初中数学《一次函数图像及性质》讲义及练习

板块
考试要求
A 级要求
B 级要求
C 级要求
函数及 其图象 了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系
能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析
一次 函数
理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质
会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
能用一次函数解决实际问题
一、函数与变量
常量与变量的概念：
我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．
在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．
在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；
◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，
否则y 不是x 的函数．
◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的
取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．
知识点睛
中考要求
第一讲 一次函数的图像及
性质
◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
关于函数的关系式(即解析式)的理解：
● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．
例如：y x 是自变量，y 是x 的函数． ● 函数关系式在书写时有顺序性．
例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13
y
x -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．
自变量的取值范围：
很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；
当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥．
在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0． ⑶实际问题：符合实际意义．
函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．
描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．
函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
二、一次函数及其性质
● 知识点一 一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
● 知识点二 一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条
直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．
● 知识点三 一次函数的性质 ⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．
● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号
⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．
当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．
● 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
二、含有绝对值的一次函数
对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．
我们知道，函数y x a =-，当x a =时，y 取最小值0.函数1212()y x a x a a a =-+-<，
若2x a >，则121221()()2()y x a x a x a a a a =-+-=-+>-； 若1x a <，则121221()()()2y a x a x a a x a a =-+-=+->-； 当12a x a ≤≤时，y 取最小值1221()()y x a a x a a =-+-=-．
在数学竞赛中，有这样一类问题非常普遍：
设121n n a a a a -<<<<…，当x 为何值时，函数121n n y x a x a x a x a -=-+-++-+-…取最小值？ 下面我们给出这类问题的一般性结论． 对于函数11n y x a x a =-+-，
当1n a x a ≤≤时，1y 取得最小值1n a a -.同理，
当21n a x a -≤≤时，函数221n y x a x a -=-+-取得最小值12n a a --；
当32n a x a -≤≤时，332n y x a x a -=-+-取得最小值23n a a --；……于是我们得到：
⑴ 若n 为奇数，当12
n x a +=时，1122n n y x a ++=-取最小值0，此时，1212
n y y y +，，…，都取得最小值，则
1212n y y y y +=++…+取得最小值1112122n n n n a a a a a a -++⎛⎫⎛⎫
+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……．
⑵ 若n 为偶数，当1
2
2n n a x a +≤≤时，1
222
n n n
y x a x a +=-+-取得最小值1
22
n n a a +-，此时，122
n y y y ，，…，
都取得最小值，故122n y y y y =+++…取得最小值1121
22n n n n a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫
+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……．
这一点从图象上也不难看出.当1x a <或n x a >时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各段在区间[]1(121)i i a a i n +=-，，，…，上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．
重难点：1. 能在具体的实例中分清常量、变量
2. 结合函数的三种表达形式学会并掌握求函数值及自变量取值范围方法
3.通过对实际问题中的数量之间的相互依存关系探索，
4. 对函数概念的理解及对函数模型思想的应用．
5.一次函数的图像及其性质.
6. 学会利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学应用能力，建立良好的知识联系
重、难点
一、函数图像
板块一、函数及其自变量取值范围
【例1】 通过阅读理解函数和变量的概念，判断下列变量y 是否是x 的函数：
⑴x 表示小猪，y 表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）； ⑵x 表示“喜羊羊”，y 表示“喜羊羊”的好朋友． 【解析】 ⑴是函数；⑵不是函数
【例2】 分别指出下列关系式中的变量与常量：
球的表面积2cm S （）与球半径(cm)R 的关系式是24S R π=；
设圆柱的底面半径()R m 不变，圆柱的体积3()V m 与圆柱的高()h m 的关系式是2V R h π=。

【解析】 （1）变量是S 、R ；常量是4π
（2）变量是V 、h ；常量是2πR
【例3】 判断下列式子中y 是否是x 的函数．
⑴22(35)y x =-
⑵315y x =
⑶12y x =-
⑷8y x =-
【解析】 ⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y 有唯一值与x 对应”．
【巩固】 判断下列式子中y 是否是x 的函数．
⑴22(21)y x =-
⑵3y x =
⑶2y x =-
⑷3y x =-
【解析】 ⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y 有唯一值与x 对应”．
【例4】 ⑴（★）（08 四川广安）下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.
⑵（★）小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．
【解析】 ⑴C ；
⑵5012y x =+（1x ≥且x 是整数）．
【巩固】 下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是( )
例题精讲
y
x
D
y
x
A y x
C y
O
B
x
A B C D
【解析】y有唯一值与x对应，选择D.
【例5】求下列函数自变量的取值范围（）
（1）25
y x
=-（2）
5
2
x
y
x
-
=
-
【解析】对于（1），x取全体实数，函数都有意义；对于（2），只需保证分母20
x-≠，就能使函数有意义。

