弹性与塑性力学第2,3章习题答案

第二章
2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000
（应力单位） 求出：
（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；
（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。

解答：
(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n
T i ，得
n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n
T 3=σ3j n j =157.31
所以，应力矢量n
T 的大小为
=n
T [(n
T 1 )2
+(n
T 2 )2
+(n
T 3)2]1/2=314.62
(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0
其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。

从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3
其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。

将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）
注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。

(d ）由式（2.96），可算
σotc =1/3（0+100+300）=133.3
τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56
(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =200
2.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。

σij =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------4/114/5)22/(14/54/11)22/(1)22/(1)22/(12/3（应力单位）
（a ）从给定的σij 和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I 1，I 2和I 3； （b ）求出偏应力张量S ij ；
（c ）确定偏应力不变量J 1，J 2和J 3； （d ）求出八面体正应力与剪应力。

解答：同上题2.1（a ）（b ）（c ）方法得到σ1=4、σ2= 2 、σ3=1 对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i
（1）
=（0，
21，±2
1
） n i （2）=（±
2
1
， 0.5， 0.5） n i （3）=（±
2
1
， ±0.5，±0.5） （a ）特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0
中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。

代入数据的：I 1 =7；I 2 =14；I 3 =8
（b ）偏应力张量由式子（2.119）得出S ij =σ12-p δij ，其中p=7/3
S ij =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------12/54/5)22/(14/512/5)22/(1)22/(1)22/(16/5-
(c)J 1= S ii =0，J 2=1/6[4+1+9]=2.333, J 3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741
(d) σotc =1/3*7=2.333 τotc = 2/3(I 12-3 I 2) 1/2=1.247
2.3（李云雷）（a ）解释：如果吗？能得出0S ,3321=>>S S S （b ）解释：2J 可以为负值吗？ （c ）解释：3J 可以为正值吗？ 解：
（a ）不能，因为,0321=++S S S 所以3S 不能等于0.
（b ）因为])()()[(61
2132322212σσσσσσ-+-+-=J ，所以2J 不可能为负值。

（c ）可以，当321,,S S S 中有一个正数，两个负数时3J 为正值。

2.7 （金晶）证明以下关系
（a ）2
212
13J I I =-
证明：
1123
2121332
22221123123312222123121332
2
22212123121332121332
22
212312133221()()2()22211(222)3
311()()
3
31[(6
I I I I I J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++=++=++=++++=+++++-=+++++-++=++-++=-2
22222213321231213322212
11)()()]()()
331
3J I I σσσσσσσσσσσσσσ+-+-=++-++∴=-
（b ）
3
33121
12327J I I I I =-+
证明：
112321213323123
12123121332222222123121232321313
32222223
3121123123121232321313123()()
31212
(3)()327327I I I I I I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++=++==++⨯++=++++++-+=-+++++++++=222222333121232321313123123
31112
1321
22231122333132331124
()()92791
3
1
(3
ij jk ki
ij ij ij jk jk jk ki ki ki ij J s s s s p s p s p p s p s p s p s p
p p σσσσσσσσσσσσσσσσσσσδσδσδσσσσσσσσσσσσσ-+++++++++==-=-=--⎡⎤⎢⎥=-∴=-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=+同理代入得
233123123222222
333121232321313123123
3
33121)()()()
124()()9279
12
327
J s s s p p p J I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+==-⨯-⨯-=-+++++++++∴=-+代入下式
（c ）1
2
2
oct 12=33I I τ-（）
证明：
222211231233122121332
222
2
222
3213121
21
231213322
2222321312121
2
2
oct 12()()2()
3()()()
222
44[()()()](3)
92229
=33
oct I I I I I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσττ=++=++++=++---∴-=++---=++---=++=-∴-（）
(d)
2123213()
J s s s s s s =-++
证明：
222
211223312212112222222222123112233122331222
11223322113312233112321311()
22
11()(222)22
()
ij ji J s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s σσσσσσ==+++++⋅⋅⋅=++=+++++=---+++=-++
2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。

