欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学周周清5理科试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学周周清〔5〕
一、选择题 1．f (1)=3，f (n+1)=
3
1
[3f (n)+1]，n ∈N *
，那么f (100)的值是〔〕 {}n a 中,2311,,2a a a 成等差数列,那么45
34
a a
a a ++的值是()
51-51+ C.
51-51± 3．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且
132+=
n n
T S n n ，那么5
5b a 〔〕 A ．
32B ．9
7
C ．
3120D ．
149
{}n a 各项都是负数,且22383829a a a a ++=,那么它的前10项和10S 为()
A.15
B.13
C.13-
D.15
-
5．关于x 的函数y =log 2
1〔a 2
－ax +2a 〕在［1，+∞)上为减函数，那么实数a 的取值范围是
A ．〔-∞，0〕
B ．〔1-，0〕
C ．〔0，2]
D ．〔－∞，－1〕
6．假设f 〔x 〕是偶函数，且当x ∈［0，+∞)时，f 〔x 〕=x –1，那么不等式f 〔x －1〕>1的解集是
A ．{x |1-<x <3}
B ．{x |x <1-，或者x >3}
C ．{x |x >2}
D ．{x |x >3}
7数列｛a n ｝满足a 1=4,a n+1+a n =4n+6(n ∈N*),那么a 20=() A40B42C44D46
8．函数()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，它们的定义域为[]ππ-，，且它们在[0]x π∈，上的图象如以下图所示，那么不等式
()
()
f x
g x ＞0的解集为〔〕 A ．(0)
()3
3
π
ππ-
，，
B ．()(0)33
π
π
π--
，，
C ．(0)
()4
4
π
π
π-
，，
D ．()()33
π
π
ππ--
，，
9．假设关于x 的方程21(1)10(01)x x
a a a a m
++
+=>≠，有解，那么m 的取值范围是〔〕 A ．1
[0)3
-，
B ．1[0)
(01]3
-，， C ．1
(]3
-∞-，
D ．[1)+∞，
10在数列{}n a 中，假设存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称
数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，数列{}n x 满足11(2,)n n n x x x n n +-=-≥∈N ，
假设1
21,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2021项和是〔〕
二、填空题
11数列｛a n ｝的通项公式a n =log 2()(n ∈N*),其前n 项之和为S n ，那么使S n <-5成立的正整数n 的最小值是_____
12．命题p ：11
22
k -
>；命题q ：函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ，那么p 是q 的___________________条件．(填必要不充分、充分不必要、充分必要、既不充分也不必要〕 13．数列}{n a 满足*),2(1
1
3121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==- .
假设2006=n
a ，那么=n
___.
14．假设数列{}
n a 的通项公式为)(5245251
2
2+--∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}
n a 的最大值为第x 项，最小项为
第y 项，那么x+y 等于__________________．
15、在如以下图的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列{n a }：1
1C ，0
2C ，2
2C ，13C ，04C ，33C ，24C ，15C ，0
6C ，……，那么22a =；〔用数值答题〕
2009a =。

〔用组合数m
n C 形式表示〕
三、解答题
16．〔本小题总分值是12分〕
函数()f x 对一实在数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =．
〔1〕求(0)f 的值；〔2〕当()32f x x a +<+在1
(0)2
，上恒成立时，求a 的取值范围． 17〔本小题总分值是12分〕设数列
}{n a 的前
n 项和为S n =2n 2
，
}{n b 为等比数列，且
.)(,112211b a a b b a =-=
〔Ⅰ〕求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
〔Ⅱ〕设n
n n
b a
c =
，求数列}{n c 的前n 项和T n
18．〔本小题总分值是12分〕
()f x 是定义在［－1，1］上的奇函数，且(1)1f =，假设[11]a b ∈-，，，0a b +≠时，有
()()
0f a f b a b
+>+．
〔1〕判断函数()f x 在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； 〔2〕解不等式：11
()(
)21
f x f x +<-； 〔3〕假设2
()21f x m pm ≤-+对所有[11]x ∈-，，[11]p ∈-，〔p 是常数〕恒成立，务实数m 的取值范围． .
19.〔本小题总分值是12分〕函数
1
()()(1)2
f x x R f x f x ∈+-=
对任意都有 〔1〕求
111()()()(*)2n f f f n N n n
-+∈和的值； 〔2〕数列{a n }满足12
1
(0)()()(
)(1),(*)n
n a f f f f f n N n n
n
-=+++
++∈数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；
〔3〕222
2
123416,32,41n
n n n n b S T b b b b a n
=
=-=+++
+-，试比较T n 与S n 的大小.
