万有引力理论的成就同步练习-2023-2024学年高一下学期物理人教版(2019)必修第二册

7.3万有引力理论的成就
一、单选题
1．某篇文章中描述了一颗质量达到木星级别的气态行星，绕银河系内的一颗白矮星做匀速圆周运动.已知地球绕太阳做圆周运动的轨道半径为r ，该白矮星的质量为太阳的一半，气态行星绕白矮星做圆周运动的轨道半径为3r ，则地球环绕太阳的角速度与气态行星环绕白矮星的角速度之比为( ) A.3:1
B.6:1
C.36
D.32
2．地球和木星绕太阳运行的轨道可以看作是圆形的，它们各自的卫星轨道也可看作是圆形的.已知木星的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的5倍，木星半径约为地球半径的11倍，木星质量大于地球质量.如图所示是地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r 的立方与周期T 的平方的关系图像，已知引力常量为G ，地球的半径为R .下列说法正确的是( )
A.木星与地球的质量之比为11bd
ac
B.木星与地球的线速度之比为1:5
C.地球的平均密度为
3
3πa
GdR
D.木星的平均密度为
3
3π125b
GcR
3．木星有众多卫星，其中木卫四绕木星做匀速圆周运动的轨道半径约为9
210m ⨯，公转周期约为6
1.510s ⨯，已知引力常量11
226.6710N m /kg G -=⨯⋅，则木星质量的数量级
为( ) A.25
10kg
B.27
10kg
C.29
10kg
D.31
10kg
4．“中国空间站”在距地面高400km 左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km ，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。

则下列说法中正确的是( )
A.“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的周期大于地球同步卫星的周期
B.“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的向心加速度大小稍大于g
C.“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的线速度大小稍大于地球的第一宇宙速度
D.“中国空间站”修正轨道时，发动机应“向后喷火”使空间站加速，但进入目标轨道正常运行后的速度小于修正之前在较低轨道上的运行速度
5．2021年4月29日，中国用“长征”5B运载火箭在海南文昌航天发射场将首个空间站核心舱“天和”号成功送入太空。

中国空间站包括“天和”核心舱、“问天”实验舱和“梦天”实验舱3个舱段，整体呈“T”字构型，计划于2022年全部完成发射构建。

假设“天和”核心舱绕地球做匀速圆周运动（如图所示），轨道半径为r，运动周期为T，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.“天和”核心舱的线速度大小为v gr
=
B.地球的质量为
23
2
4πr M
GT
=
C.在“问天”实验舱内漂浮的球形水滴不受重力作用
D.要实现“问天”、“梦天”实验舱从低轨道与“和”核心舱对接，需使实验舱减速
6．有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A B
、同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A B
、位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为( )
A.2
23
2
4π5r Gt
⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.2
23
2
5π4r Gt
⎫⎪⎭
C.2
23
2
7π16r Gt
⎫⎪
⎭ D.2
23
2
16π7r Gt
⎛⎫ ⎪
⎝⎭ 7．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。

两卫星绕地球同向转动，已知地球的自转周期为0T ，万有引力常量为G ，某同学根据题中条件，计算求得下列数据，其中错误的是( )
A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为31sin θ:
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为2sin 2:1θ
C.地球的平均密度为
2303π
sin GT θ
D.卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为
()
33
π2sin 2π1sin T θθ
θ
+-
8．2020年11月24日成功发射的“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。

已知月球半径为R ，地心与月球中心之间的距离为r ，月球绕地球做圆周运动的公转周期为1T ，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为2T ，引力常量为G ，由以上条件可知( )
A.月球质量为23
2
14πr GT B.地球质量为23
2
24πr GT C.月球的密度为
2
23π
GT D.地球的密度为
2
1
3π
GT 二、多选题
9．如图，地球和某行星绕太阳做匀速圆周运动（运行方向相同），地球和行星做匀速
圆周运动的半径之比12:1:4r r =，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法正确的是( )
A.行星绕太阳做圆周运动的周期为8年
B.地球和行星的线速度大小之比为1:2
C.由图示位置开始计时，至少再经过
8
7
年，地球位于太阳和行星连线之间 D.地球和行星分别与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等
10．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在太空“教室”——中国空间站正式开讲并直播，若中国空间站的轨道离地球表面高度为h ，绕地球运行的周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，则( )
A.地球的平均密度3
23
3π()R h GT R ρ+=
B.地球质量23
2
4π()R h GT +=
C.空间站运行的角速度为2πT
ω=
D.空间站运行的线速度为2πR
T
=
11．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，忽略地球自转的影响，则人造卫星( ) A.绕行的最大线速度为Rg B.绕行的最小周期为2π
R g
C.在距地面高为R 处的绕行速度为2
Rg
D.在距地面高为R 处的绕行周期为22πR
g
三、填空题
12．计算天体的质量。

