2019-2020学年甘肃省平凉市静宁县第一中学高一上学期期中数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年甘肃省平凉市静宁县第一中学高一上学期期
中数学（理）试题
一、单选题 1．已知全集，集合
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：∵
，
，
∴
.
【考点】一元二次不等式的解法、集合的补集运算.
2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2
y x -= B ．1
y x -=
C ．2
y x =
D ．13
y x =
【答案】A
【解析】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.2
y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A 。

【考点】本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质。

点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称。

3．若函数()211
1x x f x lgx
x ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)=
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】【详解】
因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2
((10))(1)112f f f ==+=,故选B. 【点评】
对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.
4．根据表格中的数据,可以断定函数3
()ln f x x x
=-
的零点所在的区间是 ( )
A ．(1,2)
B ．(2,)e
C ．(,3)e
D ．(3,5)
【答案】C
【解析】试题分析：由表可知
，所以函数
3
()ln f x x x
=-的零点所在的区间是(,3)e ，故选Ｃ．
【考点】函数的零点． 5．已知函数)
25f
x =+，则()f x 的解析式为( )
A ．()2
1f x x =+ B ．()()2
12f x x x =+≥
C ．()2
f x x =
D ．()()2
2f x x
x =≥
【答案】B
【解析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】
2t =,则2t ≥，所以()()()()2
2
24t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥
即()2
1f x x =+ ()2x ≥.
【点睛】
本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化. 6．已知函数(1)f x +的定义域为[－2, 3]，则(32)f x -的定义域为
A ．[-5,5]
B ．[-1,9]
C ．1[,2]2
-
D ．1,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】由已知求出()f x 的定义域，再由32x -在()f x 的定义域范围内求解x 的取值范围得到答案 【详解】
由函数()1f x +的定义域为[]
23-，
即23x -≤≤，得到114x -≤+≤，
则函数()f x 的定义域为[]
1
4-， 由1324x -≤-≤，解得1
22
x -
≤≤ 则()32f x -的定义域为122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 故选C 【点睛】
本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是求出函数()f x 的定义域，属于基础题。

7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 【详解】 ∵a=21.2，
=20.6＞20=1，
且21.2＞20.6，
而c=2log 52=log 54＜1， ∴c ＜b ＜a ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题． 8．函数lg |1|y x =-的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据函数的性质：定义域及对称性即可作出判断. 【详解】
解：y ＝lg |x ﹣1|可知函数的定义域为：(,1)(1,)-∞⋃+∞，函数的图象关于x ＝1对称． 由函数的图象可知，B 、C 、D 不满足题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，对称性以及函数的图象的变化趋势，以及函数经过的特殊点解决问题． 9．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】C
【解析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】
由题意得：(1)(1)1f g ---=，
又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以
(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 10．
已知函数
且
满足
，则实数
a 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】说明函数为上的减函数，由此可以列出关于的不等式组，由此解
得的组织范围. 【详解】 根据题意，说明函数为上的减函数，故
，解得
，故选
A. 【点睛】
本小题考查函数的单调性，考查指数函数和一次函数单调性.一次函数单调性由一次项的系数觉得，指数函数的单调性有底数来决定. 11．幂函数(
)
22
31
()69m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．2或4
【答案】C
【解析】由幂函数的定义得到方程2691m m -+=，求m 的值，再根据函数的单调性检验m 的值. 【详解】
由题意得：2
2691310m m m m ⎧-+=⎨-+>⎩ ,
解得244m m m ==⎧
⎪
=⎨⎪⎩
或或
【点睛】
本题考查幂函数y x α
=的单调性，即当0α>时，它在(0,)+∞单调递增.
12．已知01a <<，则函数()log x
a f x a x =-的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2,3或4
【答案】A
【解析】函数()x
a f x a log x =-的零点个数，等于函数x y a =和函数a y log x =的图
象的交点个数。

如图所示，
数行结合可得，函数x y a =和函数a y log x =的图象的交点个数为2， 故01a <<时，函数()x
a f x a log x =-的零点个数为2
故选A
点睛：本题主要考查的是函数的零点与方程根的关系。