20、〔本小题总分值是13分〕设数列{}n a 满足10a =，且11
4n n a a +=+
+．
(Ⅰ)求
2a 的值；
n b =，试判断数列{}n b 是否为等差数列？并求数列{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设123
21111()n n n n
g n b b b b +++=
++++，且()()g n m m R ≥∈对任意*
1,n n N >∈都成
立，求m 的最大值．
21．〔本小题总分值是14分〕分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足118a =，1436b =．
⑴假设1d =18，且存在正整数m ，使得2
1445m m a b +=-，求证：2108d >；
⑵假设0k
k a b ==，且数列1a ，2a ，…，k a ，1k b +，2k b +，…，14b 的前n 项和n S 满足142k S S =，
求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； ⑶在⑵的条件下，令n a n
c a =，n b n
d a =，0a >，且1a ≠，问不等式1n n c d +≤n n c d +是否对一切正
整数n 恒成立？请说明理由．
周周清〔5〕答案
DBDDDBBBAD 11、S n =log 2(),那么n ≥6312、充分不必要；13、4016； 14、3；15、21，12
112
C
16．解：〔1〕令y =0，x =1代入式子f 〔x +y 〕－f 〔y 〕=〔x +2y +1〕x
得f 〔1〕－f 〔0〕=2，
2分
因f 〔1〕=0所以f 〔0〕=–2
4分
〔2〕在f 〔x +y 〕－f 〔y 〕=〔x +2y +1〕x 中令y =0得f 〔x 〕+2=〔x +1〕x
所以f 〔x 〕=x 2
+x –2．
6分
由f 〔x 〕+3<2x +a 得x 2
–x +1－a <0 因g 〔x 〕=x 2
–x +1－a 在〔0，
1
2
〕上是减函数， 9分 要x 2
–x +1–a <0恒成立，只需g 〔0〕≤0即可，即1–a ≤0，∴a ≥1 12分
17〔Ⅰ〕当;2,111===S a n
时
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n
公差是即的等差数列.
设{b n }的通项公式为.4
1
,4,,11=∴==q d b qd b q 则
故.42}{,4
121
1
11---=⨯
-=n n n n n n
b b q b b 的通项公式为即
〔II 〕,4)12(422
411
---=-==
n n n
n n
n n b a c
两式相减得
18．解：〔1〕函数()f x 在［–1，1］上是增函数
设1211x x -≤<≤
∵()f x 是定义在［–1，1］上的奇函数，∴f 〔x 2〕－f 〔x 1〕=f 〔x 2〕+f 〔–x 1〕． 又x 1<x 2，∴x 2+〔–x 1〕≠0， 由题设有
2121()()
()
f x f x x x +-+-＞0，
∵x 2+〔–x 1〕=x 2－x 1>0，∴f 〔x 2〕+f 〔–x 1〕>0，即f 〔x 1〕<f 〔x 2〕， 所以函数f 〔x 〕在［–1，1］上是增函数． 4分
〔2〕不等式11()()21f x f x +<-13111222
11120131111221x x x x x x x x x ⎧
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎪⎪⎪⎪⎪
⇔-≤
≤⇔≥≤⎨⎨-⎪⎪⎪⎪<-<<+<⎪⎪⎩
-⎩
或或 3
12
x -
≤<-解得 8分 〔3〕由〔1〕知max ()(1)1f x f ==，∴2
()21[1
1]f x m pm x ≤-+∈-对任意，恒成立 只需2121[1
1]m pm p ≤-+∈-对，恒成立，即2
20[11]m pm p -≥∈-对，恒成立 设2
2
2(1)020()2220(1)020
g m m g p m mp m m m g m m ⎧-≥+≥⎧⎪=-⇔≤-≥=⎨
⎨≥-≥⎪⎩⎩，则解得或或 ∴m 的取值范围是(2][2){0}-∞-+∞，，
12分
19〔1〕.4
32141,24141,0211=+=∴+++
==+a a a a a n n n 且 ………………2分 22
112)2
1(:24141,41,41+=+++=-=∴=+++n n n n n n n n n b b a a a b a b a 得到代入
，
.2
1
}{.2121)1(21n b b n n b n n n ==⋅-+=
的通项公式为即数列………………7分 〔3〕要使)()
(R m m n g ∈≥对任意].)([,,1min *n g m N n n ≤∈>只须都成立
123
2min min 111
11111
()2(),123
21111
(1)()2(
)0,921221(21)(1)
117
(),[()](2)2(),
11346
7
[()].
