河北邯郸2023-2024学年高三压轴卷数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一
条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞
B ．(3,2)
C ．(2,3)
D ．(1,2)
2．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
3．已知函数2,0
()4,0
x
x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,0]-
C ．(1,)-+∞
D ．(,0)-∞
4．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
6．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12
π
个单位长度
B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 7．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）
A ．
B
C ．3
D ．8．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右
支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A B C
D 9．已知F 为抛物线2
4y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为
坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；
②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；
④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14
B ．12
C ．10
D ．8
11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A B 1 C
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
．6
2x ⎛ ⎝
的展开式中，3
x 项的系数是__________．
14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E 和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是____________．
15．在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且2DA BD =，设CA a =，CB b =，则CD =________（用a ，b 表示） 16．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为3
4
，则5S =__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于
()()3344,,,E x y F x y 两点，若
1234
1111
y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
18．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取n 名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：h ）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求a ，p ，n 的值并估算一周课外读书时间的中位数.
（2）如果读书时间按(]0,6，(]6,12，(]12,18分组，用分层抽样的方法从n 名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数；
②若从(]0,6，(]6,12中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 19．（12分）为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y
10000
11761 13010 13980 14771 15440 16020 4343
0.12y z e
=+ 2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99
①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②
40
y
x +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值 参考数据和公式：7
7
2
31
1
4.5,
()
700,()()70,20i
i i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑7
1
7
2
1
()()
()
i
i
i i
i x x z
z b x x ==--=
-∑∑，a z bx =-
20．（12分）已知函数()2ln(1)(0)1
+=-+>+ax x
f x x a x ，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为12y x b =+.
（1）求()f x 的极值点与极值. （2）当12
k ≥
，[)0,x ∈+∞时，证明：()2
f x kx ≤. 21．（12分）已知函数()|||2|(),()|2|()f x x k x k R
g x x m m Z =-++∈=+∈． （1）若关于x 的不等式()1g x 的整数解有且仅有一个值4-，当1k =时，求不等式
()f x m 的解集；
（2）已知2
()23h x x x =-+，若12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立，求实数k 的取值范围．
22．（10分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB BC =，PA PC ⊥.点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点.
（1）求证：PA⊥平面EBO.
（2）判断FG与平面EBO的位置关系，并证明.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
双曲线
2
2
x
a
﹣
2
2
y
b
=1的渐近线方程为y=
b
a
±x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b
a
（x﹣c），
与y=﹣b
a
x联立，可得交点M（
2
c
，﹣
2
bc
a
），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有
2
4
c
+
22
2
4
b c
a
＞c1，
∴
2
2
b
a
＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=c
a
＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的
坐标的范围等. 2、C 【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目. 3、B 【解析】
对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】
函数2,0
()4,0x x f x x -⎧⎪=+>，由()02f x <
得002
20x
x -⎧<⎪⎨⎪⎩或02
x <>⎪⎩ 解得010-<x . 故选:B. 【点睛】
本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 4、C 【解析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 5、B 【解析】
，
，
∴．
故选． 6、A 【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12
π
个单位长度.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
7、B 【解析】
利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】
AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.
ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，
()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD
ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD
=∠∠，①
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD
ADC CAD
=∠∠，②
①÷②得
21
2
CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，
由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin B ∴==
因此，ABD ∆的面积为1
sin 2
ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 8、D 【解析】
根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率． 【详解】
由题意122AF AF a -=，212BF BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =， 在12AF F ∆中2
22
12
12122cos60F F AF AF AF AF =+-︒，
即2
2
2
1
4(6)(4)2642
c a a a a =+-⨯⨯⨯228a =，∴． 故选：D ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式． 9、C 【解析】
①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】
解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，
故''PA OP PA OP A O +=+≥== 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，
2
1
4x my y x
=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=
则()()()()
122112
1212121212121122211111MB MC
y x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2
2424
04211
m m m ⨯-⨯=
=+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y =
==- ，由12
211
440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确.
