导弹最优导引律仿真分析(例子)

到限制，导弹结构能承受的最大过载也受到限制，所以控制信号 u 应该受到限制，因此，选
择下列形式的二次型指标函数
( ) ( ) ∫ ( ) J = 1 X T 2
tf
CX t f
+ 1 tf 2 t0
X T QX + U T RU dt
⎡c1 0 0 0 ⎤ ⎡0 0 0 0⎤
式中，
C
=
⎢ ⎢
0
c2
0
0
⎥ ⎥
,
Q
=
⎢⎢0
0
0
0⎥⎥
⎢0
⎢ ⎣
0
0 0
c3 0
0⎥
c4
⎥ ⎦
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦
2.2.2 最优导引律
（11）
完全考虑弹体二阶振荡环节时，假定目标不机动，导弹运动的状态方程见式（8），即
•
X = AX + Bu
（12）
⎡0 1 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
式中， A = ⎢⎢0 0 VD ⎢0 0 0
]
2(t f − t)2 + 6(t f − t)
ω
ω2
−
15 4ω
2
3
]
K3 (t) =
KDVD [(t f
− t)3
3 ω2 3 −
(t f
−t −
3 )2 ω
2(t f ω
− t)2
+
6(t f − t) ω2
−
15 4ω
2
3
]
最优导引方框图如图 3 所示。
6
u(σ )
KDω 2
+
1 s x4 1 s x3 VD +
号输出，导弹按无控飞行。导引头也不是一下子就停止工作，使逐步地从正常工作过渡到完
全停止工作，导引头从逐步开始停止工作到遭遇目标的时间大约为 0.5 秒左右，所以在导弹
整个控制飞行阶段，可按推导出的公式计算最优控制信号，同时也可改写成下列形式
•
•
••
u* = −K1 (t ) q− K2 (t )θ − K3 (t )θ
− t)2
(t f
−t −
2
••
)θ}
ω
KDVD [(t f
−t)3 − 3
2(tf −t)2 + 6(tf −t) −15 2]
ω
ω2
4ω3
（19）
从上式可看出，考虑到弹体的二阶振荡环节动态特性后，最优导引规律的主项是变系数
比例导引，另外加上航迹角角速度和角加速度的反馈。
一般导引头都有盲区距离，当导引头接近目标 100~200 米时，导引头停止工作。没有信
信号 u。 为了使弹体能作为一个环节进行动态特性分析，需要求出以操纵机构偏转（气动舵面偏
转或推力矢量方向改变）为输入，姿态运动参数为输出的传递函数。若不考虑舵机惯性，但
。
考虑导弹二次振荡环节时，以舵偏角 δ 作为导弹的输入，θ 作弹体的输出，则弹体的传递函
数为
•
KD
θ=
KD
=
TD2
=
KDω2
δ
TD2 S 2 + 2ξTD S + 1
导弹最优导引律仿真分析
一、研究内容
运用 Simulink 工具应用最优控制理论来研究自动导引的空-空或地-空导弹的最优导引 规律，并使用 GUI 工具进行模型参数的设置及仿真结果的显示。
二、数学模型
2.1 导弹和目标相对运动的数学模型 导弹与目标的运动关系是非线性的，应把导弹与目标的运动方程相对于理想弹道线性 化，得出导弹和目标相对运动的状态方程。 设导弹和目标在同一平面内运动，如图 1 所示。
A
b Target1
v2
plane
x ,z tt
xe,ze θ
3DoF Animation
daodan
6
Clock1
t1
0.317 KD
K4 KD u fcn y w
2 plane 1
r
u fcn x
3 missile 1
v1 weizhi
q missile
06.5
1 x v1 v 2 fcn tf u0
−2εω
1 s x2 1 s x1
−ω 2
−K3
−K2 −K1
图 3 最优导引方框图
1 VC (tf − t)
1 VC (t f − t)2
三、仿真模型的实现
运用 Simulink 工具进行仿真模型的实现，并使用 GUI 工具进行模型参数的设置及部分
仿真结果的显示，详见图 4~图 6。
-C-
B
-C-
（4）
•
•
式中，VM θ M 表示目标的横向加速度，VD θ 表示导弹的横向加速度，分别以 aM 和aD 表
示，则
•
x2 = aM − aD
（5）
导弹的横向加速度 aD 为一控制量。控制信号加给舵机，舵面偏转后弹体产生攻角θ ，
而后产生横向过载。把式（5）中 aD 前的负号移至控制信号 u 中，并假定舵偏角 δ 等于控制
指标函数见式（11），即
