5，求x －4cd ＋2a ＋2b 的值． 【答案】1或－9 【解析】 【分析】由题意易得a +b =0，cd =1，x =±5，进而代入求解即可． 【详解】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数且x 的绝对值是5， ∴a +b =0，cd =1，x =±5，∴当x =5时，4225401x cd a b -++=-+=； 当x =－5时，则有4225409x cd a b -++=--+=-． 【点睛】本题主要考查代数式的值、相反数的意义及倒数，熟练掌握代数式的值、相反数及倒数是解题的关键．6．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子243a b m cd m ++-的值．【答案】5或-11 【解析】 【分析】由a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，可以知道0a b +=，1cd =；m 的绝对值为2可知2m =±，分别代入计算即可得到答案．解：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2 0a b ∴+=，1cd =，2m =±∴当2m =时，原式042315=⨯-⨯=＋当2m =-时，原式()0423111=⨯--⨯=-＋ 【点睛】本题考查互为相反数的两数的性质、互为倒数的两数的性质、以及绝对值的定义，牢记相关知识点并准确计算是解题关键．7．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，|x |＝2，|y |＝1，且x ＜y ，求（a +b ）x 2+cd （x +y ）的值． 【答案】-1和-3 【解析】 【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，得a +b =0，cd =1，|x |＝2，|y |＝1，且x ＜y ，得x =-2，y =1或y =-1，代入计算即可． 【详解】∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数， ∴a +b =0，cd =1，∵|x |＝2，|y |＝1，且x ＜y ， ∴x =-2，y =1或y =-1， 当x =-2，y =1时， （a +b ）x 2+cd （x +y ） =0+（-2+1） =0+（-1） =-1当x =-2，y =-1时， （a +b ）x 2+cd （x +y ） =0+（-2-1） =-3 【点睛】此题考查的知识点是代数式的化简求值，解答此题的关键是由已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，得a +b =0，cd =1，|x |＝2，|y |＝1，且x ＜y ，得x =-2，y =1或y =-1．8．已知：a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，|m |＝5，n 是绝对值最小的数，求代数式5ab ﹣2021（c ＋d ）＋n ＋m 2的值．【解析】 【分析】根据倒数、相反数和绝对值的意义得到，1ab =，0c d +=，5m =±，0n =，则225m =，再代入252021()ab c d n m -+++计算即可得到答案． 【详解】由题可得：1ab =，0c d +=，5m =±，0n =， 225m ∴=，∴原式5120210025=⨯-⨯++，=30． 【点睛】本题考查绝对值、相反数、倒数和有理数的混合运算，解题的关键是掌握求绝对值、相反数、倒数和有理数的混合运算．9．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为3，求a +b +x 2-cdx 的值． 【答案】6或12 【解析】 【分析】根据a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是3，可以得到a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±3，然后利用分类讨论的方法即可求得所求式子的值． 【详解】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d x 的绝对值是3， ∴a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±3， 当x ＝3时，a +b +x 2-cdx =0+9-1×3=6； 当x ＝-3时，a +b +x 2-cdx =0+9-1×（-3）=12， ∴a +b +x 2-cdx 的值为6或12． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，绝对值的意义，相反数和倒数的定义，解答本题的关键是求出a ＋b ＝0，cd ＝1，x ＝±3．10．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，e 的绝对值为2．求3||a be cd e++-的值． 【答案】5 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得a ＋b ＝0，互为倒数的两个数的乘积是1可得cd＝1，根据绝对值的性质求出|e |，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：若a ，b 互为相反数c ，d 互为倒数，e 的绝对值为2， ∴0,1,||2,a b cd e +===3||0321615a be cd e++-=+⨯-=-=. 【点睛】本题考查了代数式求值，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义，熟记概念与性质是解题的关键．11． 