故选:C. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 10、A 【解析】
由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅，又1
()()2
BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-即得解. 【详解】
因为H 为ABC 的垂心，所以BH AC ⊥， 所以0BH AC ⋅=，而HM HB BM =+， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅， 因为M 是AC 的中点， 所以1
()()2
BM AC BA BC BC BA ⋅=
+⋅- 2211
()(6436)1422
BC BA =-=-=． 故选：A 【点睛】
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11、A 【解析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
12、C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝
1 2RQ＝
2
2
，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝1
2
RQ＝
2
2
，
∴MH22
OM OH
-
2
2
2
1
2
⎛⎫
- ⎪
⎪
⎝⎭
2
，
∴MN＝22
MH=
故选：C．
【点睛】
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、240
【解析】
利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可.
【详解】 由题意得：6
16(2)r r r r T C x -+=，只需3632r -=，可得2r ，
代回原式可得33240T x =，
故答案：240.
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.
14、35
【解析】
记4只雌蛙分别为a b c d ,,,
，2只雄蛙分别为,A B ，从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a A a B b c b d b A b B c d c A c B d A d B A B ，共15个，选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a A a B b A b B c A c B d A d B (,)A B ，共9个，故选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是93155P =
=． 15、1233a b +
【解析】
结合图形及向量的线性运算将CD 转化为用向量,CA CB 表示，即可得到结果．
【详解】
在CAD ∆中CD CA AD =+，因为2DA BD =， 所以2CD CA AB 3=+
，又因为AB CB CA =-， 所以2212()33331233
CD CA AB CA CB CA a b CA CB =+=+-==++． 故答案为：1233
a b + 【点睛】
本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化． 16、11-
【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出4a 和7a 的值，进而可求得1a 和q 的值，利用等比数列求和公式可求得5S 的值.
【详解】
由等比数列的性质可得123142a a a a a ==，42a ∴=，
由于4a 与72a 的等差中项为34，则47322a a +=，则7431222a a =-=-，714a ∴=-， 37418a q a ∴==-，12
q ∴=-，41316a a q ==-， 因此，()5515116112111112
a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--+. 故答案为：11-.
【点睛】
本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
143
x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析 【解析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．
【详解】
（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=.∴椭圆方程为22
143
x y +=. （2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()1222
1123412014
3x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或112t y =，∴211126822t t x t y t -=-=-=，同理2268t x -=，2212t y =
当34x =时，由3132x t y =-有316y t =.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12341111y y y y +=+ ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126
t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()121112
y y y y x x x x --=-- 122221121222212112212121212343468686834343434
t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭ 211221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()()
()()212121211243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++ ∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0..
综上:直线MN 恒过定点()1,0.
【点睛】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
18、（1）200n =，50a =，0.23p =，中位数13.2h ；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②
1021 【解析】
（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得42000.02
n =
=，得到50a =，0.23p =，再结合中位数的计算方法，即可求解.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；
②由①知，设(]0,6内被抽取的学生分别为,x y ，(]6,12内被抽取的学生分别为,,,,a b c d e ，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】 （1）由题意，可得42000.02n =
=，所以0.2520050a =⨯=，460.23200
p ==. 设一周课外读书时间的中位数为x 小时， 则0.170.23(14)0.1250.5x ++-⨯=，解得13.2x =，
即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为110， 又因为(]0,6，(]6,12，(]12,18的频数分别为20，50，130， 所以从(]0,6，(]6,12，(]12,18三层中抽取的人数分别为2，5，13.
②由①知，在(]0,6，(]6,12两层中共抽取7人，设(]0,6内被抽取的学生分别为,x y ，(]6,12内被抽取的学生分别为,,,,a b c d e ，
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，
yc ，yd ，ye ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有21种，
其中2人不在同一层的情况为xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye ，共有10种.
设事件M 为“这2人不在同一层”，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为10()21P M =
. 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
19、（1）见解析，12.5（2）①0.12z x =+②20
【解析】
(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得1234,,,a a a a 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算772
11(),()()i i
i i i x x x x z z ==---∑∑的值，进而可求z 与x 的回归直线方程；
②求出()g x ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值.