答案：（1）自变量x的取值范围是全体实数；
（2）自变量的取值范围是2
x≠。

【巩固】⑴
函数y中自变量x的取值范围是（）
A．
1
2
x-
≥B．
1
2
x≥C．
1
2
x≤-D．
1
2
x≤
⑵
函数y=的自变量x的取值范围是．
⑶在函数
1
21
y
x
=
-
中，自变量x的取值范围是．
【解析】⑴B；⑵1
x>；⑶
1
2
x≠；
【例6】等腰ABC
∆周长为10cm，底边BC长为cm
y，腰长为cm
x。

（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）求y的取值范围。

【解析】（1）由题意，得x10
x y
++=,即102
y x
=-
（2）因为x、y为线段，所以0
x>，0
y>。

所以1020
x
->
所以05
x
<<
因为x、y为三角形的边长，所以x x y
+>，即2102
x x
>-，
所以 2.5
x>
所以2.55
x
<<
（3）由2.55
x
<<，得5210
x
<<
所以1025
x
-<-<-，所以01025
x
<-<
因此，y的取值范围是05
y
<<
【巩固】根据你的理解写出下列y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
⑴某人骑车以6/
m s是速度匀速运动的路程y与时间x，解析式：，定义域：；
⑵正方形的面积y与边长x，解析式：，定义域：；
⑶等腰三角形的底角的度数y与顶角的度数x，解析式：，定义域：；【解析】⑴6
y x
=，0
x≥；⑵2
y x
=，0
x>；⑶
180
2
x
y
︒-
=，0<<180
x︒
【例7】求下列函数中自变量x的取值范围：
⑴3
231
y x x
=++⑵22
x
y
-
=⑶y=
⑷y=⑸y=⑹
2
1
1
y
x
=
+
【解析】⑴x为任意实数；⑵3
x≠；⑶由720
x
-≥，解得
7
2
x≤；⑷由
230
730
x
x
-
⎧
⎨
-
⎩
≥
≥
，解得
37
23
x
≤≤；
⑸由
240
3
x
x
-
⎧
⎨
≠
⎩
≥
，解得2
x≥，且3
x≠；⑹0
x≠，且1
x≠-．
二、实际问题中函数及其图象
【例8】打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时(洗衣机内无水)，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系，其函数图象大致为( )
A B C D
【解析】选择D.
【巩固】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是(
)
A B C D
【解析】选择B
【例9】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是( )
分)
分)
分)
分)
A B C D
【解析】选择D
【巩固】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的
大致图象为( )
A
B
C D
【解析】选择A，当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的
3
4
，所以选择A，
C的描述比例不符合
.
【巩固】如图，在矩形ABCD中，AB=2，1
BC=，动点P从点B出发，沿路线B C D
→→作匀速运动，那么ABP
∆的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）
【解析】答案：B
了解P点的运动路线，根据已知矩形的长和宽求出当点P运动到C点时的S值为1，即当x为1
时的S值为1，之后面积保持不变。