函数()x
a f x a log x =-的零点
个数，等于函数x
y a =和函数a y log x =的图象的交点个数，然后画出图象，结合图
象得出结论。

二、填空题 13．函数的定义域为___．
【答案】
【解析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】
要使函数有意义，则，
解得
且
，
所以函数的定义域为：，
故答案是：. 【点睛】
该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.
14．函数()()2log 5(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为______．
【答案】()4,2-
【解析】令对数型函数()f x 中的真数等于1，求解出此时的x 并求出()f x ，即
()(),x f x 为所过的定点坐标.
【详解】
函数()()2log 5(0a f x x a =++>且1)a ≠，
令51x +=，求得4x =-，()2f x =，可得它的图象恒过定点()4,2-. 故答案为：()4,2-． 【点睛】
本题考查对数型函数的所过的定点问题，难度较易.对于形如
()()()log 0,1a f x g x b a a =+>≠的对数型函数，
其所过的定点坐标求法：令对数函数的真数部分为1，求解出x 同时求解出()f x ，此时的()()
,x f x 即为对数型函数所过点的定点.
15．若函数()2
4f x x x a =--的零点个数为2，则a 的范围是______．
【答案】{|0a a =或4}a >
【解析】将函数的零点个数问题转化为图象的交点个数问题：作出()2
4g x x x =-的
图象，再作出y a =的图象，考虑当()2
4g x x x =-与y a =有两个交点时a 的取值范
围. 【详解】
令()(][)
()
22
2
4,,04,44,0,4x x x g x x x x x x ⎧-∈-∞⋃+∞⎪=-=⎨-∈⎪⎩， 画出函数()g x 的图象，
当2x =时，()2 4.g =当0x =或4时，()()040g g ==．
∴当0a =或4a >时，函数()24f x x x a =--的零点个数为2．
故答案为：{|0a a =或4}a >． 【点睛】
本题考查利用数形结合的方法解决函数的零点个数问题，难度一般.
(1)函数()()()h x f x g x =-的零点个数⇔方程()()0f x g x -=的根的数目
⇔()f x 与()g x 的图象交点个数；
(2)利用数形结合思想不仅可以解决函数的零点个数、方程根的数目、函数图象的交点数问题，还可以研究函数的性质、解不等式或求解参数范围等. 16．下列结论中:
①定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f (x )
在R 上是增函数;②若f (2)=f (-2),则函数f (x )不是奇函数;③函数y=x -0.
5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x 0是二次函数y=f (x )的零点,且m<x 0<n ,那么f (m )f (n )<0一定成立. 写出上述所有正确结论的序号:_____. 【答案】①③.
【解析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】
①符合增函数定义,正确;
②不正确,如f (x )=0,x ∈R 是奇函数;
③正确,如图所示，画出函数图像草图可判断函数的单调性;
④对应法则和值域相同的函数定义域不一定相同，如()()101f x x =<<和
()()102g x x =<<;
⑤对于二次函数()2
23f x x x =--，3x =是函数的零点，1003100-<<，而
()()1001000f f -<不成立，题中的说法错误.
综上可得，所有正确结论的序号是①③. 【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，函数的定义域、值域，二次函数的性质，幂函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17．计算：()111010.25
34
2731(0.0081)
[3()][81(3)]88
--
----⨯⨯+；
(
)723
292log 2527log 3log 45log lg lg lg ++++⨯-． 【答案】（1）3；（2）
7
4
【解析】（1）利用分数指数幂的运算法则完成计算即可； （2）利用对数的运算法则以及换底公式完成计算即可. 【详解】 （1）111010.25
34
273(0.0081)
[3()][81(3)]88
--
----⨯⨯+；
11143140.25
432309(31)[3
()]2
⎛⎫
⎛⎫
⨯-⨯-- ⎪
⎪--⨯⎝⎭
⎝⎭=-⨯⨯+．， 1
210112()9333
-=-⨯+， 101
333
=
-=， （2
）723
29log 2527log 3log 453
log lg lg lg ++++⨯- ()14
3322
3
lg 25252223
lg lg log lg lg -=+⨯÷++
⨯， 1712144
=-++-=．
【点睛】
本题考查指数、对数的计算，难度较易. (1)
负分数指数幂的运算：)10,*,1m
n
m n
a
a m n N n a
-=
=
>∈>、；
(2)对数的换底公式：log log log c a c b
b a
=
(0a >且1a ≠，0c >且1c ≠，0b >).
18．设集合{|24}A y y =≤≤
，{|B x y ==
，{|12}C x t x t =+<<． ()1求A B ⋂；
()2若A C C ⋂=，求t 的取值范围．
【答案】（1）[)2,3；（2）(]
,2-∞
【解析】（1）集合A
所表示范围已知，求解出y =+的定义域即为集合B ，由此可求出A B 的结果；
（2）根据A C C =判断出,A C 的关系，由此列出不等式组求解出t 的范围即可.
【详解】
()1{|24}A y y =≤≤，{|03}B x x =≤<，
[)2,3A B ∴⋂=；
()
2A C C ⋂=，
C A ∴⊆，且{|12}C x t x t =+<<，
C ∴=∅①时，12t t +≥，解得1t ≤；
C ≠∅②时，11224t t t >⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，解得12t <≤，
t ∴的取值范围为(],2-∞．
【点睛】
本题考查集合间的基本运算以及根据集合间的运算结果求参数范围，难度一般.在集合