（1）思路:质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，______充当向心力；
（2）关系式:2
2
24πGmm m r r T
=太； （3）结论:232
4πr m GT =太
，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量；
（4）推广:若已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。

13．一名宇航员来到某一星球上，如果该星球的质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球表面的重力是他在地球表面的重力的_____倍。

14．若知道某星球表面的______和星球______，可计算出该星球的质量.
四、计算题
15．电影《流浪地球》中，由于太阳即将毁灭，人类为了生存，给地球装上推进器，“驾驶”地球逃离太阳系，飞向比邻星系定居，泊入比邻星轨道，成为这颗恒星的卫星。

地球绕比邻星做圆周运动的轨道半径为r ，周期为T ，比邻星的半径为R ，引力常量为G (忽略其他星球对地球的影响)，求： （1）比邻星的质量M ；
（2）比邻星表面的重力加速度g ； （3）比邻星的第一宇宙速度1v 。

16．2020年6月23日9时43分,我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五十五颗北斗导航卫星。

假设该卫星在距离地球表面高为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，地球的体积为3
π43
V R =，忽略地球自转的影响。

求: （1）地球的平均密度ρ；
（2）该人造卫星绕地球运动的周期T 。

参考答案
1．答案：C
解析：万有引力提供向心力，气态行星绕白矮星做匀速圆周运动，有
2 22πGM m m r r T ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
白气气气气，地球绕太阳做匀速圆周运动，有2
2 2πGM m m r r T ⎛⎫= ⎪⎝⎭太地地地地地.又2πT
ω=
，得3
3 332336
111
M r M r ωω=⋅=⨯=太气地气白地，C 正确. 2．答案：C
解析：由万有引力提供向心力可得2224πMm r G r T =，解得322
4π
GM T =，则32
r T -图线的斜率2
4πGM
k =
，由于木星质量大于地球质量，故斜率大的图线为木星的，设木星质量为1M ，地球质量为2M ，由题图知
12
22
,4π4πGM GM b a c d ==
，则木星与地球的质量之比12M bd
M ac =，A 错误；由万有引力提供向心力得2 2M M v M r r
=日，解得线速度GM v r =
日，则木星与地球的线速度之比12215
5
v r v r ==，B 错误；对地球，由题图知，224πGM a d
=，解得地球的质量2
2
4πa Gd =，则地球的平均密度为22333π4π3M a GdR R ρ=
=，C 正确；木星的平均密度113
33π41331π(11)3
M b GcR R ==，D 错误. 3．答案：B
解析：设木卫四的质量为m ，木星的质量为M ，根据万有引力提供向心力，有
2
224πMm G m r r T
=，代入数据解得27210kg M ≈⨯，故B 正确. 4．答案：D
解析：A.“中国空间站”在轨道上做匀速圆周运动的周期
2
22π()()Mm G m R h R h T ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭
得
23
23
2
4π()4π() 1.4h 24h R h R h T GM
gR
++=
=
≈< 故A 错误；
B.“中国空间站”在轨道上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
2()
Mm G ma R h =+ 物体绕地球表面运行，根据牛顿第二定律有
2
Mm
G
mg R
= 联立解得“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的向心加速度大小为
2
2
()
R a g R h =+ 故向心加速度稍小于g ，B 错误； C.根据
2
2
()Mm v G m R h R h
=++ “中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的线速度大小为
g
v gR R h
=<+故C 错误；
D.空间站由低轨向高轨修正时需要离心运动，故需要发动机点火使空间站加速，但进入目标轨道后的速度比修正之前低轨的速度小。

故D 正确； 故选D 。

5．答案：B
解析：A.地球表面重力加速度可表示为
2
M g G
R = “天和”核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力可得
22GMm v m r r
=
联立解得
2GM gR v r r ==
A 错误；
B.由引力作为向心力可得
2224πGMm r m r T
= 解得地球的质量为
232
4πr M GT =
B 正确；
C.在“问天”实验舱内的水滴受重力作用，作为随实验舱做圆周运动的向心力，C 错误；
D.要实现“问天”、“梦天”实验舱从低轨道与“天和”核心舱对接，需使实验舱加速离心变轨，D 错误。

故选B 。

6．答案：D
解析：每隔时间t 会发生一次“相冲”现象，得
()2πA B t ωω-=
根据万有引力提供向心力
22
A
A A Mm G
m r r
ω= ()
22
44B
B B Mm G
m r r ω=⋅
联立解得地球质量为
2
23
2
16π7r G M t
⎛⎫ ⎪⎝⎭= 故选D 。

7．答案：B
解析：AC.设地球质量为M ，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r 和R ，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为0T ，近地卫星Ⅱ的周期为T 。