126n n n n g n b b b b n n n n
g n g n n n n n n g n g n g m g n +++=
++++
=++++
+++∴+-=+-=>++++⋅+∴∴==⋅+=∴≤=分是增的分分
.6
7
的最大值为m ∴……………………………………………………13分。

20.解：(1)f (x )对任意2
1
)1()(=-+∈x f x f R x 都有
令2
1)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有
〔2〕解：数列{a n }是等差数列f (x )对任意x ∈R 都有,2
1
)1()(=-+x f x f
那么令
2
1)()(=-+=
n k n f n k f n k x 时有 1121
(0)()()()(1)
121
(1)()()()(0)
1111
2[(0)(1)][()()][()()][(1)(0)]
11
2(*)(*)
24(1)111
(*)
444
n n n n n n n n a f f f f f n n n n n a f f f f f n n n
n n a f f f f f f f f n n n n
n n a n N a n N n n a a n N +-=+++++--∴=+++++--∴=++++++++++∴=∈∴=∈+++∴-=-=∈∴{
a n }是等差数列
〔3〕解：由〔2〕有*)(4
1
44N n n
a b n n
∈=
-=
∴T n ≤S n 该题也可用数学归纳法做。

21．解：〔1〕依题意，45)1414(36]
18)1(18[22
--++=⨯-+d m m ，
即
9
)18(22-=md m ，
-----------------------------------------------------------------2′
即10891829
18222=⨯≥+
=m
m d ；-------------------------------------------4′
等号成立的条件为m m 9182
=，即6
1=m ，
*N m ∈ ，∴等号不成立，∴原命题成立---------------------------5
〔2〕由k S S 214=得：k k S S S -=14，即：
)114(2
362018+-⨯+=⨯+k k ， 那么)15(189k k
-⨯=，得10=k ----------------------------------7′
291801-=-=
d ，910
140
362=--=d ，-----------------------------9′
那么202+-=n a n
，909-=n b n ；-------------------------------10
〔3〕在〔2〕的条件下，n a n
a c =，n
b n a d =，
要使1+n n d c ≤n n d c +，即要满足)1)(1(--n n d c ≤0，-------------12
当1>a
时，n n a c 220-=，数列}{n c 单调减；909-=n n a d 单调增，
当正整数9≤n 时，01>-n c ，01<-n d ，0)1)(1(<--n n d c ； 当正整数11≥n 时，01<-n
c ，01>-n
d ，0)1)(1(<--n n d c ； 当正整数10=n 时，01=-n c ，01=-n d ，0)1)(1(=--n n d c ，
那么不等式1+n
n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立；-------------14′
同理，当10<<
a 时，也有不等式1+n n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立．
综上所述，不等式1+n
n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立．-------------15′
20．〔16分〕数列｛n a ｝中，11122
n n a n a a +=-、点（、）
在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. ⑴令{}是等比数列；求证数列n n n n
b a a b ,11--=+⑵求数列{}的通项；n a
⑶设分别为数列
、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n
n S T n λ+⎧⎫⎨
⎬⎩
⎭
为等差数
列？假设存在，试求出λ.假设不存在,那么说明理由。

(15)解〔I 〕a 2＝a 1+
41=a +41，a 3
=21a 2
=21a +81
； 〔II 〕∵a 4
=a 3
+41=21a +83,所以a 5
=21a 4
=41a +3
16,
所以b 1
=a 1
－41=a －41,b 2
=a 3
－41=21(a －41),b 3
=a 5
－41=41(a －
4
1
),
猜想：{b n }是公比为2
1
的等比数列·
证明如下： 因为b n +1＝a 2n +1－
41=21a 2
n －41=21(a 2n －1
－41)=2
1
b n ,(n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41,公比为2
1
的等比数列·
〔III 〕11121(1)
12lim()lim
2()1141122
n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---
20．解：⑴由得111
,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424
a a a =--=--=-
又11,n
n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=-- ∴==
2
1121
11
2211111=----=---+-++++++n n n n n n n n a a a a a a n a n a
{}
n b ∴是
以
3
4
-
为首项，以
12
为公比的等比数
列.-----------------------------------------------------4′ ⑵
由
⑴
知
，
13131
(),4222
n n n b -=-⨯=-⨯----------------------------------------------------------------6
′ 将
以
上
各
式
相
加
得
：
1213111
(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+--------------------------------8′
3
2.2
n n a n ∴=
+----------------------------------------------------------------------------------10′ ⑶存在2λ
=，使数列{
}n n
S T n
λ+12′ 由⑴⑵知，22n n a b n +=-(1)
222
n n n S T n +∴+=
- 又
12131(1)
313342(1)1222212
n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+-，
--------------------------------14′
13233
()222
n n n S T n n n λλ++--=+-+， ∴
当且仅当
2
λ=时，数列
{
}n n
S T n
λ+是等差数
列.-----------------------------------------------16′ 15．〔14分〕在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，252825351=++a a a a a a ，
且2是3a 与5a 的等比中项， ⑴求数列}{n a 的通项公式；
⑵设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当
n
S S S n +++ 212
1最大时，求n 的值.