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，n 的绝对值为2，求代数式2a bcd n m+-++的值． 【答案】3或-5 【解析】 【分析】利用相反数，倒数，绝对值的代数意义得到0a b +=，1cd =，n=2或-2，再整体代入原式计算即可得到结果． 【详解】根据题意得：0a b +=，1cd =，n=2或-2， 当2n =时，原式=1043-++=； 当n=-2时，原式=1045-+-=-． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值以及，相反数，倒数，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是5，求：22020()2021a b m cd +-+的值．【答案】26． 【解析】 【分析】由相反数，倒数，绝对值的含义求解,,a b cd m +的值，再整体代入即可得到答案. 【详解】解： a 、b 互为相反数， ∴ 0a b +=，c 、d 互为倒数，∴ 1cd =，m 的绝对值是5，∴ 5m =±，225,m =22020()202002512620212021a b m cd +⨯∴-+=-+=.【点睛】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，代数式的求值，掌握以上知识及整体代入求代数式的值是解题的关键.13．若m 、n 互为相反数，p 、q 互为倒数，且a =6，求2020()120212m n pq a +++的值．【答案】4或2- 【解析】 【分析】先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，求解,,m n pq a +的值，再整体代入即可得到答案. 【详解】解：,m n 互为相反数，0,m n ∴+=,p q 互为倒数，1,pq ∴=6,a = 6,a ∴=±当6a =时， 原式202001=16134,20212⨯++⨯=+= 当6a =-时， 原式()()202001=+1+6132,20212⨯⨯-=+-=- 综上：代数式的值为4或 2.- 【点睛】本题考查的是相反数的定义，倒数的定义，绝对值的含义，有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键.14．已知a b 、互为倒数，、c d 互为相反数，n 的绝对值是2，m 是最大的负整数，求代数式2225242m c d mn ab +-++-的值．【答案】15-或11- 【解析】 【分析】根据倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，得ab =1，c +d =0，m =-1，n =±2，分别讨论n 的值进而代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，n 的绝对值是2，m 是最大的负整数， ∴1,0,2,1ab c d n m =+===-， ∴2n，当2n =时，原式125(2)1522⎛⎫=-+-+-=- ⎪⎝⎭当2n =-时，原式12521122⎛⎫=-+-+=- ⎪⎝⎭∴代数式的值是15-或11-． 故答案为：-15或-11． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，正确理解倒数，相反数的定义，绝对值的意义，以及分类讨论思想是解题的关键．15．若a 、b 互为相反数，且ab≠0，c 、d 互为倒数，2x =，求()20202020202023-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a cd x b 的值． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据a 、b 互为相反数，且0ab ≠，c 、d 互为倒数，||2x =，可以得到0a b +=，1cd =，24x =，1ab=-，然后代入所求的式子，即可求得所求式子的值． 【详解】解：a 、b 互为相反数，且0ab ≠，c 、d 互为倒数，||2x =， 0a b ∴+=，1cd =，24x =，1ab=-， ∴2020202020202()()(3)a b acd x b++-+- 2019202020200()(1)(1)43=+-+-- 0114=++-2=-．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 16．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2||a b cd m m +-+的值． 【答案】当2m =时，原式1=，当2m =-时，原式3=- 【解析】 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b ，cd 以及m 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】由题意得0a b +=，1cd =，2m =±； 当2m =时，2||0121a b cd m m +-+=-+=， 当2m =-时，2||0123a b cd m m +-+=--=-． 【点睛】本题考查了代数式求值，利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b ，cd 以及m 的值是解本题的关键．17．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，m 为最大的负整数，n 的绝对值为2，试求3325242m c d mn ab +-++-的值． 【答案】-15或-11 【解析】 【分析】根据倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，得ab =1，c +d =0，m =-1，n =±2，进而代入求值即可得到答案．