( ) ( ) ∫ ( ) J = 1 X T 2
tf
CX t f
+ 1 tf 2 t0
X T QX + U T RU dt
在指标函数中不考虑导弹的相对速度项 x2 ，也不考虑 x3和x4 项，则
（13）
⎡c1 0 0 0⎤
⎡0 0 0 0⎤
C=
⎢ ⎢
0
0
0
0⎥⎥ ， Q= ⎢⎢0
−t −
2 ω
){x1
+
(t
f
− t)x2
+[
2(t f ω
−
t)
−
1 ω2
]x3
+
[
(t
f− ω2
t)
−
2 ω3
]x4 }
（17）
KDVD [ (t f
− t)3 3
−
2(t f − t)2 + 2(t f − t) − 5 2 ]
ω
ω2
ω3
或
5
3Vc (t f u* = −
− t)2 (t f
由于设θ 和θM 很小，因此 sinθM ≈ θM , sinθ ≈ θ , cosθM ≈ 1, cosθ ≈ 1，则
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
•
x
≈
•
y
VM θM ≈ VM
− VDθ − VD
（3）
•
以 x1 表示 x， x2表示 x 则
⎧⎪
⎨ ⎪⎩
•
x2
=
••
x
•
x1 = x2
•
= VM θ M
•
− VD θ
⎢⎣0
0
−ω
−2ξω
⎥ ⎦
⎢ ⎣
K
⎥ ⎦
⎢⎣0⎥⎦
（8）
给出 t = t0 时刻， x1和x2 的初值 x1(t0 )和x2 (t0 ) ， x3和x4 的初值可为零。如不考虑目标
机动，则 aM = 0 。
2.2 基于二次型的最优导引律 2.2.1 指标函数 J
•
式（3）中 y ≈ VM − VD 可写成
VM θM
X XM
VD θq
Y YM
图 1 导弹与目标运动关系图
→
→
在平面内任选 oxy 固定坐标，导弹的速度向量VD 与 oy 轴成θ 角，目标速度向量V M 与
oy 轴成θM ，导弹与目标的连线 DM 与 oy 轴成 q 角，设θ ，θM ，q 都比较小。并且假定导
弹和目标都是等速率飞行，即VD和VM 都是不变值。
•
y = −(VD − VM )
VD − VM = VC 为导弹对目标的接近速度，设 t f 为导弹与目标的遭遇时刻，则在某一瞬
间 t 导弹与目标的距离 y 可用下式表示
y = VC (t f − t) = (VD − VM )(t f − t)
（9）
对导弹控制来说，最根本的要求是脱靶量越小越好，因此应选择最优的控制 u，使得指
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0 0 −1 0 0 0 ⎥
⎢ ⎢0 0 0
0
0 −VD 0
ω2
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 0
0 0 0 −1 2ξω ⎥⎦
⎡S 1 0
0 0 0 0 0⎤
⎢ ⎢
0
S
VD
0
000
0
⎥ ⎥
⎢0 0 S
1
000
0⎥
⎢
[SI
+
F]
=
⎢ ⎢
0
0 −ω2
S − 2ξω
0
0
0
− K2 R
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢
3
标函数 J 为最小。
( ) ( ) ( ) ( ) J = ⎡⎣xM t f − xD t f ⎤⎦2 + ⎡⎣ yM t f − yD t f ⎤⎦2
（10）
然而，当要求一个反馈形式的控制时，按上式列出的问题往往很难解。所以我们以
( ) y = Vc t − t f = 0 时的 x(x1 ) 值作为脱靶量，要求 t = t f 时刻 x 值越小越好。另外舵偏角受
0
0
0
0
S00
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0
0 −1 S 0
0⎥
⎢ ⎢0 0 0
0
0 −VD S
ω2
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 0
0
0 0 −1 S + 2ξω⎥⎦
（16）
求[SI + F ]−1 的拉氏反变换是很麻烦的，略去推导过程。在推导过程中，假定导弹的阻
尼系数ξ = 2 = 0.707 ，可得最优控制 2
u*
(t f =−
<
-CA1
v2
a2 v1
fcn
y
a1
STOP
<=
STOP
x1-x2 -aD
tf
K3
v 1-v 2 K2