证明：设静水应力为),,(p p p ，从主方向的定义有i j ij n n σσ=，从给定的应力状态中减去静水应力得i j ij ij n p n p )()(-=-σδσ，即：
1313212111)()(n p n n n p -=++-σσσσ
2323222121)()(n p n n p n -=+-+σσσσ 3333232131)()(n p n p n n -=-++σσσσ
把等式右边的i pn 移项到左边得
1313212111n n n n σσσσ=++ 2323222121n n n n σσσσ=++
3333232131n n n n σσσσ=++
所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。

2.10（张东升） 证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量n S 。

证明：关于主应力轴，任意平面上n S 是用1σ，2σ， 3σ由式
2222222222
112233112233()()n S n n n n n n σσσσσσ=++-++给出。

现假设静水应力状态（,,σσσ）是被叠加上去，得一组主应力
123,,σσσσσσ+++。

对于这一新的应力状态，在任意斜截面i n 上的剪应力分量由
下
式
得
出
：
2222222222112233112233[()()()][()()()]n S n n n n n n σσσσσσσσσσσσ=+++++-+++++
由恒等式
1
i i n n =，将上式展开化简得
2222222222112233112233()()n S n n n n n n σσσσσσ=++-++。

这表明，原结论成立。

2.11 （黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。

求
(1)1003030302ij
σ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦的主应力，
1112233103215
I σσσ=++=++=
22231113111223233313321223010310062093047
023203
I σσσσσσσσσσσσ=++=++=+-+=
111213
3212223
313233
1003
03033
302
I
σσσ
σσσ
σσσ
⎡⎤
⎢⎥
===
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
代入32
123
I I I
σσσ
-+-=
解得111
σ=23
σ=
3
1
σ=
同理，解得
(2)
300
070
005
ij
σ
⎡⎤
⎢⎥
=-
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦的主应力1
3
σ=
2
5
σ=-
3
7
σ=-
(1)
ij
σ(2)
ij
σ
在主应力空间上的两个应力状态如下图所示：
求
(1)
1003
030
302
ij
σ
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦的1ρ、1θ
1
15
5
33
I
p===
11
1156
s p
σ
=-=-=
22
352
s p
σ
=-=-=-
33
154
s p
σ
=-=-=-
1
2222
1123
()7.48
s s s
ρ=++=222
2123
1
()28
2
J s s s
=++=
1
1
2
3
cos0.98
2
s
J
θ==
1
arccos0.981128
θ'
==︒
同理，求得
(2)
300
070
005
ij
σ
⎡⎤
⎢⎥
=-
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦的27.48
ρ=、21128
θ'
=︒
(1)
ij
σ(2)
ij
σ
在偏平面上的投影如下图所示：
2.12 （李松）如果σij t jk=t ijσjk, σij和t ij为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。

注意不必将t ij作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。

（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）
证明：由题意得：σij t jk=t ijσjk 对i、j取1至3展开关系式得：σ11t1k+σ12t2k+σ13t3k= t11σ1k+ t12σ2k+ t13σ3k（1）
σ21t1k+σ22t2k+σ23t3k= t21σ1k+ t22σ2k+ t23σ3k（2）
σ31t1k+σ32t2k+σ33t3k= t31σ1k+ t32σ2k+ t33σ3k（3）
参照σij的主轴，即i≠j时，σij=0. 所以，对于（1）式 K分别取2、3.由于i≠j时，σij=0. 则有：
K=2时，σ1t12=t12σ2；k=3时，σ1t13=t13σ3
对于σ1＞σ2＞σ3，t12=0和t13=0. 同理由（2）（3）式可得：
t21=0和t23=0，t31=0和t32=0.一般地，i≠j时，t ij=0.
所以t ij的主方向与σij的主方向重合
2.14 （卢俊坤）在偏平面上画出下列函数：
（a ）2
12k J =
（b ）6
2233225.2k J J =- （c ）3max k =τ
其中，321k k k 和、为常数。

解：（a ）依题意得：将 2
12k J = 代入 22J =ρ 得 21k =ρ
所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为21k 的圆。

函数图象如图a 所示（利用Matlab 绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数1k 暂不考虑）。