【详解】由题意得：ab =1，c +d =0，m =-1，n =±2，①当n =2时，原式=1-25-(-1)2-13-2-1522++⨯==， ②当n =-2时，原式=1-25-(-1)(-2)-132-1122++⨯=+=，∴3325242m c d mn ab +-++-=-15或-11． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握倒数，相反数的定义，最大的负整数为-1，绝对值的意义，是解题的关键．18．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求m 2﹣cd+||a bm +的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相反数性质、倒数定义和绝对值的性质得出a+b=0、cd=1，m=2或m=-2，代入计算可得． 【详解】根据题意知a+b=0、cd=1，m=2或m=-2， 原式=0412-+ =4-1 =3 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握相反数性质、倒数定义和绝对值的性质及有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键19．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转化器）（1）求当小明输入3-、95两个数时输出的结果；（2）当输出的结果为0时，求输入的数值（写两个即可）；（3）在正数、0、负数中，试探究这个“有理数转化器”不可能输出的数．【答案】（1）当小明输入3-时，输出的结果为13；当小明输入95时，输出的结果为95；（2）输入的数值是0或5；（注：答案不唯一）（3）在正数、0、负数中，这个“有理数转化器”不可能输出的数是负数． 【解析】【分析】（1）根据有理数的大小比较法则、相反数、绝对值运算计算“有理数转换器”即可得； （2）根据输出结果为0，可推出这个数进入“相反数”和“绝对值”方框时是0，从而可推出进入“数大于2”方框时是0，由此即可得；（3）根据进入“相反数”方框后，有两个选择，即倒数和绝对值，再根据倒数和绝对值的运算即可得出答案．【详解】（1）32-<，进入“相反数”方框，结果为3，再进入“倒数”方框，结果为13，输出 925<，进入“相反数”方框，结果为95-，再进入“绝对值”方框，结果为95，输出 故当小明输入3-时，输出的结果为13；当小明输入95时，输出的结果为95； （2）当输入的数值是0时，02<，进入“相反数”方框，结果为0，再进入“绝对值”方框，结果为0，输出，符合要求当输入的数值是5时，52>，进入“加上5-”方框，结果为0，02<，进入“相反数”方框，结果为0，再进入“绝对值”方框，结果为0，输出，符合要求答：输入的数值是0或5；（注：答案不唯一）（3）由“有理数转换器”可知，进入“相反数”方框后，有两个选择：①当其为正数时，进入“倒数”方框，输出的结果仍是正数；②当其为非正数（即负数和0）时，进入“绝对值”方框，输出的结果是非负数（即正数和0）因此，在正数、0、负数中，这个有理数转化器”不可能输出的数是负数．【点睛】本题考查了新型程序图的有理数运算，读懂程序图，掌握相反数、倒数、绝对值运算是解题关键．20．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．（1）你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数．（2）当小羽输入6时，输出的结果是 ；当小羽输入﹣78时，输出的结果是 ；当小羽输入-2021时，输出的结果是 ．（3）你认为当输入时，其输出结果是0．（4）有一次，小羽在操作的时候，输入有理数n，输出的结果是2，且知道|n|≤21，你判断一下，小羽可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由．【答案】（1）负；（2）1；87；12021；（3）0或7n（n为正整数）；（4）132或-12或2或412．【解析】【分析】（1）逆向观察转换器，从输出结果倒推求解；（2）将三个数分别代入转化器中进行计算；（3）结合绝对值和倒数的意义，从转化器倒推分析求解；（4）设输入的数为n，分4＜n＜7，0＜n≤4，-21≤n＜0，7＜n≤21四种情况分析讨论，然后结合转换器中的运算程序计算求解．【详解】解：（1）观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，∴输出的结果一定是非负数，即这个“有理数转换器”不可能输出负数，故答案为：负；（2）当输入6时，6＞4，∴6+（-7）=-1，-1＜4，-1的相反数为1，1＞0，∴输出1的倒数为1；当输入﹣78时，﹣78＜4，∴﹣78的相反数为78，78>0，∴输出78的倒数为87；当输入-2021时，-2021<4，∴-2021的相反数为2021，2021＞0，∴输出2021的倒数1 2021；故答案为：1；87；12021；（3）∵0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，∴当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0，当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0，综上，当输入0或7n（n为正整数）时，输出结果为0；（4）①当4＜n＜7时，n-7＜0，则n-7的相反数为7-n，且7-n＞0，由于输出结果为2，∴7-n=12，即n=132；②当-21≤n＜0时，其相反数为-n，且-n＞0，由于输出结果为2，∴-n=12，即n=-12；③当0＜n≤4时，其相反数为-n，且-n＜0，∴-n的绝对值为n，由于输出的结果为2，∴此时n=2；④当7＜n≤21时，n-7×3=n-21，且n-21＜0，n-21的相反数为21-n，且20-n＞0，∵输出结果为2，∴21-n=12，即n=412，综上，小强可能输入的是132或-12或2或412．【点睛】本题考查的是倒数、绝对值及相反数的概念，解答此题的关键是弄清图表中所给的程序，在解（4）时要注意分类讨论．。
