高考数学一轮复习高考必考题突破讲座(二)三角函数、解三角形、平面向量及其应用课件
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第 四 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
高考必考题突破讲座(二) 三角函数、解三角形、平面向量及其应用
题型特点 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查 三角函数、解三角形．该部分解答题是高 考得分的基本组成部分，考查的热点题型
考情分析 2017·江苏卷，16 2017·浙江卷，18 2017·北京卷，17
2π (1)f(x)的最小正周期为 T＝ ＝2π. 1 3π π π π π 3π (2)因为－π≤x≤0，所以－ ≤x＋ ≤ ，当 x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时，f(x)取得 4 4 4 4 2 4 2 最小值为－1－ . 2
cos A 【例 2】 (2016· 四川卷)在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且 a cos B sin C ＋ ＝ . b c (1)证明：sin Asin B＝sin C； 6 (2)若 b ＋c －a ＝ bc，求 tan B． 5
(2)f(x)＝a· b＝3cos x－ 3sin x＝2
π 3cosx＋6 .
π π 7π 因ຫໍສະໝຸດ x∈[0，π]，所以 x＋ ∈6， 6 ， 6 π 从而－1≤cosx＋6 ≤
3 . 2
π π 于是，当 x＋ ＝ ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 6 6 π 5π 当 x＋ ＝π，即 x＝ 时，f(x)取到最小值－2 3. 6 6
命 题 热 点
1．三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角 函数的五点作图法、图象变换、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性
等问题的求解，通常先将给出的函数化简为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用变量
代换的方法求解．
2．解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律 可以从以下两方面看： (1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三
π 3 1 ＝ cos 2ωx－ sin 2ωx＝－sin2ωx－3 . 2 2
π 因为 y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ， 4 π 故该函数的周期 T＝4× ＝π. 4 2π 又 ω>0，所以 ＝π，因此 ω＝1. 2ω
(2)由(1)知
π f(x)＝－sin2x－3 .
角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系，考查学生利用三角函数公式
处理问题的能力； (2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理， 在知识的交汇处命题．
3．三角函数与平面向量的综合 三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面： (1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获 得三角函数解析式； (2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解 决问题．
典 题 剖 析
x x 2x 【例 1】 已知函数 f(x)＝ 2sin cos － 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
1－cos x π 1 2 2 2 2 解析 f(x)＝ 2× sin x－ 2× ＝ sin x＋ cos x－ ＝sinx＋4－ . 2 2 2 2 2 2
6 (2)由已知 b ＋c －a ＝ bc，根据余弦定理，有 5
2 2 2
b2＋c2－a2 3 cos A＝ ＝ . 2bc 5 4 所以 sin A＝ 1－cos A＝ . 5
2
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 4 4 3 所以 sin B＝ cos B＋ sin B， 5 5 5 sin B 故 tan B＝ ＝4. cos B
3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时， ≤2x－ ≤ ， 2 3 3 3
π 3 5π 5π 结合图象(图略)知－ ＝sin ≤sin2x－3≤sin ＝1， 2 3 2
【例 3】 (2017· 江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a· b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
解析 (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，所以－ 3cos x－3sin x＝ 0. 3 5π 所以 tan x＝－ ，又 x∈[0，π]，所以 x＝ . 3 6
突 破 训 练
3 1． 设函数 f(x)＝ － 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)， 且 y＝f(x)的图象的一个对称 2 π 中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值； (2)求
3π f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值．
1－cos 2ωx 1 3 解析 (1)f(x)＝ － 3· － sin 2ωx 2 2 2
2 2 2
解析 (1)证明：在△ABC 中，根据正弦定理， a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． cos A cos B sin C 代入 ＋ ＝ 中， a b c cos A cos B sin C 有 ＋ ＝ ，变形可得 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C．
命题趋势
主要是在三角恒等
变换的基础上融合 正、余弦定理，在 知识的交汇处命题 仍然是命题的关注 点.
有：一是考查三角函数的图象变换以及单
调性、最值等；二是考查解三角形问题； 三是考查三角函数、解三角形与平面向量
2016·山东卷，17
分值：12分
的交汇性问题.
