219322169_第一型曲线瑕积分及收敛判别法
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""1"2 定义在曲线"上"-是1"2 的瑕点"对"上的任一点 !"1"2 在"(E"!)上第一型可积"若对任一个='"" o1(=)
"
证完$ 定理3&) (ND:?判别法)!设N#7为曲线"的两端点"
则当 收敛时 收敛当 曲线的弧长为 定义在曲线 上 是的 " o2(=)"
1 ?
" E=)
" " C%4Z
1 ?C %4oPo
1 ?C %4o^(
" E=$
" =$=)
性质(&$线性性质设N7为曲线"的两端点-'Z
"1$1) 定义在曲线"上-同为它们的瑕点5$5) 为常
" 槡 &
/P 1 ! # + # !D) # V+D) # %#>
0"?/A+(#)P)" -( 0"))"!( !( #)"+( #))
O
1( ?"C) %4
$
任一点 #)Z "4( E"!)
表示曲线"上以N"!为端点的弧段(记为
"
当1(?"C)%4收敛时"我们容易得到其计算公式$
的弧长若 槡 "(E"-))
#
" ?/A4(E"!)P?/A !D)(()V+D)(() %( P
#)Z
#)Z &
"
情形 若 则 $! "n?P!(#)"CP+(#)"#%&"))"
4$ 则称曲线"是以N#7为端点(-Z")的有穷曲线"4为 曲线"的弧长$
类似地"我们可以定义参数方程为?P!( #) "CP+( #) "
/P 1(?"C)%4P?/A
1( ?"C) %4
"
4Z4 "( E"!)
性质和收敛判别对于一些显而易见的结果我们不加证明 地直接罗列
定理(&$第一型曲线瑕积分的O8H,>F收敛准则设
再利用O8H,>F收敛准则 充分性 证得"1 ?C %4收敛 "
又因" " 两边取极 o 1?C%4o
o1 ?C o%4
" E!
" E!
N7为曲线"的两端点-'Z"1?C是定义在曲线"上的
1 ?C %4
" =-
" o1?C o%4^( 利用第一型正常曲线积分的绝对 " =$=)
第一型曲线瑕积分的性质和收敛判别 这一节我们主要给出第一型曲线瑕积分的一些简单
值不等式又有" " o
1 ?C %4o
o1 ?C o%4^(
" =$=)
" =$=)
的 当 时总有 #$ #) '&) #$ ^#)
则称为曲线 $1!#$ +#$ 1!#) +#) 1
"
"
" !-
敛态在收敛时有如下关系"1 ?C " %4P 1 ?C %4
"
" E!
上的增函数特别地当成立严格不等式1!#$+#$ ^ V" 其中" 1?C%4 1?C%4为第一型曲线正
就有" =$ =) 'F--)" o
1 ?C %4o^(
" =$=)
设N7为曲线"的两端点-'Z"1定义在曲线"上 -是1的瑕点对"上的任一点! 在 oGo "E!上的第一
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#Z
#Z #
#) V
&
槡 的数学分析教材的影响有关)$ 另一方面"由于一元部分
相对简单并且结果颇多$ 华东师范大学数学系编/数学分
下面我们给出第一型曲线瑕积分的定义 !)P?/A !D)(()V+D)(() %(P4)$ #)V # $
析0(第三版)%)&在附录一介绍微积分简史中也指出"积分 定义)&)!设"是以N#7为端点(-Z")的平面有穷
&
类似地 情形 若 则 ) "n?P!#CP+##'&V
" 槡 @
/P 1 ! # + # !D) # V+D) # %#
&
情形 若 则 ( "n?P!#CP+##' Z&
" 槡 &
/P 1 ! # + # !D) # V+D) # %#
型曲线积分" o1(?"C) o%4关于弧长4单调递增"因此 "( E"!)
"o1(?"C) o%4收敛的充要条件是" 存在上 o1(?"C) o%4
"
"( E"!)