【例10】（09浙江）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时
间为t，蚂蚁到O点的距离
．．为S，则S关于t的函数图象大致为（）
D C
B
A
A．B．C．D．
B
A
O
A．B．C．D．
【解析】 Ｃ．
【例11】 写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．
【解析】 1
902
y x =-．
【例12】 等腰三角形的周长为60，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系，并写出自变量的取值
范围？
【解析】 602y x =-，由三角形的三边关系可得：2x y >，0x >，0y >，可得1530x <<．
【巩固】⑴等腰三角形的周长为20，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围？
⑵某礼堂共有25排座，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位．求每排座位数y 与这排的排数x 的函数关系，并写出自变量的取值范围．
【解析】 ⑴202y x =-，由三角形的三边关系可得：2x y >，0x >，0y >，可得510x <<．
⑵20(1)119y x x =+-⋅=+，自变量取值范围：125x ≤≤，且是整数．
【巩固】如图，周长为24的凸五边形ABCDE 被对角线BE 分为等腰ABE ∆
及矩形BCDE ，AE DE =，设AB 的长为x ，CD 的长为y ，求y 与 x 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．
【解析】 244y x =-，在ABE ∆中，2244x x >-，所以4x >，故46x <<．
y
x x x
x D
C
E B A
板块二、一次函数图象及其性质
1.二次函数图象的几何变换
【例13】 在坐标系中画出下列函数的图象.
⑴2y x =；23y x =+；21y x =-；⑵12y x =-；122y x =-+；1
22
y x =--
2
2
【解析】注意先找符合函数解析式的两点，在坐标系内标出这两点位置，过这两点做直线即可.
从这两组函数图象中注意总结归纳：
⑴直线y kx b
=+(0
k≠)可以看成由直线y kx
=平移得到，所以对于任意0
b≠，
直线y kx b
=+(0
k≠)与直线y kx
=平行；
根据平行线的传递性,可以对于任意的0
k≠，m n
≠，直线y kx m
=+与直线y kx n
=+平行．
⑵当0
k>时，直线y kx b
=+从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当0
k<时，直线y kx b
=+从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．
⑶当0
k>时，直线y kx
=过一、三象限；当0
k<时，直线y kx
=过二、四象限；
当0
k>，0
b>时，直线y kx b
=+过一、二、三象限；
当0
k>，0
b<时，直线y kx b
=+过一、三、四象限；
当0
k<，0
b>时，直线y kx b
=+过一、二、四象限；
当0
k<，0
b<时，直线y kx b
=+过二、三、四象限.
【例14】⑴一次函数23
y x
=-的图象可以看成由正比例函数2
y x
=的图象向(填“上”和“下”)平移个单位得到的．
⑵直线2(2)
y x
=-可以由直线2
y x
=向平移个单位得到的．
⑶(06年青海省中考题)直线22
y x
=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的
解析式是.
【解析】（1）下，3；（2）下，4
⑶2(3)2226
y x x
=-+-=-．
【巩固】把函数2
y x
=的图像向右平行移动3个单位，求：
⑴平移后得到的直线解析式；
⑵平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．
【解析】⑴因为直线2
y x
=向右平移3个单位，所以2
k=，且平移后经过点()
30
，．设所求解析式为2
y x b
=+，将()
30，代入，得6
b=-．所以所求直线解析式为26
y x
=-．
⑵ 因为到两坐标轴距离相等的点在直线y x =或y x =-上，所以解方程组 26y x y x =-⎧⎨
=⎩，，和26y x y x =-⎧⎨=-⎩
，
， 得66x y =⎧⎨=⎩
，，和22x y =⎧⎨=-⎩，．
2.一次函数的图象性质
【例15】 一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ；
当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b <时，直线y kx b =+过 象限.
(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为 、 ； 其中 、 分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距.
【解析】 一条直线；一、二、三；一、三、四；一、二、四；二、三、四；
(b k -，0)、(0，)b ；b
k -、b .
【巩固】 (江苏省初中数学竞赛试题)已知一次函数y kx b =+中，0kb <，则这样的一次函数的图像必经过
的公共象限有 个，即第 象限．
【解析】 因一次函数y kx b =+中，0kb <，则k 值与b 值有两种情况，
即①0k >，0b <；②0k <，0b >；
故它的图像必经过的公共象限有2个，即第一、四象限．
【例16】 ⑴如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( )
A ．0k >，0b >
B ．0k >，0b <
C ．0k <，0b >
D ．0k <，0b <
⑵已知一次函数y kx b =+的图象经过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且12x x <,12y y <，则( ) A ．0k > B ．0k <，0b > C ．0k <，0b < D ．0k < ⑶已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
⑷如图，一次函数1
y ax a
=+的图象大致是(
)
A B C
⑸若0ab >，0bc <，则a a
y x b c
=--经过( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、三、四象限
C ．第一、二、四象限
D ．第二、三、四象限
【解析】 ⑴B ，⑵A ，⑶A ，⑷B ，⑸C ．
【巩固】一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?
【解析】 假设函数图象不经过第三象限，应有20
30k k -<⎧⎨-⎩
≥,这个不等式组无解，
所以假设不正确，即已知函数的图象一定经过第三象限．
【巩固】(全国初中数学竞赛试题)
已知0abc =/，并且
a b b c c a
p c a b
+++===，则直线y px p =+一定通过 象限． 【解析】 由已知得：a b cp +=①，b c ap +=②，c a bp +=③
①+②+③，得：2()()a b c p a b c ++=++ 0a b c ++=/时，2P =，这时，22y x =+，直线经过一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1P =-，这时1y x =--，直线经过二、三、四象限． 故可知直线y px p =+一定通过二、三象限．
【巩固】 已知a b c a b c a b c
k c b a
+--+-++=
==
，且296n n +=．问关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图像一定经过哪几个象限？
【解析】 由题意得a b c ck a b c bk a b c ak +-=⎧⎪
-+=⎨⎪-++=⎩
，，，
三式相加得()()a b c k a b c ++=++． 当0a b c ++≠时，1k =； 当0a b c ++=时，2k =-．
296n n +=，
()2
30n -=，
所以5m =-，3n =，
则一次函数为22y x =--，
或2y x =-．因此图像一定经过第三、四象限．
【例17】 若一次函数2
2222m m y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值． 【解析】 依题意，得：2221m m --=且20m ->
∴2230m m --=且20m -> (3)(1)0m m -+=且20m -> 解得31m =-、
且2m > ∴3m =
【巩固】若一次函数2(1)12
k
y k =-+
-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是 ． 【解析】 由题意，2(1)0102
k k -<⎧⎪
⎨-<⎪⎩解不等式组得出k 的取值范围12k <<。

