高中物理 第三章 牛顿运动定律 第三节 牛顿第二定律教案 教科版必修1-教科版高中必修1物理教案

第三节牛顿第二定律
知识点一牛顿第二定律
(1)内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同．
(2)表达式F＝ma.
根据你的生活经验，思考下列现象的原因：
(1)神舟飞船返回地面时为什么要打开降落伞？
(2)赛车开出起跑线的瞬间为什么速度变化很快？
提示：(1)神舟飞船打开降落伞可以增大下落时的制动力，从而减小落地时与地面的撞击力．
(2)赛车启动的瞬间发动机都开足了马力，使赛车获得了较大的加速度，因此速度变化很快．
知识点二力的单位
(1)1 N的含义：当物体的质量是1_kg，在某力的作用下它获得的加速度是1_m/s2时，那么这个力就是1牛顿，用符号N表示．
(2)比例系数k的含义：根据F＝kma知，k＝F
ma
，因此k在数值上等于使单位质量的物体产生单位加速度的力的大小．k的大小由F、m、a三者的单位共同决定，三者取不同的单位
时k的数值不一样，在国际单位制中，k＝1.由此可知，在应用公式F＝ma进行计算时，F、m、a的单位必须统一为国际单位制中相应的单位．
雅典奥运会时中国飞人——X翔在决赛时，将自己身上一切戴的东西像手表、项链等都摘了下来，穿最轻的跑鞋．这样做的科学道理在哪里？
提示：因为物体质量越小，运动状态越容易改变，也就是说在力相同的情况下，物体获得的加速度就越大．
知识点三基本量、基本单位和导出单位
(1)物理学的关系式在确定了物理量之间的关系的同时，也确定了物理量的单位间的关系．
(2)基本量：被选定的利用物理量之间的关系推导出其他物理量的单位．
(3)基本单位：根据物理量运算中的需要而选定的几个基本物理量的单位．
(4)导出单位：根据物理公式中其他物理量和基本物理量的关系，推导出的其他物理量的单位．导出物理量的单位由基本物理量的单位决定．
知识点四单位制和国际单位制
(1)单位制：基本单位和导出单位一起组成了单位制．单位制实际上就是单位的规定．
(2)国际单位制：采用不同的物理量作为基本量，或者采用相同的基本量，若采用的基本单位不同，导出单位也就不同，从而产生不同的单位制．为此国际计量大会制定了一种国际通用的，包括一切计量领域的单位制，叫国际单位制(SI)．
(3)在力学X围内，国际单位制中的基本量为：长度、质量、时间，相应的基本单位为米、千克、秒．
我们知道秦始皇统一中国后的伟大贡献之一就是统一了度量衡，试结合你所了解的知识解释单位统一的意义何在？
提示：如果单位不统一，或者说不同的地方对单位有不同的规定，那对于我们研究问题很不方便，以长度为例：欧洲曾以手掌的宽度或长度作为长度的计量单位，称为掌尺．在英国，1掌尺＝7.62 cm；在荷兰，1掌尺＝10 cm；英尺是8世纪英王的脚长，1英尺＝0.304 8 m．10世纪时英王埃德加把自己大拇指关节间的距离定为1英寸，1英寸＝2.54 cm.所以，为了便于交流合作，有必要对单位进行统一．
考点一牛顿第二定律的理解
牛顿第二定律揭示了加速度与力及质量的关系，着重解决了加速度的大小、方向和决定因素等问题．对于牛顿第二定律，应从以下几方面加深理解：
同体性
加速度、合外力和质量是对应于同一个物体的，所以分析问题时一定要确定好研
究对象，把研究对象全过程的受力情况都搞清楚
因果性
只要物体所受合力不为0(无论合力多么小)，物体就会获得加速度，即力是产生
加速度的原因．物体的加速度是力这一外因和质量这一内因共同的结果
矢量性F＝ma是矢量式，加速度与合外力都是矢量．物体的加速度的方向由它所受的合外力的方向决定，且总与合外力的方向相同(同向性)，而物体的速度方向与合外力的方向之间则没有这种关系．应用时应规定正方向，凡是与正方向相同的力和
加速度取正值，反之取负值，在一般情况下取加速度的方向为正方向
瞬时性 牛顿第二定律表示的是力的瞬时作用规律．物体在某一时刻加速度的大小和方向
是由该物体在这一时刻所受到的合外力的大小和方向决定的．当物体所受到的合