七年级数学上册绝对值专题提高练习
③数轴上表示 1 和-3 的两点 A 和 B 之间的距离是_
_.
④数轴上表示 X 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是（x+1），如果|AB|=2,那么 X 为
⑤当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是_
.最小值为
探究性学习：
（一）、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图现在要在 AB 段
如果 a b a 2c b 2c a b 2c 0 ，试确定原点 O 的大致位置。
AC B
ac
b
A BC DE F
-5
11
例 2：如图，在数轴上有六个点，且 AB=BC=CD=DE=EF，则与点 C 所表示的数最接近的
整数是（ ）
A、—1 B、0 C、1
D、2
例 3： 非 零 整 数 m、 n， 满 足 m n 5 0 ， 所 有 这 样 的 整 数 组 （ m， n） 共 有 ：
七年级数学上册绝对值专题提高练习
一、知识点概要
a(a 0) 1、 取绝对值的符号法则: a 0(a 0)
a(a 0)
2、 绝对值的基本性质：
①非负性 ② ab a b
③ a a (b 0) ④ a 2 a2 a2 bb
⑤ ab a b ⑥ a b ab a b
3、 绝对值的几何意义：
（四）、根据以上结论，求 x 1 x 2 ...... x 616 x 617 的最小值。
作业：1、设 a b c d ，求| x a | | x b | | x c | | x d |的最小值。
2、 abcde 是一个五位数， a b c d e ，求 | a b | | b c | | c d | | d e | 的最大值。
绝对值常考题型分析
绝对值常考题型分析1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用知识梳理一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例题精讲【题目】已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）【选项】A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b【答案】A【解析】| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
此题的求解使用了数形结合思想。
【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）【选项】A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号【答案】C【解析】由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
苏科版初中七年级数学绝对值与相反数积累运用练习题分析解答
苏科版初中七年级数学绝对值与相反数积累运用练习题分析解答1．阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝1或7．【分析】（1）根据绝对值解答即可；（2）根据绝对值的非负性解答即可．【解答】解：（1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，可得：|x﹣4|＝3，解得：x＝1或7；故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或7【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的非负性和概念解答．2．【观察与归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3||﹣8|+|3|＞|﹣8+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3||0|+|﹣6|＝|0﹣6|归纳：|a|+|b|≥|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【理解与应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求m的值．【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案．【解答】解：（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n异号．当m为正数，n为负数时，m﹣n＝9，则n＝m﹣9，|m+m﹣9|＝1，m＝5或4；当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝9，则n＝m+9，|m+m+9|＝1，m＝﹣4或﹣5；综上所述，m为±4或±5．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．3．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x=23，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×23−4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应x＝4，最小值是4．