图a
（b ）依题意得：由 2
/323
2333cos J J =
θ 及 22J =ρ
得：322
2
3
3cos 27
4J J ⋅=θ 和 222ρ=J
再代入 6
2233225.2k J J =- 得：26/122)3cos 3
11(k =⋅-ρθ
函数图象如图b 所示（利用Excel 和Matlab 绘制，以'
1σ为x 轴，绘图时常数2k 暂不考虑）。

-2
-1.5-1-0.50
0.511.52-2
-1.5
-1
-0.5
0.51 1.52
图b
（c ）依题意得：由 3max k =τ 得：312)3
sin(2k =+=θπ
τ
再得：2)3
sin(
3⋅=+k θπ
ρ
令
ρ
θρ
θρy
x
y x =
=
+=sin ,cos ,22 得 223=+y x
函数图象如图c 所示（利用Excel 和Matlab 绘制，以'
1σ为x 轴，绘图时常数3k 暂不考虑）。

-300
-250-200-150-100-500
50-50
050100150
图c
2.15 （兰成）如果由两个应力状态叠加得出一个应力状态，证明： （a ）其最大主应力不大于单独的最大主应力之和； （b ）其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和；
（c ）静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加，但剪力分量合成是两个单独状态的矢量相加。

证明：假设两个应力状态为：
)
1(3)
1(3)
1(2
)
1(2)
1(1
)
1(1)
1(n T
n T
n T
T
n ++=和)
2(3
)
2(3)
2(2
)
2(2)
2(1
)
2(1)
2(n T
n T
n T
T n ++=
叠加之后得到：)
3(3)
3(3)
3(2
)
3(2)
3(1
)
3(1)
3(n T
n T
n T
T
n ++=
正应力为i i n
n
n n T n T =⋅=σ，剪应力为2
2
2n n n
T S σ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=。

（a ） 应力状态的叠加是矢量的叠加，当这两个应力状态的方向相同时，叠加之后得到的应力状态方向也相同，其最大主应力等于两个单独的最大主应力之和；当方向相反时，最大主应力为两个单独的最大主应力之差；当两个应力状态的方向不同时，叠加之后得到的应力状态的方向沿两个应力状态方向所夹的平行四边形的对角线方向，根据平行四边形法则，其最大主应力小于单独的最大主应力之和。

所以，叠加之后其最大主应力不大于单独的最大主应力之和。

（b ） 同（a ）的分析方法，两个应力状态方向相同时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之和；方向相反时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之差；方向不同时，根据平行四边形法则，叠加后最大剪应力小于单独的最大剪应力之和。

所以，叠加之后其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和。

（c ） 因为静水压力张量相当于常数正应力张量，两个常数正应力张量方向一致，其合成不改变其主方向。

因此，静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加。

因为在所有方向上加减一个常数正应力不会改变其主方向，偏应力张量与原应力张量的方向一致。

所以剪力分量合成相当于原应力张量合成，即矢量相加。

2.16 （黄莉根）从式（2.172）出发，其中s 1=[(2σ1-σ2-σ3)/3]，并利用式（2.104）~式（2.113）给出的关系（对于σ1≥σ2≥σ3）： (a) 证明；式中0,]1[21cos max
min
2/12≥=+-+=
ττξξξξθ
(b) 证明对于0≤ξ≤1，θ在0≤θ≤π/3的范围内变化；
(c) 定义称作Lode 的应力参数μ为 3
11
322σσσσσμ---=
证明以下关系：
( i ) μ=2ξ-1； (ii ) );3/()1(4
3
sin 22+-=
μμθ (iii) 。

，则即如果11)10(321≤≤-≤≤≥≥μξσσσ 证明：(a) 由式（2.172）知 2
1
23cos J s =
θ s 1=[(2σ1-σ2-σ3)/3]=[(σ1-σ2)+(σ1-σ3)]/3=[2τ12+2τ13]/3 ∵ σ1≥σ2≥σ3，则有 τ12=τmin
τ13=τmax
∴ s 1=2[τmin +τmax ]/3 又由式（2.134） oct oct J J ττ2
3
3
2
22==
，得 oct oct
J s ττττττθmax
min max min 21322
33)(22323cos +=
+==∴ 2
/122max
max min
]1[21
19
8
1
3
2
132+-+=
+-+=+=
ξξξξξξττττoct
其中用到式（2.110）max
222)1(98ττξξoct
R =+-=，证毕。