外力发生变化时，它的加速度随即也要发生变化，F ＝ma 对运动过程的每一瞬时
都成立．加速度与力是同一时刻的对应量，即同时产生(虽有因果关系，但却不分
先后)、同时变化、同时消失
统一性 牛顿第二定律是实验定律，通过实验得出F ∝ma ，写成等式F ＝kma ，其中k 为比
例系数．若使k ＝1，那么就有F ＝ma .力、质量、加速度的单位必须统一使用同一
单位制(通常使用国际单位制)
独立性 作用于物体上的每一个力各自产生的加速度都遵从牛顿第二定律，而物体的实际
加速度则是每个力产生的加速度的矢量和，分力和加速度在各个方向上的分量关
系也遵从牛顿第二定律，即：F x ＝ma x ，F y ＝ma y
相对性
加速度a 是相对于地面的(或相对于地面静止和匀速运动的物体)，即相对于惯性
参考系的，牛顿第二定律仅适用于惯性参考系
局限性
牛顿第二定律中只能解决物体的低速运动问题，不能解决物体的高速运动问题，
只适用于宏观物体，不适用于微观粒子
【例1】 (多选)下列对牛顿第二定律的表达式F ＝ma 及其变形公式的理解，正确的是
( )
A ．由F ＝ma 可知，物体所受的合力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比
B ．由m ＝F a 可知，物体的质量与其所受的合力成正比，与其运动的加速度成反比
C ．由a ＝F m 可知，物体的加速度与其所受的合力成正比，与其质量成反比
D ．由m ＝F
a
可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受的合力而求出
解答本题时应把握以下两点：
(1)物体的加速度决定于物体所受的合力和物体的质量．
(2)物体的质量决定于物体本身．
【解析】 牛顿第二定律的表达式F ＝ma 表明了各物理量之间的数量关系，即已知两个量，可以求第三个量；物体的质量由物体本身决定，与受力无关；物体所受的合力，是由和它相互作用的物体共同产生的，与物体的质量和加速度无关；而由a ＝F m 可知，物体的加速度与所受合外力成正比，与其质量成反比．综上分析知，选项A 、B 错误，C 、D 正确．
【答案】 CD
总结提能 a ＝F m 是加速度的决定式，故a 与F 成正比，与m 成反比，由其变形公式m ＝F a
可以求解物体的质量，但不能认为m 与F 成正比，与a 成反比．
一物体在多个力的作用下处于静止状态，如果仅使其中某个力的大小逐渐减小到零，然后又逐渐从零恢复到原来大小，在上述过程中，此力的方向一直保持不变，那么如图所示的v －t 图像中，可能符合此过程中物体运动情况的是( D )
解析：其中的一个力逐渐减小到零的过程中，物体受到的合力逐渐增大，则其加速度逐渐增大，速度时间图像中图线的斜率表示加速度，所以在力逐渐减小到零的过程中，图线的斜率的绝对值逐渐增大，当这个力又从零恢复到原来大小时，合力逐渐减小，加速度逐渐减小，图线斜率的绝对值逐渐减小，只有D 符合题意．
考点二 正交分解法在牛顿第二定律解题中的应用)
正交分解法是把一个矢量分解在两个互相垂直的坐标轴上的方法，是一种常用的矢量运算方法．其实质是将复杂的矢量运算转化为简单的代数运算，从而简捷方便地解题，是解牛顿第二定律问题的基本方法．物体在受到三个或三个以上的力的作用时，一般都用正交分解法．
表示方法⎩⎪⎨⎪⎧ F x ＝F x 1＋F x 2＋F x 3＋…＝ma x F y ＝F y 1＋F y 2＋F y 3＋…＝ma y
为减少矢量的分解，在建立正交坐标系时，应使尽可能多的矢量落在两个坐标轴上，因此，确定x 轴正方向有两种方法．
(1)分解力而不分解加速度：通常以加速度的方向为x 轴的正方向，建立正交坐标系，将物体所受的各个力分解到x 轴和y 轴上，分别得x 轴和y 轴上的合力F x 和F y ，根据力的独
立作用原理列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ F x ＝ma ，F y ＝0.