②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程．【分析】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．【解答】解：阅读理解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3，故答案为﹣1≤x≤2，3；（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应的x＝4，最小值是4；故答案为4，4；（2）当x ≥−12时y ＝﹣2x +6，当x =−12时，y 最大＝7；当﹣4≤x ≤−12时，y ＝6x +10，当x =−12时，y 最大＝7；当x ≤﹣4，时y ＝2x ﹣6，当x ＝﹣4时，y 最大＝﹣14，所以x =−12时，y 有最大值y ＝7．【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．5．（1）若|x|x=1，求x ． （2）若|x|x =−1，求x ． 【分析】利用绝对值的性质：当x ＞0时，|x |＝x ；当x ≤0时，|x |＝﹣x ，先去掉绝对值再进行计算．【解答】解：（1）∵|x|x =1，∴|x |＝x ，∴x ＞0； （2）∵|x|x =−1，∴|x |＝﹣x ，∴x ＜0；【点评】此题主要考查绝对值的性质，是一道基础题．6．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b ﹣c ＜ 0，a +b ＜ 0，c ﹣a ＞ 0．（2）化简：|b ﹣c |+|a +b |﹣|c ﹣a |．【分析】（1）根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0且|b |＜|a |＜|c |，所以，b ﹣c ＜0，a +b ＜0，c ﹣a ＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b ﹣c |+|a +b |﹣|c ﹣a |＝（c ﹣b ）+（﹣a ﹣b ）﹣（c ﹣a ）＝c ﹣b ﹣a ﹣b ﹣c +a＝﹣2b．【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．7．已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．【分析】由题意x＝±3，y＝±7，由于x＜y时，有x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝7，代入x+y即可求出答案．由于xy＜0，x＝3，y＝﹣7或x＝﹣3，y＝7，代入x﹣y即可求出答案．【解答】解：由题意知：x＝±3，y＝±7，（1）∵x＜y，∴x＝±3，y＝7∴x+y＝10或4（2）∵xy＜0，∴x＝3，y＝﹣7或x＝﹣3，y＝7，∴x﹣y＝±10，【点评】本题考查绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．8．同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝7．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．9．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．【分析】由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．∴原式＝b﹣a+a+c+c﹣b＝2c．【点评】此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，学生要对这些概念性的东西牢固掌握．10．已知a ，b ，c 都是有理数，且满足|a|a +|b|b +|c|c =1，求6−abc |abc|的值． 【分析】首先依据足|a|a +|b|b +|c|c =1，可确定出a 、b 、c 中负数的个数，然后可确定出abc |abc|的值，最后进行计算即可．【解答】解：∵|a|a +|b|b +|c|c =1，∴a 、b 、c 中有1个负数，∴abc |abc|=−1．∴6−abc |abc|的＝6﹣（﹣1）＝6+1＝7． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，求得a 、b 、c 中负数的个数是解题的关键．。
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一.解答题(共12小题)1已知a为一个有理数，解答下列问题：(1)如果a的相反数是a,求a的值；(2)10a 一定大于a吗？说明你的理由.2.有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，且 |a|=|b|,化简|c- a|+|c- b|+|a+b|.a0 c I3.有200个数1 , 2, 3, •••, 199, 200.任意分为两组(每组 100个)，将一组按由小到大的顺序排列，设为a i<a2< •••< a i00,另一组按由大到小的顺序排列，设为b i> b2>・・> b ioo,试求代数式|a i - b i|+|a2 - b2|+・・+|a99-b99|+|ai oo-b ioo| 的值.i9 994.若 a, b, c 为整数，且 |a- b| +|c- a| =i，试计算 |c- a|+|a- b|+|b- c|的值.5.若 x>0, y< 0,求:|y|+|x-y+2| — |y— x — 3|的值.6.同学们都知道，|4-( - 2)表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x- 3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：(1)|4-( - 2) |= _________________ .