高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》专项训练及答案

【高中数学】数学《平面向量》高考知识点
一、选择题
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
【答案】B 【解析】 【分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r
，再
根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角
坐标系，
则1,12E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .
故选：B. 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v ，且||3a =v ||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ）
A ．
3
π B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b
-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
3．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r
，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r
不共线，故③错误；
对于④：a b a b +≥+r r r r
，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r
，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v
的值为（ ）
A ．22
B ．19
C ．-19
D ．-22
【答案】D 【解析】
由余弦定理可得22211
cos 216
AB BC
AC B AB BC +-==⋅，又
()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫
⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
5．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r
（ ）
A ．2133BA AC +u u
u r u u u r
B ．2133BA A
C -u u
u r u u u r
C ．1233BA AC +u u
u r u u u r
D ．4233
BA AC +u u
u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】
解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=
++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
6．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r
，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值
（ ）
A ．
34
B ．
320
C ．
316
D ．38
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r
AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定
理，即可求出λ. 【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u
r u u u r u u u r ，
所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，
由于B ，P ，D 三点共线，
所以1
414
λ+=， ∴316λ=
． 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
7．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2
2
C ．2
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求2
2
1
216y y -=，结合22
1244
y y CD =-即可求解 【详解】
如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，22221212
1212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ，
()2
22221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016
y y y y ---= 解得2
2
1
216y y -=（0舍去），所以2222
12124444
y y y y CD -=-==
故选：A 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题
8．已知向量,a b r r 满足||3a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r ，则a r 与b r
的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】D 【解析】 【分析】
由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r
，再结合向量的夹角公式，求得cos ,2
a b 〈〉=-r r
，即可求得向量a r 与b r
的夹角． 【详解】
由题意，向量,a b r r
满足||a =r
||4=r b ，
因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r
，解得12a b ⋅=-r r ，
所以cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r r
r r r r
又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r
的夹角为56
π
. 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．
9．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行
于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r
的取
值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(2,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AD 中点(,),
E a b BC 中点(,)
F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r
，从而有
2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r
，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r
求解.
【详解】
因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，
又因为2EF =
==u u u r
，
所以24AB DC EF +==u u u r u u ，
因为AB 不平行于CD ，
所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以||||4AB DC +>u u u r u u u r
.
故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
11．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+=
（ ） A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出
()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得
λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，
由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
，
则1
2
λμ+=-.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
12．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r
的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用数量积的分配律即得解.
【详解】
AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r
，
()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2
333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
13．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u
r u u u r
B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12
AB AD +u u u r u u u r
D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知
1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
14．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22
AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
131322
44AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=
u u u v u u u v （ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993
π=-+-⋅⋅⋅
229
=
.
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
16．如图，两个全等的直角边长分别为
1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A 323-+
B 323+
C 31
D 31+
【答案】B
【解析】
【分析】 建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭． )
3,0AB =u u u r ，()0,1AC =uu u r ， ∴13,12AD ⎛=+ ⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴1323
1λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴36312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
231λμ∴+=+．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
17．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r （ ）
A ．2136
a b -r r B ．1133a b +r r C ．1124a b +r r D ．1133a b -r r 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】 1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 18．设()1,a m =r ，()2,2b =r ，若()
2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．1
3- D ．-3
【答案】C
【解析】
【分析】 计算()222,4a mb m m +=+r r ，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】
()222,4a mb m m +=+r r ，
∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()
20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13m =-. 故选：C . 【点睛】 本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
19．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12- 【答案】C
【解析】
【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322
AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362
BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622
=-⨯⨯⨯=. 故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，
120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。