(b) 令：cos θ=()1/2
2121f ξξξξ+=⎡⎤-+⎣⎦
，其中：01ξ≤≤
()()()1/22
121313f ξ
ξξξ+=
⎡⎤+-++⎣⎦
，
11
121ηξ
≤=≤+ 分子分母除以1ξ+，配方可得下式：
()()
1/2
21
112324f ηη=
⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，其中：
1
12
η≤≤
可以解得：()1
12
f η≤≤ 即：
1cos 12
θ≤≤，则03π
θ≤≤，证毕。

(c) ( i )1)(2)(222313231313231132---=----=---=
σσσσσσσσσσσσσσσμ
ξττ
τττττττ212112
1212max
min max min max max
int
13
23
-=-=--=-=
-=
(i
i)
3)21()1(3444363)121(1cos 1sin 22
222
22
2
+--=+-+-=+-+-=-=ξξξξξξξ
ξξ
θθ 3
)1(433)21(4/]1)21[(32
2
22++=+-+-=μμξξ (iii) 如果σ1≥σ2≥σ3，即0≤ξ≤1则
-1≤μ=1-2ξ≤1
2.17 （周浩超、陈康海） 考虑对于主偏应力的式（2.129）
并代入
导出
(a) 考虑后一等式与三角几何恒等式
331sin sin sin3044
ψ-ψ+ψ= 的相似性，采用
223
r J = 和3
3/2
2
33sin 32J J ψ=-
证明r 和对于
是不变量。

解：因为3
2/3
2
33cos32J J θ=
3
2/3
2
33sin 3cos32J J θ∴ψ=-
=-
题目中已知223
r J =，而式（2.172）1
2
3cos 2
s J θ=
可得1
cos s r θ
=
因为cos3θ的值为与偏应力不变量2J 和3J 有关的不变量。

所以说sin3ψ和r 与2J ，3J 有关的不变量。

即r 和对于
是
不变量。

（b ）利用（a ）中得出的结果及式（2.166）和式（2.175）证明： （i ）23r ρ=
解：式（2.166）
2221/2
1232
()2NP s s s J ρ==++=
式 (2.175) 3
3/233cos32J J
θ=
可知 22J ρ=得 2
24J ρ=
2
2222
23
33
r J ρρ∴==
= 得证 2
3r ρ=
(ii)对于0，，以及范围内变
化。

解：已知 3
2/32
33cos32J J θ=
3
2/3
2
33sin 3cos32J J θ∴ψ=-=- 而 sin 3cos3sin(3)sin(3)22
ππ
θθθψ
=-=--=-
=-
2
π
θψ33
6
π
θ∴ψ=-
03
π
θ≤≤
-
6
3
π
π
∴ψ≤ψ≤
在范围类变化
（c ）对于由主应力定义的任意应力状态，并考虑在平面上
的投影（如图2.30所示），求解在以下条件中相应的和： （i ） 2σ= 或
；
解：已知
123
231
312200
3200
3
200
3ij s σσσσσσσσσ=---⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
()2
2221223311()()6J σσσσσσ⎡⎤=-+-+-⎣
⎦
3123J S S S = ， 03
π
θ≤≤
， 6
π
θψ=-
由于代入已知式子，得312332()3J σσ-=， 3/23/23
212
1()()3
J σσ=-
33/223333cos312233
J J θ=⋅=⋅=
30θ∴= 00=0=-=-306
π
θθψ得，
（ii ）2σ=
或
；
解：2
2131()3J σσ=- 333132()3
J σσ=-
33cos3(1233
θ∴=
⋅=- 03,603
π
θπθ∴==
= 0306
π
θψ=-
=
（i i i ）2131
()2
σσσ=+ 或12ξ=，0μ=
解： 2131()2σσσ=+ 2
2131=-4
J σσ得（），3=0J
cos30θ∴= 0306
π
θ== ，006
πθψ=-=
2.18 （李树旺、李炜） 对于纤维增强（金属基）复合材料，考虑下面的“屈服函数”：
212322
194(41)
f L L L k αλ=++=-
其中，2221202030023ij 12000,1
,,,,
4
11
,,23
1
().,d 3
x 030903i i j jk ki i j ij ij ji ij jk ki
ij ij kk ij i i
i J I I L I I L I I d d s s I d d s J s s J s s s s s x x x αλσσδϕϕαλ=-+=-======+-==和k 是材料常数，组合不变量L 表示为
L 其中，是对称二阶张量，参照坐标轴假定矢量位于平面内，构成角（轴反时针测量）。