(2)找出所有符合条件的整数x，使|x- 4|+|x+2|=6成立.(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x, |x- 3|+|x- 6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.7.先阅读下列材料，然后完成下列填空：点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设 A 点在原点，如图 i|AB|=|OB|=|b|=|b - 0|=|a-b|;当A、B两点都不在原点时，①如图 2, A、B 两点都在原点的右边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=b-a=|a- b|②如图 3, A、B 两点都在原点的左边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=-b -( - a) =|a- b|③如图 4, A、B 两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+ (- b) =|a- b|综上所述，(1)_____________________________________________ 上述材料用到的数学思想方法是 (至少写出2个)(2)数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a - b|.回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________________ ;数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_________________________ ; 数轴上表示i和-4的两点之间的距离是—_ ;(3)数轴上表示 x和-i的两点A和B之间的距离是 _______________________ ;如果|AB|=2，那么x为___________________ .w £a b图10 J A BJ i •0 a bE 2B 1A 0 i i *b a 0團3B 10 Ai i .b0 a图4&已知有理数a, b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点.①请在数轴上表示出数-a,- b对应的点的位置；②请按从小到大的顺序排列 a, - a, - b, b,- 1, 0的大小.a -1 0 1 b9.化简：|2x+1|- |x- 3|+|x - 6|10 .若 abc M D，则11.设_19961995尸1995._199519961995199619951996,19951996 少姑―, ，比较a、bd的大小.12.试比较- 199了97 1998.；；,-.| ,9899这四个数的大小.的所有可能值是什么?参考答案与试题解析一.解答题(共12小题)1已知a为一个有理数，解答下列问题：(1)如果a的相反数是a,求a的值；(2)10a 一定大于a吗？说明你的理由.考点：相反数；有理数大小比较.分析：(1)根据互为相反数的两数之和为0,可得出a的值；(2)讨论a为负值时即可得出结论.解答：: 解：(i) a+a=0,解得：a=0;(2)当 a< 0 时，i0a< a.故i0a不一疋大于a.点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意负数的绝对值越大其值越小.2.有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|,化简|c- a|+|c-b|+|a+b|.a0 C b *考点：绝对值；数轴.分析：由数轴可知：b>c>0, a<0，再根据有理数的运算法则，求出绝对值里的代数式的正负性，最后根据绝对值的性质化简.解答：解：由数轴，得b>c> 0, a< 0，又 |a|=|b|,••• c- a>0, c- b< 0, a+b=0 .|c— a|+|c— b|+|a+b|=c- a+b- c=b - a.点评：做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，计算. 0的绝对值还是0"进行化简3.有200个数1 , 2, 3, •••, 199, 200.任意分为两组(每组 100个)，将一组按由小到大的顺序排列，设为a i<a2<.y a i00,另一组按由大到小的顺序排列，设为b i > b2>・・> b ioo,试求代数式|a i - b i|+&- b2|+・・+|a99- b99|+|ai oo -b ioo| 的值.考点：整数问题的综合运用；绝对值.专题：探究型.分析：由题意可知绝对值式展开后就会发现，最后的式子是一百个大数的和减一百个小数的和，而这些数都是i 到200之间的，故可得出结论.解答：解：•.•将一组按由小到大的顺序排列，设为a i< a2< •< a ioo,另一组按由大到小的顺序排列，设为b i> b2>…〉b ioo,•••设 a i=b i+i, a2=b2+2…，•原式=(i0i+i02+ --+200)-( i+2+ ••+i00) =i00Xi00=i0000 . 故答案为：i0000.点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据题意得出原式=(i0i+i02+・・+200)-( i+2+ ••+i00)是解答此题的关键.i9 994.若 a, b, c 为整数，且 |a- b| +|c- a| =i，试计算 |c-a|+|a-b|+|b-c|的值. 考点：绝对值. 专题：探究型.19 99分析：根据绝对值的定义和已知条件a, b, c为整数，且|a- b| +|c-a| =1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c-a|、|a-b|、|b-c|,从而问题解决.