【巩固】如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）
A.00k b >>，
B.00k b ><，
C.00k b <>，
D.00k b <<， 【解析】 一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与
轴负半轴相交，画出大致图像，则k>0，b<o
答案：B
【例18】 (2006安徽)一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．
【解析】 1y x =--（不唯一）考查一次函数的性质．
【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．
【解析】 减小，设函数y kx b =+的图象过点()0,3()2,1，∴321b k b =⎧⎨+=⎩
，∴1k =-，一次函数y 随x 的增
大而减小．
【例19】 已知点()()1242y y -，，，
都在直线1
22
y x =-+上，则12y y ，大小关系是（ ） A ．12y y > B. 12y y = C ．12y y < D ．不能比较
【解析】 考察一次函数的性质，1
22
y x =-+的0k <，则y 随x 的减小而增大
答案：A
【巩固】若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设11
1
y M x +=
，22
1
y N x +=
，则（ ） A. M N > B. M N < C. M N = D. 以上都不对
【解析】
111113113y x M x x +-+===，22
1y N x +=22311
3x x -+==， 所以M N = 答案：C
【例20】 ⑴(07年福建福州中考题)已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围
是 .
y
x
O
⑵（05年湖北襄樊市中考题)若一次函数1
2(1)12
y k x k =-+-的图像不过第一象限，则k 的取值
范围是___________.
⑶ 若0ab >，0bc <，则a a
y x b c
=-+经过( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、三、四象限
C ．第一、二、四象限
D ．第二、三、四象限
【解析】 ⑴根据题意可得：50
10a a ->⎧⎨->⎩
，解得15a <<；
⑵由题意可得：2(1)01102k k -<⎧⎪
⎨-≤⎪⎩，解得12k <≤；
⑶根据题意可得0a b -<，0a
c
<，故选择D ；
【例21】 (03青州市中考试题)下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为
常数且0mn ≠)的图像是下图中的( )
x
y
O
x
y
O x y
O
O y
x
A B C D
【解析】 解此类图像题时，采用假设法，即假设其中一条直线的位置是正确的，据此推出参数的符号，
然后根据参数的符号来判断另一条直线的位置是否正确. 据此判断可知，选A ．
【巩固】（09安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）
【解析】 由y kx b =+的图象，00k b >>，
，与x 轴交点为0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，因为y kx b =+与2y kx b =+相交于y 轴上的同一点，所以b 值相同，2y kx b =+与x 轴交点坐标为02b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
答案：C
【巩固】(05年山东滨州中考试题)如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是 .
l
l
【解析】
2143k k k k <<<.我们探究可以发现：k 越大，越接近于y 轴；k 越小，越接近于x 轴.k 在各个象限的增大境况如图所示.
3.含绝对值的一次函数（选讲）
【例22】 ⑴ 作函数31y x x =-+-的图象，并根据图象求出函数的最小值．
⑵ 函数32y x =--的图象如图所示，求点A 与点B 的坐标．
【解析】 ⑴ 24(3)2(13)24(1)x x y x x x -⎧⎪
=⎨⎪-+<⎩
≥≤≤，，，
根据表达式作图如下：
由图象可知，当13x ≤≤时，函数的最小值为2．
⑵ 函数32y x =--写成分段函数的形式如下：
()()5212x x y x x ⎧-⎪=⎨
+<⎪⎩
≥，
， 令512x x x -=+⇒=，此时3y =，故()50B ，； 令0y =，505x x -=⇒=，故()50A ，
． 点评：对于绝对值函数，一般均需要进行分段讨论，其目的是去掉绝对值符号，划归为我们已经
熟悉形式．
【例23】 ⑴ 已知方程x ax b =+有一个负根而且没有正根，求a 的取值范围．
⑵ 关于x 的方程21x a --=恰有三个根，求a 的值．
【解析】 ⑴ 原方程的根可以看作函数y x =与y ax b =+的交点的横坐标，方程有一个负根而没有正根，
说明过点()01，