(2)分解加速度而不分解力：若物体受几个相互垂直的力的作用，应用牛顿定律求解时，如果仍分解力就比较烦琐，所以在建立正交坐标系时，可根据物体的受力情况，以某个力的方向为x 轴的正方向，使尽可能多的力落在坐标轴上而分解加速度a ，得a x 和a y ，根据牛顿第
二定律列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ F x ＝ma x ，F y ＝ma y .
温馨提示：正交分解建立坐标系的原则：
(1)一般情况：以加速度的方向为一个坐标轴的正方向，垂直于加速度的方向为另一坐标轴的方向． (2)特殊情况：所有力都在两个互相垂直的方向上，而加速度不在这两个方向上，建立坐标系时应使各个力都在坐标轴上，即分解加速度而不分解力．
【例2】 质量为m 的木块，以一定的初速度沿倾角为θ的斜面向上滑动，斜面静止不动，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如图所示．
(1)求向上滑动时木块的加速度的大小和方向．
(2)若此木块滑到最大高度后，能沿斜面下滑，求下滑时木块的加速度的大小和方向．解答本题时可按以下思路进行分析：
选木块为研究对象⇨
对木块进行
受力分析
⇨
沿加速度方向
建立坐标系
⇨
根据牛顿第二
定律列方程
【解析】(1)以木块为研究对象，因木块受到三个力的作用，故采用正交分解法求解，建立坐标系时，以加速度的方向为x轴的正方向．木块上滑时其受力分析如图甲所示，根据题意，加速度的方向沿斜面向下，将各个力沿斜面和垂直于斜面方向正交分解．根据牛顿第二定律有
mg sinθ＋F f＝ma，F N－mg cosθ＝0
又F f＝μF N
联立解得a＝g(sinθ＋μcosθ)，方向沿斜面向下．
(2)木块下滑时其受力分析如图乙所示，由题意知，木块的加速度方向沿斜面向下．根据牛顿第二定律有
mg sinθ－F f′＝ma′，F N′－mg cosθ＝0，
又F f′＝μF N′
联立解得a′＝g(sinθ－μcosθ)，方向沿斜面向下．
【答案】(1)g(sinθ＋μcosθ)，方向沿斜面向下
(2)g(sinθ－μcosθ)，方向沿斜面向下
总结提能 1.当物体只受两个力的作用产生加速度时，一般采用平行四边形定则求合力，合力方向就是加速度的方向．
2．当物体受到两个以上的力作用产生加速度时，一般采用正交分解法求解，建立坐标系的原则是让尽可能多的矢量落在坐标轴上．因此，根据具体情况可以分解力，也可以分解加速度．在分解力时，往往使加速度在某一坐标轴上，另一坐标轴上的合力为零．
如图所示，自动扶梯与水平面夹角为θ，上面站着质量为m的人，当自动扶梯以加速度a加速向上运动时，求扶梯对人的弹力F N和扶梯对人的摩擦力F f.