【详解】
解：（1）抽样比为2511004
=，所以1234,,,a a a a 分别是，6，7，8，5 所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
()1106p ξ==，()1123p ξ==，()1133p ξ==，()1156
p ξ== 所以分布列为
期望为1111()1012131512.56336E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= （2）因为77
211()700,()()70,i
i i i i x x x x z z ==-=--=∑∑ 所以717
21()()()
i
i i i
i x x z z b x x ==--=-∑∑，701, 4.50.125270010a ===-⨯=， 0.12z x ∴=+；
②43430.12y
z e =+0.12x =+，
设2401ln 4343ln (),()43434040(40)
x y x x g x g x x x x +-'===+++， 所以当[0,20],()0,()x g x g x '∈>递增，当[20,),()0,()x g x g x '∈+∞<递减
所以约惠值最大值时的x 值为20
【点睛】
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
20、（1）极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
(1)先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求a ，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；(2)令
2()()g x kx f x =-，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为()1,-+∞.
()()()()()()
222211211111ax x ax x x ax a f x x x x ++-'-+-=-=+++ ()3114a f ='-，由已知得()112
f '=，解得1a = ∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x f x x x x x ， ()1111x f x x x +'=-=+ 令()=0f x '，得=0x
令()0f x '<，得10x -<<∴()f x 在(1,0)-上单调递减
∴()f x 的极小值点为=0x ，极小值为0，无极大值.
（2）证明：由（1）知1a =，∴()2ln(1)=ln(1)1
+=-+-++x x f x x x x x ， 令()()2=-g x kx
f x ， 即()2
g ln(1)=-++x kx x x ()()2122111221111
k kx x x k x k g x kx x x x -⎛⎫+ ⎪⎡⎤+-⎣⎦⎝⎭'=-+==+++ ∵12k ≥，[)0,x ∈+∞， ∴()212201
k kx x k g x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭='≥+恒成立. ∴()2g ln(1)=-++x kx x x 在[)0,+∞上单调递增
又()00g =，∴()()00g x g ≥=在[)0,+∞上恒成立
∴2ln(1)0-++≥kx x x 在[)0,+∞上恒成立
∴2ln(1)≥-+kx x x ， 即2ln(1)-+≤x x kx
∴()2
f x kx ≤ 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
21、（1）97,22⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦ （2）(,4][0,)-∞-+∞ 【解析】
（1）求解不等式()1g x ，结合整数解有且仅有一个值4-，可得8m =，分类讨论，求解不等式，即得解； （2）转化12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立为1min 2min ()()f x h x ，利用不等式性质()|||2||()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.
【详解】
（1）不等式()1g x ，即|2|1x m +，所以1122
m m x ---+， 由1154322
m m ---+-<-<-， 解得79m <<．
因为m Z ∈，所以8m =，
当1k =时，
()|1||2|f x x x =-++21,2,3,21,21,1,x x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩
，
不等式()8f x 等价于2,218x x -⎧⎨--≤⎩或21,38x -<<⎧⎨⎩或1,218.x x ⎧⎨+⎩
即922x --或21x -<<或712
x ， 故9722
x -， 故不等式()8f x 的解集为97,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦． （2）因为()|||2|
|()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+， 由22()23(1)2,(0,)h x x x x x =-+=-+∈+∞，
可得min ()(1)2h x h ==，
又由12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立，
则|2|2k +，解得4k -或0k ．
故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
22、（1）见解析（2）//FG 平面EBO .见解析
【解析】
（1）要证PA ⊥平面EBO ，只需证明BO PA ⊥，OE PA ⊥，即可求得答案；
（2）连接AF 交BE 于点Q ，连接QO ，根据已知条件求证//FG QO ，即可判断FG 与平面EBO 的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
AB BC =，O 为边AC 的中点，
∴BO AC ⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，
∴BO ⊥平面PAC ，
∴BO PA ⊥，
在PAC ∆内，O ，E 为所在边的中点，
∴//OE PC ， 又PA PC ⊥，OE PA ⊥，
∴PA ⊥平面EBO .
（2）判断可知，//FG 平面EBO ，
证明如下：
连接AF 交BE 于点Q ，连接QO .
E 、
F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，
∴2AO OG
=. 又Q 是PAB ∆的重心，
∴2AQ AO QF OG
==， ∴//FG QO ，
FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，
//
FG平面EBO.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.。