v1
K1
daoyinguilv
4
U
9
8
K3
7
K2
K1
Integrator
1 s
v1
-C-
a fcn u
E
-K -
5
q1 Gain
图 4 系统仿真模型结构图
1 X4 s
Integrator 2
1 X3 s
0 1
⎥ ⎥,B ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
⎥ ⎥ ，u ⎥
为舵偏角 δ , K
=
KDω2
⎢⎣0
0
−ω 2
−2ξω
⎥ ⎦
⎢ ⎣
K
⎥ ⎦
给出 t = t0 时刻， x1和x2 的初值 x1(t0 )和x2 (t0 ) 。一般导弹在发射后很短时间内是不控
•
制的，因此可假定θ 和θ 的初值为零，即 x3和x4 的初值为零。
S2
+
2ξ
1 TD
S
+
1 TD2
S 2 + 2ξωS + ω2
（6）
式中， ω = 1 。导弹运动方框图如图 2 所示。 TD
2
u(δ )
KDω 2
+
1 s x4 1 s x3 VD +
−2εω
1 s x2 1 s x1
−ω 2
图 2 导弹运动方框图
其方程为
•
x1 = x2
•
x2 = VD x3 + aM
⎢ ⎢⎢⎣0
0
0
−
K2 R
⎥ ⎥ ⎥⎦
（14）
⎡0 1 0 0 0 0 0 0 ⎤
⎢⎢0 0 VD
0
000
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0 1 0 0 0 0 ⎥
⎢
F
=
⎡A ⎢⎣−Q
− BR −1 BT − AT
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎢0 ⎢⎢0
0 0
−ω 2 0
−2ξω 0
0 0
0 0
0
−
K2 R
⎥ ⎥ ⎥
（15）
0
设 x 为导弹与目标在 ox 轴方向上的距离偏差，y 为导弹与目标在 oy 轴方向上的距离偏 差，即：
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
xM yM
− −
xD yD
（1）
1
⎧⎪
•
x
=
⎨ ⎪⎩
•
y
=
•
•
xM − xD
•
•
yM − yD
= VM = VM
sin θ M cosθM
− VD sinθ − VD cosθ
（2）
8
12000
图 7 导弹攻击目标的界面 图中蓝线为导弹的运动轨迹，红线为目标的运动轨迹。
−t −
2 ){ x1 ω Vc (t f − t)2
+ x2 Vc (tf − t)
+1 ωVc (t f
− t)2
[
2(t f
−
t)
−
1 ω
]x3
+
1
ω2Vc (t f
− t)2
(t f
−t
−
2
ω )x4} （18）
KDVD[(t f
3 −t) −
2(tf − t)2 + 6(tf − t) − 15 2 ]
0
0
0⎥⎥
⎢ 0 0 0 0⎥
⎢0 0 0 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
⎢⎣0 0 0 0⎥⎦
用极小值原理来求最优控制，由于 A、B 和 Q 都为常数矩阵，故用拉氏变换法计算 e−Ft ,
4
式中， t = t f − t ，先计算矩阵 F
⎡0 0 0 0 ⎤
⎢⎢0 0 0
0
⎥ ⎥
−BR−1BT = ⎢0 0 0 0 ⎥
K1 (t ) =
KDVD [(t f
3Vc [(t f
− t)3
−
2 ω
(t
f
− t)2 ]
− t)3 − 3 2(t f − t)2 + 6(t f − t)
ω
ω2
− 15 2 ] 4ω 3
K2
(t)
=
3 ω (t f KDVD [(t f − t)3
−t − 3
−
2 ω
)[
2(t f
−
t)
−
1 ω
图 6 仿真界面 四、仿真结果及分析
仿真模型中设定导弹的初始位置为坐标原点，并假定程序运行时目标已处于导弹的攻击 范围内。在 GUI 界面上进行参数的设置，设目标初始位移为 10000m，初始高度为 1000m，
初 始 倾 角 为 0.05 弧 度 ， 飞 行 速 率 Vc = 100m s ； 导 弹 的 飞 行 速 度 VD = 600m s ； KD = 0.317, ω = 10 ，仿真结果如图 7~14 所示。
ω
ω2
4ω3
上式中，
x1
Hale Waihona Puke +x2•
=q
Vc (t f − t)2 Vc (t f − t)