对于，，以及和=7，画11221112,)(ii),(,)
σσσσ出在下例子应力空间中由f 表示的表面的投影：（i) (
第三章
3.1（黄耀洪）给定一点上的相对位移量
'ij
ε，试证明对于坐标轴的转换
'2'2'2()x y z εεε++是不变量。

证明：
222222211222233331122212233122222
1()2()2()2()2x y z x y z x y y z z x x y z x y z x y z I I εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε++=+++++=+++++=+++++'=+++'=
∴
'
-'=++22
12222I I z y x εεε
3.1 （张东升）给定一点上的相对位移张量'
ij ε，试证明对于坐标轴的转换'2'2'2()x y z εεε++是不变量。

证明：给定一点上的相对位移张量'ij ε。

在无限小变形情况下，其各分量'ij ε很小，
其乘积与其分量一次项相比可忽略不计。

设线元OP =单位矢量n ，假设线元在纯刚体运动后所处新位置为''O P ，则
2
2
2
2n n
n n n n δδ=+=+。

因考虑的是无限小变形，'n
δ的高次项被忽略，由
''n
i ij
j n δε=代入上式得：
''()0
n
n
i i ji j n n n n δδε===，即
''2'2'2''''''
111222333122112233223311331()()()0ji i j n n n n n n n n n n n εεεεεεεεεε=++++++++=。

因为对于任意123,,n n n 值上式必须成立，所以张量'ij ε代表刚体旋转的必要充分条件为：'''''''''
11
22331221233231130εεεεεεεεε===+=+=+=。

所以''
'0x y z εεε++=。

3.2 （梁健伟）给定一点上的相对位移张量'ij ε为
'
0.100.200.400.200.250.150.400.300.30ij ε-⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
计算：
（a ） 应变张量ij ε； （b ） 旋转张量ij ω；
（c ） 主应变1ε，2ε和3ε及其主方向；
（d ）
对具有方向11,22n →
⎛= ⎝的纤维元，找出应变矢量n δ，转动矢量n
Ω和相对位移矢量'n
δ。