解答：解：a, b, c均为整数，则a- b, c- a也应为整数，且|a-b|19, |c- a99为两个非负整数，和为1, 所以只能是|a- b|19=0且|c- a|99=1,①或 |a— b|19=1 且|c- a99=0.②由①知 a- b=0 且|c- a|=1，所以 a=b,于是 |b- c|=|a- c|=|c- a|=1;由②知|a- b|=1 且 c- a=0,所以 c=a,于是 |b- c|=|b- a|=|a- b|=1.无论①或② 都有 |b - c|=1 且 |a— b|+|c - a|=1,所以 |c- a|+|a— b|+|b - c|=2.点评：根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性.5.若 x>0, y v 0,求:|y|+|x— y+2|- |y— x - 3|的值.考点：绝对值.分析：首先根据x、y的取值确定x-y+2和y- x- 3的取值，从而去掉绝对值符号化简；解答：解：T x> 0, y v 0, /• x - y+2 >0, y- x - 3 v 0|y|+|x - y+2| - |y- x - 3|= - y+ (x - y+2) + (y - x - 3) = - y+x - y+2+y - x - 3= - y - 1.点评：此题考查了有理数的加法运算.注意根据题意确定x- y+2和y - x- 3的符号是解此题的关键.6.同学们都知道，|4-( - 2)表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为 4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x- 3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：(1)|4-(- 2) |= 6 .(2)找出所有符合条件的整数x，使|x- 4|+|x+2|=6成立.(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x, |x- 3|+|x- 6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.考点：绝对值；数轴.分析：(1)直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.(2)要x的整数值可以进行分段计算，令 x - 4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定 x的值.(3)根据(2)方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.解答：解: (1)原式=|4+2|=6故答案为：6 ；(2)令 x- 4=0 或 x+2=0 时，贝V x=4 或 x= - 2当x v- 2时，•••-( x - 4)-( x+2) =6,-x+4 - x - 2=6 ,x= - 2 (范围内不成立)当—2v x v 4 时，••-( x - 4) + (x+2) =6,-x+4+x+2=6 ,6=6,• x= - 1, 0, 1 , 2, 3当x> 4时，/•( x - 4) + (x+2) =6,x - 4+x+2=6 , 2x=8 , x=4 ,x=4 (范围内不成立)•••综上所述，符合条件的整数 x 有：-2,- 1, 0, 1 , 2, 3, 4(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数 x, |x-3|+|x - 6|有最小值为3.点评：本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用•难度 较大.去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性.7. 先阅读下列材料，然后完成下列填空： 点A 、B 在数轴上分别表示实数 a 、b, A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设 A 点在原点，如图 1|AB|=|0B|=|b|=|b - 0|=|a-b|;当A 、B 两点都不在原点时，① 如图 2, A 、B 两点都在原点的右边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=b-a=|a- b| ② 如图 3, A 、B 两点都在原点的左边，|AB|=|OB| - |OA|=|b|- |a|=-b -( - a) =|a- b|③ 如图 4, A 、B 两点分别在原点的两边， |AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+ (- b) =|a- b| 综上所述， (1)上述材料用到的数学思想方法是 数形结合、分类讨论 (至少写出2个)(2) 数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|=|a - b|.回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ;数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 3 ;数轴上表示1和-4的两点之间的距离是5 ;(3) 数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 |x+1|;如果|AB|=2，那么x 为1或-3.W £ab 图10 J AB J i •0 abE 2B1A 0ii * ba 0團3B1 0Aii.ba图4考点：i 数轴；绝对值. 专题：i 数形结合；分类讨论.