,A B 中，若A B A ⋃=，则B A ⊆；若A B A =，则A B ⊆.
19．已知指数函数()(0x
g x a a =>且1)a ≠的图象经过点()3,8P ．
（1）求函数()g x 的解析式；
（2）若(
)(
)
2
2
23125g x x g x x -+>+-，求x 的取值集合．
【答案】（1）()2x
g x =；（2） {|2x x <或}3x >. 【解析】（1）代入点()3,8P 即可求出底数，写出函数解析式（2）根据函数的单调性，可得2223125x x x x -+>+-，求解即可.
【详解】
（1）由题意设()x
g x a =（0a >且1a ≠）， ∴()g x 的图象经过点()3,8P
∵38a =，解得2a =，
∴()2x
g x =． （2）由（1）得函数()2x
g x =在R 上为增函数． ∵()()
2223125g x x g x x -+>+-，
∴2223125x x x x -+>+-，
整理得2560x x -+>，解得2x <或3x >，
∴实数x 的取值范围为{|2x x <或}3x >.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的解析式，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题. 20．若函数()220220
x x f x x x x ⎧=⎨---≤⎩，＞，，
（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数f （x ）图象；
（Ⅱ）利用图象写出函数f （x ）的值域、单调区间．
【答案】（Ⅰ）
（II ）值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]，
单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.
【解析】（I ）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出f （x ）的图象即可； （II ）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势，由图象读出这些信息即可.
【详解】
（Ⅰ）函数图象如图所示；
（II ）由图象可得函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），
单调递减区间为[﹣1，0]，
单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.
【点睛】
本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，辨清函数概念和性质是解决本题的关键.
21．已知定义域为R 的函数()221
x x a f x -+=+是奇函数． ()1求实数a 的值；
()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．
【答案】（1）1；（2）减函数，证明见解析
【解析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；
（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.
【详解】
()1根据题意，函数()221
x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021
a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212
x x
x x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；
()2由()1的结论，()12121221
x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，
则()()()(
)()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，
则()()120f x f x ->，
则函数()f x 在R 上为减函数．
【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.
22．已知函数
()()
21223f x log x ax =-+． ()1若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；
()2若()13f -=-，求()f x 的单调区间；
()3是否存在实数a ，使()f x 在(),2-∞上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存
在，说明理由．
【答案】（1）a <<（2）在(),1-∞上为增函数，在()3,+∞上为减函数；（3）不存在实数a ，使()f x 在(),2-∞上为增函数
【解析】（1）定义域为R ，说明真数部分恒大于零，利用一元二次方程的∆满足的不等式计算a 的取值范围；
（2）先根据条件计算出a 的值，然后分析对数式的真数大于零以及二次函数的开口方向和对称轴，由此求解出单调区间；
（3）分析真数部分的二次函数的对称轴以及单调性，由此确定出a 满足的不等式，根据其解集即可判断出是否存在a 满足要求.
【详解】
()1函数()()
2
1223f x log x ax =-+的定义域为R ， 2230x ax ∴-+>恒成立，
则∆<0，即24120a -<，
解得a 的取值范围是a <<
()()213f -=-，
2a ∴=．
则
()()
21243f x log x x =-+， 由2430x x -+>，得1x <或3x >．
设()2
43m x x x =-+，对称轴2x =， ()m x ∴在(),1-∞上为减函数，在()3,+∞上为增函数．
根据复合函数单调性规律可判断：
()f x 在(),1-∞上为增函数，在()3,+∞上为减函数．
()3函数
()()
21223f x log x ax =-+． 设()2
23n x x ax =-+， 可知在(),a -∞上为减函数，在(),a +∞上为增函数，
()f x 在(),2-∞上为增函数，
2a ∴≥且4430a -+≥，2a ≥且74
a ≤，不可能成立． ∴不存在实数a ，使()f x 在(),2-∞上为增函数．
【点睛】
本题考查复合函数(对数函数与二次函数复合)的单调性的综合应用，难度一般.求解复合函数的单调性时注意一个原则：同増异减（内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，反之则为减函数）.。