2019年高考数学一轮复习 课时分层训练37 归纳与类比 理 北师大版

课时分层训练(三十七) 归纳与类比
A组基础达标
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]
2．如图6­4­3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )
图6­4­3
A．12
B．48
C．60
D．144
D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]
3．(2017·陕西渭南一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图6­4­4)：
图6­4­4
他们研究过图中的3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a9的值为( )
【导学号：79140206】A．45 B．55
C．65 D．66
B[第1个图中，小石子有3＝1＋2个，
第2个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，
第3个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，
…
故第9个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×11
2＝55个，即a 9＝55，故选B.]
4．如图6­4­5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →
时，其离心率为5－12，
此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率
e 等于( )
图A.
5＋1
2
B C.5－1 D A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中，
→→→→
a 2
＝ac . 5钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一( ) A ．28钱 B ．32钱 C ．56钱
D ．70钱
B [设甲、乙、丙手上各有钱x ，y ，z ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋z 2＝90，
y ＋x ＋z
2＝70，z ＋x ＋y 2＝56，
三式
相加得x ＋y ＋z ＝108，则y ＋108－y
2＝70，解得y ＝32，故选B.]
二、填空题
6．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则
切点弦P 1P 2所在的直线方程是
x 0x a 2＋y 0y
b 2
＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点
弦P 1P 2所在直线的方程是________．
x 0x a 2－y 0y b 2＝1 [类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0y b
2＝1.]
7．观察下列等式：
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …
照此规律，第n 个等式为________．
n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [由前4个等式可知，第n 个等式的左边
第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2
，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
.]
8．(2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书.
【导学号：79140207】
丙 [因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．] 三、解答题
9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜
想一般性结论，并给出证明．
[解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋1
31＋3
＝
1
1＋3＋13＋3
＝3－12＋3－36＝33，
同理可得：f (－1)＋f (2)＝
3
3
， f (－2)＋f (3)＝
3
3
，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)
＝
33
.
10．已知O 是△ABC 并延长，分别交对边于A ′，B
′，C ′，则
OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′
CC ′
＝1 OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋△ABC △ABC
请运用类比思想，对于空间中的四面体A ­BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
[解] 在四面体A ­BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．
则OE AE ＋OF DF ＋
OG BG ＋OH
CH
＝1.
证明：在四面体O ­BCD 与A ­BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝1
3S △BCD ·h 1
13
S △BCD ·h ＝V O ­BCD
V A ­BCD
.
同理有OF DF ＝
V O ­ABC V D ­ABC ；OG BG ＝V O ­ACD V B ­ACD ；OH CH ＝V O ­ABD
V C ­ABD
.
所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH
CH
＝V O ­BCD ＋V O ­ABC ＋V O ­ACD ＋V O ­ABD
V A ­BCD
＝
V A ­BCD
V A ­BCD
＝1. B 组 能力提升
11．给出以下数对序列：
(1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …
记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1)
D ．(m ，n －m )
A [由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a nm ＝(m ，
n －m ＋1)．]
12．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 2
13°＋cos 2
17°－sin13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin18°cos12°；
④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【导学号：79140208】
[解] (1)选择②式，计算如下：
sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°
＝1－14＝34
.
(2)法一：三角恒等式为
sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2
α
cos(30°－α)＝34.
cos(30°－α) ＝
2＋)
2
－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2
α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34
.。