答案：F N＝mg＋ma sinθ，F f＝ma cosθ
解析：方法1：人受力如图甲所示，建立图示的坐标系，根据牛顿第二定律得：
x方向：F N sinθ＋F f cosθ－mg sinθ＝ma①
y方向：F N cosθ－mg cosθ－F f sinθ＝0 ②
由①②得：F N＝mg＋ma sinθ，F f＝ma cosθ
方法2：如图乙建立直角坐标系，由于人的加速度方向是沿扶梯向上的，这样建立直角坐标系后，在x轴方向和y轴方向上各有一个加速度的分量，其中x轴方向的加速度分量a2＝a cosθ，y轴方向的加速度分量a1＝a sinθ.
根据牛顿第二定律知：x轴方向：F f＝ma2＝ma cosθ，
y轴方向：F N－mg＝ma1＝ma sinθ，F N＝mg＋ma sinθ.
考点三求瞬时加速度
在应用牛顿第二定律求解物体的瞬时加速度时，经常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧和橡皮绳这些常见的力学模型．全面准确地理解它们的特点，可帮助我们灵活正确地分析问题．这些模型的共同点是：都是质量可忽略的理想化模型，都会发生形变而产生弹力，同一时刻其内部弹力处处相等且与运动状态无关．这些模型的不同点是：
模型特点
轻绳只能产生拉力，且方向一定沿着绳子背离受力物体，不能承受压力；认为绳子不可伸长，即无论绳子所受拉力多大，长度不变(只要不被拉断)；绳子的弹力可以发生突变——瞬时产生，瞬时改变，瞬时消失
轻杆
既能承受拉力，又可承受压力，施力或受力方向不一定沿着杆的轴向；认为杆既
不可伸长，也不可缩短，杆的弹力也可以发生突变
轻弹簧既能承受拉力，又可承受压力，力的方向沿弹簧的轴线；受力后发生较大形变(弹性限度内)，弹簧的长度既可变长，又可变短，遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故弹簧的弹力不能突变，在极短时间内可认为弹力不变；当弹簧被剪断时，弹力立即消失
橡皮条只能受拉力，不能承受压力；其长度只能变长，不能变短，同样遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故橡皮条的弹力同样不能突变，在极短时间内可认为弹力不变；当橡皮条被剪断时，弹力立即消失
【例3】如图所示，质量分别为m A和m B的A、B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态．如果将悬挂A球的细线剪断，则剪断瞬间A、B两球的加速度各是
多少？
解答本题的基本思路为： (1)分析悬挂A 球的细线剪断前A 球和B 球的受力情况；
(2)分析剪断细线瞬间有哪些力发生了变化；
(3)分析剪断细线后A 球和B 球的受力情况；
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
【解析】 由于轻弹簧两端连着小球，小球若要发生一段位移，需要一定时间，故剪断细线瞬间，弹簧的弹力与剪断前相同．
先分析剪断细线前A 球和B 球的受力情况，如图所示，A 球受到重力m A g 、弹簧的弹力F 1和细线的拉力F 2作用，B 球受到重力m B g 、弹簧的弹力F 1′作用，且F 1′＝F 1＝m B g .