分析： (1) 从材料所提供的解题过程来总结所用的数学思想方法；(2)直接根据数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a - b|.代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离.(3)根据绝对值的性质，可得到一个一兀一次不等式组，通过求解，就可得出 x 的取值范围.解答：： i解: (1)根据 如图2、如图3、如图4”可知，该材料用到了数形结合”是数学思想和 分类讨论”的数学思想；(2)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2 - 5|=3,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是| - 2-(5) |=3 .数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-( - 4) |=5. (3)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是|x-( - 1) |=|x+1|，如果|AB|=2，那么x 为1或-3.故答案是：（1）数形结合、分类讨论；（2） 3、3、5; （3） |x+1|、1或-3.点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现 了数形结合的优点.&已知有理数a, b在数轴上的对应点的位置如图，0表示原点.①请在数轴上表示出数-a,- b对应的点的位置；②请按从小到大的顺序排列 a, - a, - b, b,- 1, 0的大小.a -1 0 1 b考点：有理数大小比较；数轴.分析：① 根据数轴得出a v- 1v 0v 1 v b，得出-a> 0,- b v 0，且|- a|=|a|, - b|=b，根据以上内容标出即可; ②根据数轴上表示的数右边的总比左边的数大比较即可.解答：解：①在数轴上表示出数-a, - b对应的点的位置如图所示：-b -ct,―I---- *1--------------- 1------------- 1---- 1 ---- a-----；② a v - b v - 1 v 0 v b v- a.点评：本题考查了数轴和有理数的大小比较、相反数等知识点，主要考查学生的画图能力和理解能力，注意：在数轴上表示的数右边的总比左边的数大.9.化简：|2x+1|- |x- 3|+|x - 6|考点：绝对值.专题：分类讨论.分析：先分别令2x+1=0、x 3-0、x 6=0分别求出x的对应值，再根据x的取值氾围利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可.解答：解：•••由 2x+1=0、x - 3=0、x - 6=0 分别求得：x=-丄，x=3 , x=6,2当-丄时，原式=—(2x+1 ) + ( x — 3) -( x — 6) = - 2x+2 ；2当「^^工<3时，原式=(2x+1 ) + ( x- 3) -( x- 6) =2x+4 ；当 3$v 6 时，原式=(2x+1)-( x-3)-( x- 6) =10；当 x^6 时，原式=(2x+1 ) -( x - 3) + (x - 6) =2x - 2；-2x+2,当- ~时...原式=站当寺<3时10,当3<x<60寸2x - 2,当垃>6时点评：本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解.合 b 亡10.若abc旳，则 + +——的所有可能值是什么?均大于零时；（2）当a, b, c均小于零时；（3）当a, b, c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案.解答：解：T abc M O,••• a和，b 旳,c M0.•.•（ 1）当a, b, c均大于零时，原式=3;（2）当a, b, c均小于零时，原式=-3;（3）当a, b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1 ;（4）当a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1.的所有可能值是：±3, ±.|a| |b| |c|点评：此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键.11.设^ ,a 1995 °1995 G 1996 ，•……，比较a、b、c、d的大小.1996考点：有理数大小比较.专题：计算题.分析：将各式转化为整数部分加小数部分（真分数）的形式，然后比较整数部分即可. 解答：解：T a=l …一 3-=10006+—--1995199519961995 1b= =10001+-------19961995 “eg 1995c= =10000+—；1996 1996点评：此题考查了有理数大小的比较方法，根据此题的特点，要将各数值化为整数部分加小数部分的形式即可进行比较.199712试比较_丄八‘-——199*-里这四个数的大小比较.沁，；；，| ,」这四个数的大小考点：有理数大小比较.分析：观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可.解答: 解：•••-"」=「' =- 1+ -1998 1998 199898 93 '坛_ 1998_ _ 1999- 1_ _ 11999=1999 飞［的998 99-1 .= =—11（同分子的正分数，分母大的分数比较小）98 99 1998 1999.-1998< _ 199［〈一凭< _ 沪…1999 1998 可丞.点评：解答本题时是借助不等式的性质（不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变）来比较有理数的大小的.。