根据开普勒第三定律可得
33
2
20r R T T
= 由图中几何关系可得
sin R r
θ=
可得卫星I 和卫星II 的周期之比为
30:sin T T θ=
则卫星Ⅱ的周期为
3sin T T θ=
对于卫星Ⅱ，由万有引力提供向心力可得
2
22πMm G m R R T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
又
34
3
M R ρ=⋅
π 联立可得地球的平均密度为
23
03π
sin GT ρθ
=
故AC 正确；
B.对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得
2GM
a r
=
所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
222sin 1a R a r θ==ⅠⅡ 故B 错误；
D.当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为π2θ+时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为t 。

由于两卫星同向运行，则有
()π2t ωωθ-=+ⅡⅠ
302π2πsin T T ωθ=
=Ⅱ，0
2πT =Ⅰ 联立解得
()
33
π2sin 2π1sin T t θθ
θ
+=
-
故D 正确。

该题选错误的，故选B 。

8．答案：C
解析：AC.“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动，万有引力提供向心力有
2
2
224πGM m m R R T =月 解得月球质量为
23
2
24πR M GT =月 又有
34
π3
V R =
月 则月球的密度为
2
2
3π
M V GT ρ=
=月月月 故A 错误，C 正确；
BD.月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力有
2
2
214πGM m m r r T =月地月 解得地球质量为
23
2
14πr M GT =地 又有
34π3
V R =
地地 解得地球的密度为
3
2313πr GT R ρ=地地 地球半径未知，地球密度不可求，故BD 错误。

故选C 。

9．答案：AC
解析：已知地球绕太阳公转的周期为1T =地年，万有引力提供向心力，则有
212214πM M G M r r T =太地地地，解得312r T GM =地太，同理得行星围绕太阳运行的周期32
2πr T GM =行太，联立得88T ==行地年，A 正确；由22Mm v G r r =得GM r =，则地球和行星的线速度大小之比为2:1，B 错误；设至少再经t 年，地球再次位于太阳和行星连线上，则地球比行星多转一圈，有2t t ωω⋅-⋅=地行，即111T T t -=地行，解得87=年，C 正确；地球和行星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积之比
111112222211212
2
r v t S r v S r v r v t '⋅==⋅='⋅，D 错误. 10．答案：ABC
解析：设地球质量为M ，对空间站，根据万有引力提供向心力，有
2224π()()Mm G m R h R h T =++，解得2324π()R h M GT +=，B 正确；地球的体积34π3
V R =，地球的平均密度3233π()M R h V GT R ρ+==，A 正确；空间站运行的角速度2πT
=，C 正确；空间站运行的线速度2π()R h v T
+=，D 错误. 11．答案：AB 解析：根据万有引力提供向心力得22Mm v G m r r
=，解得GM v r =，在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有2Mm mg R =，解得2
gR =，所以2R g v r =，轨道半
径r 越小，则v 越大，当r 等于地球半径R 时，速度v 最大，为gR ，A 正确；根据
万有引力提供向心力得2224πMm G mr r T =，解得33222π,r r r GM R g ==越小，则周期越小，当r 等于地球半径R 时，周期最小，为2R g
，B 正确；在距地面高为R 处的卫星，根据万有引力提供向心力得212(2)2v Mm G R R =，解得21222
GM R g gR R
R ===，C 错误；在距地面高为R 处的卫星，根据万有引力提供向心力得2224π2(2)Mm G m R R T =⋅，解得32822π4πR R T R g g ==，D 错误. 12．答案：万有引力
解析：天体运动近似看成匀速圆周运动，中心天体对环绕天体的万有引力充当向心力。

13．答案：2
解析：质量为m 的宇航员在质量为M 、半径为R 的天体表面所受重力F 近似等于万有引力，则根据万有引力定律有
22Mm M F G R R =∝ 设宇航员在地球表面和星球表面的重力分别为1和2F ，由题意解得
1212
F F = 即这名宇航员在该星球表面的重力是他在地球表面的重力的2倍。

14．答案：重力加速度；半径
解析：略
15．答案：（1）232
4πr M GT =（2）23224πr g R T =（3）23124πr RT =解析：（1）地球绕比邻星运动，万有引力提供圆周运动向心力有
2224πMm G mr r T
= 可得比邻星的质量
232
4πr M GT = （2）在比邻星表面重力与万有引力相等有
2Mm G mg R
= 可得比邻星表面的重力加速度
232224πGM r g R R T
== （3）第一宇宙速度是近比邻星卫星的环绕速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有
212v Mm G m R R
= 可得第一宇宙速度
2312
4πGM r v R RT ==16．答案：（1）34πg GR （2）()32R h gR +解析：（1）在地球表面附近，有 2
Mm G mg R = 解得
2
M gR G
= 又
M V ρ=，3π43R = 得
34πg GR
ρ= （2）根据万有引力提供向心力，有
()2
224π()Mm G m R h R h T
=++ 解得
()32πR h T GM += 又知
2GM gR = 所以 ()322πR h T gR +=。