剪断细线瞬间，F 2消失，但弹簧尚未收缩，仍保持原来的形变，即F 1、F 1′不变，故B 球所受的力不变，所以此时a B ＝0，而A 球的加速度为a A ＝
F 1＋m A g m A ＝m B ＋m A g m A ，方向竖直向下．
【答案】 a A ＝m B ＋m A g m A
，方向竖直向下 a B ＝0
总结提能 牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失．分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化．
注意以下两种基本模型．
(1)刚性绳模型(细钢丝、细线等)：这类形变的发生和变化过程时间极短，在物体的受力情况改变(如某个力消失)的瞬间，其形变可随之突变．
(2)轻弹簧模型(轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等)：此类形变发生改变需要的时间较长，在瞬时问题中，其弹力的大小可看成是不变的．
如图所示，轻弹簧上端与一质量为m 的木块1相连，下端与另一质量为M 的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a 1、a 2.重力加速度大小为g ，则有( C )
A ．a 1＝0，a 2＝g
B ．a 1＝g ，a 2＝g
C ．a 1＝0，a 2＝m ＋M
M g D ．a 1＝g ，a 2＝
m ＋M
M
g 解析：本题考查牛顿定律的瞬时性和连接体问题，突破点是弄清楚在抽出木板的瞬间弹簧的形变量未变，弹力不变．抽出木板的瞬间，弹力未变，故木块1所受合力仍为零，其加速度为a 1F 1＝mg 和重力Mg ，根据牛顿第二定律得：a 2＝
F 1＋Mg M ＝m ＋M
M
g .因此C 项正确．
考点四单位制
(1)单位制
基本单位和导出单位组成单位制，例如国际单位制．
(2)基本单位
基本单位是根据物理量运算中的需要而选定的几个基本物理量的单位．力学中选定长度、质量和时间这三个基本物理量的单位作为基本单位．
质量：克、千克等；
长度：厘米、米、千米等；
时间：秒、分、小时等．
(3)导出单位
由基本物理量根据物理关系式推导出来的物理量的单位．例如，速度的单位米每秒、力的单位牛顿(千克米每二次方秒)．
(4)国际单位制
它是一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制．它选择物理学中的七个物理量的单位作为基本单位，并由此导出了其他物理量的单位．
国际单位制中的基本单位：
特别提示(1)导出单位由基本单位通过物理量间的关系式推导而来．(2)基本单位全是国际单位制中单位时，由此推出的导出单位一定是国际单位制中单位．(3)基本单位中用常用单位的，由此推出的导出单位一定是常用单位．
【例4】现有下列物理量或单位，按要求填空．
①密度②米/秒③牛顿④加速度⑤质量
⑥秒⑦厘米⑧长度⑨时间⑩千克
(1)属于物理量的有________；
(2)在国际单位制中，作为基本量的物理量有________；
(3)在国际单位制中，属于基本单位的有________，属于导出单位的有________．
解答本题时可按以下思路进行分析：
先区分物理量和单位⇨
再区分基本单
位和导出单位
⇨
最后判断是否
属于国际单位
【解析】属于物理量的有①④⑤⑧⑨，属于单位的有②③⑥⑦⑩；
在国际单位制中作为基本量的物理量有⑤⑧⑨；
在国际单位制中属于基本单位的有⑥⑩，属于导出单位的有②③；
⑦属于基本物理量的常用单位．
【答案】(1)①④⑤⑧⑨(2)⑤⑧⑨(3)⑥⑩②③
总结提能在国际单位制中共有七个物理量的单位被选为基本单位，其中，属于力学部分的有长度的单位(m)、质量的单位(kg)、时间的单位(s)，其他物理量的单位(导出单位)都由基本单位导出．国际单位制只是诸多单位制中的一种，在实际中还存在其他的单位制．
(多选)关于力学单位制，下列说法正确的是( BD )
A．kg、m/s、N是导出单位
B．kg、m、s是基本单位
C．在国际单位制中，质量的单位可以是kg，也可以是g
D．只有在国际单位制中，牛顿第二定律的表达式才是F＝ma
解析：力学中的基本物理量只有三个，即质量、时间和长度，它们的单位就是基本单位，而其他物理量的单位都是由这三个基本物理量的单位推导出来的，如N就是导出单位，A错误，B正确；在国际单位制中，质量的单位只能是kg，C错误；只有在所有物理量都采用国际单位制时F＝ma才能成立，D正确．
考点五单位制的应用
(1)简化计算过程的单位表达
在解题计算时，已知量均采用国际单位制，计算过程中不用写出各个量的单位，只要在式子末尾写出所求量的单位即可．
(2)检验结果的正误
物理公式既反映了各物理量间的数量关系，同时也确定了各物理量的单位关系．因此，在解题中可用单位制来粗略判断结果是否正确，如果单位制不对，结果一定错误．
(3)推导单位
物理公式在确定各物理量的数量关系时，同时也确定了各物理量的单位关系，所以我们可以根据物理公式中物理量间的关系推导出物理量的单位．
特别提醒 (1)带单位的数值统一成国际单位制单位后，如不方便书写，可用科学计数法表示，如：1 μm＝10－6
m.