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命 题 热 点
典 题 剖 析
突 破 训 练
高考必考题突破讲座(二) 三角函数、解三角形、平面向量及其应用
题型特点 从近几年的高考试题看，全国卷交替考查 三角函数、解三角形．该部分解答题是高 考得分的基本组成部分，考查的热点题型
考情分析 2017·江苏卷，16 2017·浙江卷，18 2017·北京卷，17
2π (1)f(x)的最小正周期为 T＝ ＝2π. 1 3π π π π π 3π (2)因为－π≤x≤0，所以－ ≤x＋ ≤ ，当 x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时，f(x)取得 4 4 4 4 2 4 2 最小值为－1－ . 2
cos A 【例 2】 (2016· 四川卷)在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 且 a cos B sin C ＋ ＝ . b c (1)证明：sin Asin B＝sin C； 6 (2)若 b ＋c －a ＝ bc，求 tan B． 5
(2)f(x)＝a· b＝3cos x－ 3sin x＝2
π 3cosx＋6 .
π π 7π 因ຫໍສະໝຸດ x∈[0，π]，所以 x＋ ∈6， 6 ， 6 π 从而－1≤cosx＋6 ≤
3 . 2
π π 于是，当 x＋ ＝ ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 6 6 π 5π 当 x＋ ＝π，即 x＝ 时，f(x)取到最小值－2 3. 6 6
命 题 热 点
1．三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角 函数的五点作图法、图象变换、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性
等问题的求解，通常先将给出的函数化简为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用变量
代换的方法求解．
2．解三角形 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律 可以从以下两方面看： (1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三
π 3 1 ＝ cos 2ωx－ sin 2ωx＝－sin2ωx－3 . 2 2
π 因为 y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ， 4 π 故该函数的周期 T＝4× ＝π. 4 2π 又 ω>0，所以 ＝π，因此 ω＝1. 2ω
(2)由(1)知
π f(x)＝－sin2x－3 .
角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系，考查学生利用三角函数公式
处理问题的能力； (2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理， 在知识的交汇处命题．
3．三角函数与平面向量的综合 三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面： (1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获 得三角函数解析式； (2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解 决问题．
典 题 剖 析
x x 2x 【例 1】 已知函数 f(x)＝ 2sin cos － 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
1－cos x π 1 2 2 2 2 解析 f(x)＝ 2× sin x－ 2× ＝ sin x＋ cos x－ ＝sinx＋4－ . 2 2 2 2 2 2
6 (2)由已知 b ＋c －a ＝ bc，根据余弦定理，有 5
2 2 2
b2＋c2－a2 3 cos A＝ ＝ . 2bc 5 4 所以 sin A＝ 1－cos A＝ . 5
2
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 4 4 3 所以 sin B＝ cos B＋ sin B， 5 5 5 sin B 故 tan B＝ ＝4. cos B
3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时， ≤2x－ ≤ ， 2 3 3 3
π 3 5π 5π 结合图象(图略)知－ ＝sin ≤sin2x－3≤sin ＝1， 2 3 2
【例 3】 (2017· 江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a· b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
解析 (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，所以－ 3cos x－3sin x＝ 0. 3 5π 所以 tan x＝－ ，又 x∈[0，π]，所以 x＝ . 3 6
突 破 训 练
3 1． 设函数 f(x)＝ － 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)， 且 y＝f(x)的图象的一个对称 2 π 中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值； (2)求
3π f(x)在区间π， 2 上的最大值和最小值．
1－cos 2ωx 1 3 解析 (1)f(x)＝ － 3· － sin 2ωx 2 2 2
2 2 2
解析 (1)证明：在△ABC 中，根据正弦定理， a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． cos A cos B sin C 代入 ＋ ＝ 中， a b c cos A cos B sin C 有 ＋ ＝ ，变形可得 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C．
命题趋势
主要是在三角恒等
变换的基础上融合 正、余弦定理，在 知识的交汇处命题 仍然是命题的关注 点.
有：一是考查三角函数的图象变换以及单
调性、最值等；二是考查解三角形问题； 三是考查三角函数、解三角形与平面向量
2016·山东卷，17
分值：12分
的交汇性问题.
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命 题 热 点
典 题 剖 析
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