15．解：〔1〕由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=得355a a +=
因为453=a a 得354,1a a ==-----------------------------------------------4′
求得1
2
q =
所
以
52n
n a -=----------------------------------------------------------------------------------
-----------8′ 〔2〕2log 5n
n b a n ==------------------------------------------------------10′
所以2
92n n n S -=
----------------------------------------------------------11′
92
n S n n -=---------------------------------------------------------------12′
所以
n
S S S n +++ 212
1最大为89n =或者------------------------------------14′
21.解：(1)由x
x x f 21)(12
+≤
≤,令1=x ,得1)(1≤≤x f ,∴1)1(=f .
(2)由
0)1(=-f ,1)1(=f ,得⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=⇒⎩⎨⎧=++=+--212
1
10b a c c b a c b a . 当0≥x 时,222
2122212121)(1x b x ax x
x x b ax x x x f +≤++⇔+≤++⇔+≤≤ ⎩
⎨⎧≤-+-≥-+-⇔⎩⎨⎧≤-++-≥+-⇔02)12(0)21(2012)12(0
22
222a x x a a x ax b x x a b x ax
由①式0≤a 显然不成立,∴0>a ,
∵)21(2)
(2a x ax x Q -+-=的图象的对称轴为041
>=
a
x , ∴Δ=0)21(81≤--a a ,即0)14(2≤-a ,
∴41=
a
,从而41=b ,而此时②式为0)1(2
≥-x , ∴2
1
,41===c b a .
(3)2
1
)1(41421414)(+-+=-++=x m x x m x x x g ,
设2021≤<<
x x ,那么0)1()(41
)()(2
12
12121>---=-x x m x x x x x g x g , ∵021<-x x ,021>x x ,∴0)1(21<--m x x ,即211x x m >-恒成立,
而4021<<
x x ,∴41≥-m ,∴3-≤m .
22．〔本小题总分值是13分〕
①
函数2()x c f x ax b +=+为奇函数，(1)(3)f f <，且不等式30()2f x ≤≤的解集是[21]--
，[24]，． 〔1〕求a ，b ，c ．
〔2〕是否存在实数m 使不等式2
3)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由．
22．解：〔1〕∵为奇函数，b
ax c x x f ++=2)(∴22()0.()x c x c b a x b ax b -++=-=-++，解得 1分 ∵30()2f x ≤≤的解集中包含2和－2，∴(2)0(2)(2)0f f f ≥⎧⎨--≥⎩
＝ 即得,220)2(2a
c f +==所以4-＝c 2分 ∵35(1)(3)(1),(3),3f f f f a a <=-=-，∴.0353><-a a
a 所以， 3分 下证：当a>0时，在〔0，+∞〕上ax
x x f 4)(2-=是增函数。

在〔0，+∞〕内任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么1212121212
4414()()()(1)0x x f x f x x x a ax a ax a x x -=--+=-+< 即是增函数）上时，在（当ax
x x f a x f x f 4)(,00),()(221-=+∞>∴< 5分 所以，2344(2)0(4) 2.24f f a a
-===＝，，解得 综上所述：x
x x f c b a 24)(,4,0,22-=-=== 6分 〔2〕∵为奇函数，x x x f 24)(2-=∴x
x x f 24)(2-=在〔－∞，0〕上也是增函数。

7分 又,1sin 23-≤+-≤-θ∴,2
3)1()sin 2()3(=-≤+-≤-f f f θ而,23232≥+m 所以，m 为任意实数时，不等式成立对一切R m f ∈+≤+-θθ2
3)sin 2(2 12分 (15)设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21
为奇数
4n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩, 记2114
n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． 〔I 〕求a 2，a 3；
〔II 〕判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 〔III 〕求123lim()n n b b b b →∞++++
18．〔15分〕分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足118a =，1436b =． ⑴假设1d =18，且存在正整数m ，使得21445m m a b +=-，求证：2108d >； ⑵假设0k k a b ==，且数列1a ，2a ，…，k a ，1k b +，2k b +，…，14b 的前n 项和n S 满足142k S S =，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； ⑶在⑵的条件下，令n a n c a =，n b n d a =，0a >，且1a ≠，问不等式1n n c d +≤n n c d +是否对一切正整数n 恒成立？请说明理由．。