解：
（a ） 由公式：()()()()()()'
''
''
1112211331''
'''122122
2332''
''
'
1331233233
112
2
112
2
1
122
ij εεεεεεεεεεεεεεεε⎡⎤++⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣
⎦
由已知条件可得：
0.10
0000.250.07500.0750.3ij ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（b ） 由公式：()()()()()()''''
12211331''''21122332''''31133223110221102211022ij εεεεωεεεεεεεε⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
由已知条件可得：
0.20.40.200.2250.40.2250ij ω+-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（c ） 由主应变特征方程：3'2'
'12
30I I I εεε-+-= '1112233I εεε=++=0.65
222311131112
'
2323331332122
I εεεεεεεεεεεε=
++=0.799
111213
'3212223313233
I εεεεεεεεε==0.074
带入特征方程中可以解得：1230.354,0.196,0.10εεε=== 由公式()0ij ij j n εεδ-=，将1,2,3,εεε带入可得到：
1ε主方向： ()()10,0.5847,0.8113i n =±±；
2ε主方向： ()()20,0.8113,0.5847i n =±±；
3ε主方向： ()()31,0,0i n =±
（d ） 由j ij i n
n εδ=得 5.02
1
1.01=⨯
=n
δ 178.02
1
075.02
125.02=⨯
+⨯=n
δ 2496.02
1
3.02
1075.03=⨯
+⨯=n
δ )2496.0,178.0,5.0(=n
δ 由j ij i n
n ω-=Ω得
183.02
1
4.0212.01=⨯+⨯-=Ωn
259.02
1
225.0212.02=⨯+⨯=Ωn
3125.02
1
225.0214.03-=⨯-⨯-=Ωn
)3125.0,259.0,183.0(-=Ωn
由得
233.02
1
4.0212.0211.0'1=⨯
+⨯-⨯=n
δ 437.021225.0212.021075.02125.0'2=⨯+⨯+⨯
-⨯=n
δ
0629.02
1
225.0214.0213.02
1
075.0'3-=⨯-⨯-⨯
+⨯=n
δ
)0629.0,437.0,233.0('-=n
δ
3.3 （黄莉根、卢俊坤）给定一点上的相对位移张量ij ε为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=013.0008.0001.0008.0009.0015.0001.0015.0023.0ij ε 计算：（a ）主应变和主方向；（b ）最大剪应变；（c ）八面体应变；（d ）具有方向n =（0.25，0.58，0.775）的纤维元的正应变分量n ε和合剪应变分量n ϑ；
（e ）偏应变张量ij e 及其不变量'
2J 和'3J ；（f ）单位体积的体积变化（膨胀）v ε
（g ）应变不变量'
2I 和'3I 。

解：（a ）应变不变量
I 1'=0.023+0.009+0.013=0.045
'
2I =（0.023）（0.009）-（-0.015）（-0.015）+（0.009）（0.013）-（0.008）（0.008）+（0.023）（0.013）-（0.001）（0.001）=0.000333
6-310-1.955013
.0008
.0001
.0008.0009.0015
.0001.0015.0023
.0⨯=--='
I 特征方程为: 0101.955000333.0045.0-623=⨯++⨯-εεε 三个主应变为00378.0,01558.0,0332.0321-===εεε 代入主应变解得各个对应的主方向： )1821.0,5608.0,8077.0()
1(±±= i n ， )8962.0,2426.0,3715.0()
2(±±= i n ， )4046.0,7913.0,4584.0()
3(±±= i
n
（b ）最大剪应变03698.000378.00332.031max =+=-=εεγ （c ）015.03
1='=I oct ε，0302.0)]000333.0(3045.0[32
22/12=⨯-=oct γ （d ）
n ε=0.023*0.25*0.25+0.009*0.58*0.58+0.013*0.775*0.775-0.015*0.25*0.58*2+0.001*0.25*0.775*2+0.008*0.58*0.775*2=0.0155 1n
δ=0.023*0.25-0.015*0.58+0.001*0.775=-0.002175，
2n
δ=-0.015*0.25+0.009*0.58+0.008*0.775=0.00767 3n
δ=0.001*0.25+0.008*0.58+0.013*0.775=0.014965 00687.02
=-=n i n
i n
εδδϑ （e ）045.0332211=++=εεεεkk
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-=002.0008.0001.0008.0006.0015.0001.0015.0008.03
ij kk ij ij e δεε
11321313102)2792(271-⨯-='
+''-'='
I I I I J
（f ）045.01321='
=++=∆=I V
V v εεεε
（g ）由（a ）得'
2I =0.000333，6-310-1.955⨯='I
3.4 （周浩超、李松）证明：
（a ）γoct =
32212(I '-3)2I '1/2; (b) 3J '=)327219132(27
1
I I I I '+''-'.
证明： （a ）由（3.40）得：
γoct =]2)13(2)32(2)21
[(32
εεεεεε-+-+-1/2
展开得：γoct =)132322212322222122(3
2
εεεεεεεεε---++1/2
其中由于：1332212εεεεεε++='I ，所以有： γoct =
)2322212(3
22I '-++εεε1/2
（1） 又由：2)321(12εεε++='I =32
2212εεε++2
2I '+
所以：322212εεε++=12
I '-2
2I ' 把该式带入（1）式得：
γoct =
3
2212(I '-3)2I '1/2
（b ） 由公式（3.33）有：3211εεε++='I
1332212εεεεεε++='I 3
213εεε='I 所以：='13I )321(εεε++3=312
32123332313εεεεεεε++++
+3
216232
3132332231223εεεεεεεεεεε++++
=''21I I )321(εεε++)133221(εεεεεε++
=312212εεεε+3
213232
132322122εεεεεεεεεεε++++ 则：
)327219132(27
1
I I I I '+''-'
=
27
1
)332313(2[εεε++-312212εεεε-]32112232132322122εεεεεεεεεεε+--- =
]32118)332313(3[27
1
εεεεεε+++ （1）
又由于321333
2313εεεεεε=++ ，所以（1）式=3
21εεε
又由（3.51）有=='3213e e e J 3
21εεε
所以：3J '=，原命题得证。

