2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十五对数函数的图象和性质的应用新人教A版必修第一册

课时素养评价 三十五
对数函数的图象和性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知f(x)为R上的增函数,且f(log2x)>f(1),则x的取值范围为()
A. B.∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0,1)∪(2,+∞)
【解析】选C.依题意有log2x>1,所以x>2.
2.函数f(x)=log2(-1),x>8的值域是()
A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.(1,2)
【解析】选B.因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).
3.若y=f(x)是函数y=2x的反函数,则函数y=f(-x2+2x+3)的单调递增区间是
() A.(-∞,1) B.(-3,-1)
C.(-1,1)
D.(1,+∞)
【解析】选C.由y=f(x)是函数y=2x的反函数,得y=f(x)=log2x,则y=f(-x2+2x+3) =log2(-x2+2x+3),由-x2+2x+3>0,
解得-1<x<3,
所以函数y=f(-x2+2x+3)的定义域为(-1,3),因为y=log2u单调递增,u=-x2+2x+3在(-∞,1)上递增,所以y=log2(-x2+2x+3)的递增区间为(-1,1).
4.(多选题)(20xx·肇庆高一检测)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则f(x)
()
A.是奇函数
B.是偶函数
C.在(0,10)上单调递增
D.在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得:x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),因为∀x∈(-10,10)都有-x∈(-10,10)且f(-x)=
lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则函数f(x)的在[0,1]上的最大值为________,最小值为________.
【解析】当a>1时,f(x)max=f(1)=a+log a2,
f(x)min=f(0)=a0+log a1=1,所以a+log a2+1=a,所以a=,不合题意,舍去;当0<a<1时,f(x)max=f(0)=a0+log a1=1,f(x)min=f(1)=a+log a2,所以a+log a2+1=a,所以a=.
此时f(x)max=1,f(x)min=+lo2=-.
答案:1-
6.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________.
【解析】若a>0,则由f(a)>f(-a)得
log2a>lo a=-log2a,即log2a>0.
所以a>1.
若a<0,则由f(a)>f(-a)得
lo(-a)>log2(-a),
即-log2(-a)>log2(-a),
所以log2(-a)<0,
所以0<-a<1,即-1<a<0.
综上可知,-1<a<0或a>1.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)的图象经过点(9,2).
(1)求实数a的值.
(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为log a9=2,所以a2=9,
因为a>0,所以a=3.
(2)因为f(x+1)<1,也就是log3(x+1)<1,
所以log3(x+1)<log33,
所以,解得-1<x<2,
所以实数x的取值范围是{x|-1<x<2}.
8.(14分)(1)已知函数f(x)=e x+ae-x,a∈R.
若f(x)是R上的偶函数,求a的值.
(2)判断g(x)=ln(e x+1)-x的奇偶性,并证明.
【解析】(1)因为f(x)是R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以e-x+ae x=e x+ae-x,
所以(a-1)(e x-e-x)=0,
所以a=1.
(2)g(x)的定义域为R,因
为∀x∈R,都有-x∈R且g(-x)=ln(e-x+1)+x=ln(e x+1)-x=g(x),所以g(x)是偶函数.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递减,那么f(x)在(-∞,0)上()
A.单调递增且无最大值
B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值
D.单调递减且有最小值
【解析】选A.因为函数f(x)=log a|x|在(0,+∞)上单调递减,所以0<a<1,又f(x)是偶函数,那么f(x)在(-∞,0)上单调递增,且无最大值.
2.(4分)已知函数y=|lo x|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为
()
A.(0,2]
B.(1,2]
C.[1,2]
D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|lo x|的图象(如图),
可知f=f(2)=1,由题意结合图象知:1≤m≤2.
3.(4分)已知函数f(x)=lg(+ax)图象关于原点对称.则实数a的值为________.【解析】函数关于原点对称,所以函数是奇函数,通过表达式可知函数的定义域是R,
故-f(1)=f(-1),-lg(a+)=lg(-a),a+=,解得:a=±2.
答案:±2
4.(4分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-<log4x<,
即log4<log4x<log4,得<x<2.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使函数的解析式有意义,
自变量x需满足可得-2<x<2.
故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).因为不等式f(x)>m有解,所以m<f(x)max, 令t=4-x2,因为-2<x<2,所以0<t≤4,
因为y=lg x为增函数,所以f(x)的最大值为lg 4,
所以m的取值范围为m<lg 4.
【加练·固】
设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意得,f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,
所以a=3,
所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3<x<3,
所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2),
且x∈(-3,3),所以log3(9-x2)在[0,]上单调递减,
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,是log33=1.
1.已知函数f(x)=log a(x2-2ax)在[4,5]上单调递增,则a的取值范围是 ()
A.(1,4)
B.(1,4]
C.(1,2)
D.(1,2]
【解析】选C.设g(x)=x2-2ax,则g(x)的对称轴为x=a.
(1)当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]上单调递增,且g(x)>0在[4,5]上恒成立
则所以1<a<2.
(2)0<a<1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]上单调递减,且g(x)>0在[4,5]上恒成立
则此时a不存在,
综上可得,1<a<2.
2.设f(x)=lo为奇函数,a为常数.
(1)确定a的值.
(2)求证:f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以定义域关于原点对称,由>0,得(x-1)(1-ax)>0.
令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=,
所以=-1,解得a=-1.
(2)由(1)得f(x)=lo,
令u(x)==1+,
设∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
则u(x1)-u(x2)=,
因为1<x1<x2,所以x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,
所以u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2).
所以u(x)=1+在(1,+∞)上单调递减,又y=lo u为减函数,所以f(x)在(1,
+∞)上单调递增.
(3)由题意知lo->m在x∈[3,4]时恒成立,
令g(x)=lo-,x∈[3,4],由(2)知lo在[3,4]上单调递增,又-
在[3,4]上也单调递增,
故g(x)在[3,4]上单调递增,
所以g(x)的最小值为g(3)=-,
所以m<-,故实数m的取值范围是(-∞,-).。