(2)比较某个物理量不同值的大小时，必须先把它们的单位统一，再根据数值来比较．
【例5】 一列质量为103
t 的列车，机车牵引力为3.5×105
N ，运动中所受阻力为车重的0.01倍．列车由静止开始做匀加速直线运动，速度变为180 km/h 需多长时间？此过程中前进了多远距离？(g 取10 m/s 2)
【解析】 列车总质量m ＝103
t ＝106
kg ，总重力G ＝mg ＝106
×10 N＝107
N ，运动中所受阻力FG ＝0.01×107
N ＝1×105
N ，
设列车匀加速运动的加速度为a ，由牛顿第二定律得F 牵－F ＝ma ，则列车的加速度为a
＝F 牵－F m ＝3.5×105－1×10510
6
m/s 2＝0.25 m/s 2，列车由静止加速到v ＝180 km/h ＝50 m/s 所用时间为t ＝
v －v 0a ＝50－0
0.25
s ＝200 s. 此过程中列车前进的距离为x ＝v 2－v 202a ＝502
－02×0.25
m ＝5×103
m ＝5 km.
【答案】 200 s 5 km
总结提能 通过本例，初步认识单位制在物理计算中的作用，物理计算中，我们一般采用国际单位制中的单位，代入数据时应把各量的单位换算为国际单位制中的单位，计算的结果也是国际单位制的相应单位．在统一已知量的单位后，就不必一一写出各个量的单位，只在运算结果后写出正确单位就可以了，或再换算成题目要求的单位．
一物体在10 N 恒力作用下，产生50 cm/s 2
的加速度，以下在求物体质量的计算中，运算正确、简捷而又规X 的是( C )
A ．m ＝F a ＝10
50
kg ＝0.2 kg
B ．m ＝F a ＝10 N 0.5 m/s 2＝20kg·m/s 2
m/s
2
＝20 kg C ．m ＝F a ＝10
0.5 kg ＝20 kg
D ．m ＝F a ＝10
0.5
＝20 kg
解析：解答本题应注意以下两点：(1)各物理量的单位统一成国际单位；(2)省去过程中单位的代入，只在数字后呈现出正确单位．A 中单位没有统一；B 虽然正确，但太繁琐；C 既正确又简捷；D 在中间过程中缺少单位．
1．(多选)在牛顿第二定律的数学表达式F ＝kma 中，有关比例系数k 的说法，正确的是( BC )
A ．k 的数值由F 、m 、a 的数值决定
B ．k 的数值由F 、m 、a 的单位决定
C ．在国际单位制中，k ＝1
D ．在任何情况下k 都等于1
解析：物理公式在确定物理量数量关系的同时，也确定了物理量的单位．在F ＝kma 中，只有“m ”的单位取kg ，“a ”的单位取m/s 2
，“F ”的单位取N 时，才有k ＝1，故排除A 、D ，选项B 、C 正确．
2．静止在光滑水平面上的物体，受到一个水平拉力，在力刚开始作用的瞬间，下列说法中正确的是( B )
A ．物体立即获得加速度和速度
B ．物体立即获得加速度，但速度仍为零
C ．物体立即获得速度，但加速度仍为零
D ．物体的速度和加速度均为零
解析：由牛顿第二定律的同时性可知，力作用的瞬时即可获得加速度，但速度仍为零． 3．如图所示，图乙中用力F 取代图甲中的m ，且F ＝mg ，其余器材完全相同，不计摩擦，图甲中小车的加速度为a 1，图乙中小车的加速度为a 2，则( C )
A ．a 1＝a 2
B ．a 1>a 2
C ．a 1<a 2
D ．无法判断
解析：本题易错之处是误认为题图甲、乙的加速度相等．题图甲中，将两者看做一个整体，对整体可得mg ＝(M ＋m )a 1，解得a 1＝
mg
M ＋m
，题图乙中只有一个受力物体，故根据牛顿第二定律可得F ＝mg ＝Ma 2，解得a 2＝mg