)327219132(271
I I I I '+''-'
3.5 （金晶、李云雷）对平面应变分量
0.0005,0.000375,
0.0005,
x y xy yz xz z εεγγγε==-====计算主应变，主方向，最大剪应变，正应变分量和剪应变分量。

此线元具有方向余弦
12310
2
2
n n n =
=
=
解：
''
'
123'1'-7
'2
332-710.0005
0.00007500.0000750.0003750,,0000.0005-0.000375=0.0001250.00050.000075
=
=1.931100
0.0000750.000375
0.000125 1.931100
5.064ij I I I I I I εεεεε-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦=-⨯=----⨯==由已知条件得：
计算应变不变量
特征方程变为：44
2312311
1
4
max 13ij n ij i j
24
n 2
210,0, 3.81410x cos =[,,],=[1,0,0]
cos =0.79
8.87810n =n n 13
0.0005()20.0000750.000375 2.2110244
n ns n n n εεθ
εεεεεθεγεεεεεεγδε----⨯==-⨯=⨯=-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯=-⨯=-计算主应力方向与轴的方向余弦设将的分量和代入24
=5.9910n ns γ-⨯解得
3.6（曾海斌）一物体指点的位移分量u i 由函数分量给定 u 1=10x 1+3x 2，u 2=3x 1+2x 2，u 3=6x 3
[证明]若变形假设为小变形，则无转动；假设为大变形，则找出此情况下的拉格朗日转动和应变张量，并计算相应的主应变ε1，ε2和ε3。

解答：（a ）将u 1，u 2，u 3代入（3.78）的ωij =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡000000000，所以无转动。

（b ）假设为大变形，则εij =1/2（u i ，j +u j,i +u r,i u r,j ）,ωij =1/2(u ij -u j,i -u r,i u r,j )
将u 1，u 2，u 3代入得如εx =x
u ∂∂+1/2[222)()()(x r
x v x u ∂∂+∂∂+∂∂]=64.5
所以得到：εij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡240005.8210215.64，同理得到ωij
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----180005.618018
5.54 （c ）利用例2.4方法计算的ε1=71.5，ε2=24和ε3=1.5
3.7 （李树旺、李炜、兰成）确定常数0a 、1a 、0b 、1b 、0c 、1c 和2c 之间的关系，使下列应变状态可能成立。

2244012244012
2
012()()
()()()0
x y xy z yz xz a a x y x y b b x y x y c c xy x y c εεγεγγ=++++=++++=+++===
解：根据应变相控方程有：2
22222y
xy x y x x y
εεε∂∂∂+=∂∂∂∂
其中
22
2
22
33
1112
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2322
11121112
2222
111112 1
2
1111
2222
212
212
311331
()
222222
331
2122122()
222 2
y xy
x
xy xy
x
y
xy
y x x y
c x y c y x c c xy
a y
y
b x
x
c x y c y c c xy c x c y c c x y y
a y
b x
c x c y c c
a
εε
ε
εγ
ε
ε
ε
∂∂
∂
+=
∂∂∂∂
==++
∂
=+
∂
∂
=+
∂
∂∂
=++=++
∂∂∂
+++=++
所以：
即：2222
11112
1
112
1221233
4
2
y b x c x c y c c
c
a b c
+++=++
=
+=
推得。