的直线与第二象限的角平分线相交而不与第一象限的角平分线相交． 如图所示，显然，当1a ≥时满足题目要求．
⑵ 易得()()()()333232111211x x x x x x x x x ⎧-≥⎪
-+≤<⎪--=⎨-≤<⎪⎪-+<⎩
，，
，，
则21y x =--表示折线ABCDE ，其中()()()102130B C D ，，，，，，如图所示．
令y a =，它的图象是平行于x 轴的一条直线，显然只有当直线过点C 时与折线恰有三个交点，此时1a =．
点评：对于题⑵，关于函数21y x =--的图象，我们可以用下面的方法进行快速作图： 首先作出函数2y x =-的图象（见第一个图）；将x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方就得到函数2y x =-的图象（见第二个图）
；将函数2y x =-的图象向下平移1个单位，就得到函数21y x =--的图象（见第三个图）；将x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方就得到函数21y
x =--的图象（见第四个图）．
【习题1】 求下列函数中自变量x 的取值范围:
⑴211
x y x +=+- ⑵2113y x =+ ⑶21
4y x =
- ⑷34
1x y x -=
- ⑸1x y x
-= 【解析】 ⑴1x ≥；⑵x 为任意实数；⑶2x ≠±；⑷由34010x x -⎧⎨-≠⎩≥，解得431
x x ⎧
⎪⎨⎪≠⎩≥
，因此43x ≥；⑸0x >．
【习题2】 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分
同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，1l 、2l 分别表 示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y (千米) 与所用时间x (分钟)之间的函数图象，则以下判断错误 的是( )
A ．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B ．步行的速度是6千米/时
C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了20分钟
D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地
【解析】选择D ．
【习题3】 已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- (k 为常数)的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围． 【解析】由题意可知30
20k k ->⎧⎨->⎩
，解得23k <<．
【习题4】 函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠)在同一坐标系中的图像可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
②
②②
②
①
①
①
①
O
x y
O x
y
O
x y
y
x O
【解析】 D ．
【备选1】 写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．
⑴直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．
月测备选
家庭作业
⑵如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量Q (3m )与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系．
⑶某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后,则利息(y 元)与所存月数x 之间函数关系．
【解析】 ⑴90y x =-，常量：90，自变量：x ，因变量：y ，自变量取值范围：090x <<；
⑵2
π4
a D Q =，常量：π4a ，自变量：D ，因变量：Q ，自变量取值范围：0D <；
⑶0.2y x =，常量：0.2，自变量：x ，因变量：y ，自变量取值范围： 0x >的整数．
【备选2】 ⑴将直线2y x =向右平移2个单位所得的直线的解析式是 .
⑵直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式 是 .
【解析】 ⑴2(2)24y x x =-=-；⑵2(3)2226y x x =-+-=-
【点评】若一次函数图像左右平移，与x 轴正方向相同减，相反加；
上下平移，与y 轴正方向相同减，相反加.
【备选3】 下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限 ( )
A ．y x =
B ．()3.14πy x =-
C ．π2y x ⎫=⎪⎭
D ．(5y x =-
【解析】 选择D.
【备选4】 已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是 .
【解析】 根据题意可得：5010
a a ->⎧⎨->⎩，解得15a <<．。