M
，故有a 1<a 2，C 正确．
4．如图所示，质量为4 kg 的物体静止于光滑的水平面上，若物体受到大小为20 N ，与水平方向成30°角斜向上的拉力F 作用时沿水平面做匀加速运动，求物体的加速度的大小和方向．(g 取10 m/s 2
)
答案：4.33 m/s 2
，方向水平向右 解析：对物体进行受力分析，如图所示．
观察力的特点，要求合力，可将力F 正交分解，则 在水平方向上有：F x ＝F cos θ； 在竖直方向上有：F y ＝F N ＋F sin θ－G ；
由牛顿第二定律得F x ＝ma x ＝ma ，F y ＝ma y ＝0，所以F cos θ＝ma ， 以上各式代入数据可解得
物体的加速度a ≈4.33 m/s 2
，方向水平向右．
5．雨滴在空气中下落，当速度比较大的时候，它受到的空气阻力与其速度的二次方成正比，与其横截面积成正比，即F f ＝kSv 2
，则比例系数k 的单位是kg/m 3
.
解析：将题给公式变形，得比例系数k ＝
F f
Sv 2
.采用国际单位制，式中F f 的单位为N ，即kg·m/s 2
，S 的单位为m 2
，速度的二次方的单位可写为(m/s)2
.将这些单位代入上式得kg·m/s
2
m 2·m 2/s 2
＝kg m
3，即比例系数k 的单位为kg/m 3.
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——思想方法系列十六
量纲检验法
开讲啦 一个物理量可由几个基本物理量组成，它与基本物理量间的关系式为量纲
式，由量纲式也就确定了这个物理量的
单位．如速度的定义式为v ＝x t
，说明了速度的量纲式为[L 1T －1
](注：量纲式均由大写字
母表示)，加速度的定义式为a ＝
v －v 0t
，说明了加速度的量纲式为[L 1T －2
]．而对力的单位的确定，则是由牛顿第二定律，规定1 N 的力使质量为1 kg 的物体产生1 m/s 2
的加速度，也就是牛顿第二定律的数学表达式中的比例常数取1，力的量纲式为[M 1L 1T －2
]．对于以后将学习的电学物理量，也是用相同的规定来确定其量纲式．由量纲式可以确定一个表达式是否正确．
[例] 声音在空气中的传播速度v 与空气的密度ρ、压强p 有关．下列关于声音传播速度的表达式(k 为比例系数，无单位)中正确的是( )
A ．v ＝k p
ρ
B ．v ＝
kp ρ C ．v ＝
kρp
D ．v ＝kpρ
[解析] 由各物理量的单位之间的关系确定表达式是否正确．压强p 可由公式p ＝F
S
求得，则其单位为kg·m/s 2
m 2
＝kg/(m·s 2)．密度ρ可由公式ρ＝m V 求得，则ρ的单位为kg/m 3
.由于题中k 无单位，则k p ρ
的单位为m 2/s 2
，显然不是速度的单位，A 错误；而
kp
ρ
的单位为m/s ，B 正确；又
kρp
的单位为s/m ，也不是速度的单位，C 错误；kpρ的单位为kg/(m 2
·s)，不是速度的单位，D 错误．
[答案] B
总结提能 采用国际单位制，为我们提供了一种比较简单的验证法——量纲检验法，即当进行物理量运算时，最终的结果往往是一个表达式，很难判断其正误．这时，可将各物理量的单位全部代入式中，对单位进行运算，若得到的单位不是所求物理量的国际单位，结果就一定是错误的．但值得注意的是，运用量纲检验法得到的结果不是肯定的．
[变式训练] 在解一道文字计算题时(由字母表达结果的计算题)，一个同学解得x ＝
F
2m (t 1＋t 2)，用单位制的方法检查，这个结果( B )
A ．可能是正确的。