界$ 根据这一分析"容易推出第一型曲线瑕积分的比较
原则$
" " Po2(?$ "C$ ) oo 1(?"C)%4Z
1( ?"C) %4o
"( E"=)
"( E"=$)
" " 4Vo2(?) "C) ) oo
1( ?"C) %4Z
1( ?"C) %4o
"( E"=))
"( E"=)
43(;+);V3(;+);P($
定理(&)(比较原则)!设N#7为曲线"的两端点"-'Z
由 收敛准则知 收敛 O8H,>F
" " 1( ?" C) 2 ( ?" C) %4 $
(&$
函数在光滑曲线 曲线两 1
"?P! # CP+ # #' &)
端点为 和 上第一型可 E!&+ & - ! )+ )
积 若2 为曲线"上的单调函数则存在=', 使 '"
证明由" o1?C o%4收敛根据第一型曲线瑕积分 "
G
情形 若 则 3 "n?P!#CP+##')&
证明根据定义 "1 ?C %4收敛 -为瑕点 等价 "
于 存在这又等价于对任意给定的 " ?/A
1 ?C %4
Z 4( 4 "E!
(\
存在 只要 就有" % -\% =$ =) 'F -- )" o
面上的可求长曲线曲线两端点为E!&+&和-! )+)1?C 为定义在曲线"上的函数若对任何
"
"
性质(&)按弧段可加性设N7为曲线"的两端
点-'Z"1定义在曲线"上-是1的瑕点!为"上任一
点则第一型曲线瑕积分"1?C%4与" 同 1?C%4
"
定收敛并有
文献 引入了平面曲线上的二元函数的单调性概 " " 0
5$ 1$ ?C V5) 1) ?C %4P5$ 1$ ?C %4V5) 1) ?C %4
念并且证明了第一型曲线积分的第二中值定理 定义 设 为平 )&(0 "?P! #CP+ ##' &)
1( ?"C) %4P/"
Z 4 4 "(E"!)
/
1
"
()&$)
的一些性质和收敛判别法"它们可看作是一元瑕积分相关 性质和收敛判别法的推广$
第一型曲线瑕积分的概念
积分"记作/P1( ?"C) %4"并称反常积分1( ?"C) %4收敛$
"
"
若极限()&$) 不存在"则称1( ?"C) %4发散$ "
关键词第一型曲线瑕积分收敛单调!/C/,>?:=判别法ND:?判别法 中图分类号"$1)&)
概述
或 或 的缺端点的有 #%&"V)( #( Z"&&" #( )"&&)
郇中丹教授在文献%$&中谈-数学分析.课程改革的 穷曲线"这时相应考察的极限为!
槡 几点意见中指出"目前国内/数学分析0教材或教学实践中
槡 #
P?/A 1( !( () "+( () ) !D)( () V+D)( () %( #)Z &
+
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" 槡 )
P 1 ! # + # !D) # V+D) # %#
出了无穷曲线积分的定义"讨论了其某些性质和收敛的判 的弧长"1在"(E"!)上有界且第一型可积"若
别法和计算方法$ 最近"唐国吉%0&引入了定义在曲线上的 函数的单调性概念"并证明了第一型曲线积分的第二中值 定理$ 受上述文献的启发"本文讨论了第一型曲线瑕积分
则称此极限为无界函数在曲线上的第一型反常 ?/A
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!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)($0%$)
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第一型曲线瑕积分及收敛判别法
邱惠铭4何桂添4唐国吉
广西民族大学数学与物理学院广西南宁+
摘4要本文引入第一型曲线瑕积分的概念并获得了它的计算公式得到了第一型曲线瑕积分依曲线方程类型的不 同可相应地转化为无穷积分或瑕积分的结论 讨论了第一型曲线瑕积分的一些性质和收敛判别法它们可看作是一元瑕 积分相关性质和收敛判别法的推广 由于瑕积分的!/C/,>?:=判别法和ND:?判别法比无穷积分和数项或函数项级数的 都要复杂大多的数学分析教材并未研究 本文研究了第一型曲线瑕积分的!/C/,>?:=判别法和ND:?判别法一元瑕积分 的!/C/,>?:=判别法和ND:?判别法是本文结果的特殊情况
的O8H,>F收敛准则必要性知对任给的(\%存在-\%
" " 1?C2?C%4P2 ! &+ &
1 ?C %4V2 !
"
" E=
只要 就有" =$ =) 'F -- )" o
o1 ?C o%4oP
" =$=)
" ) + )
"
" !-
(&(
'Z"1
" E!
N7
" - 1
"
-
"o1 ?C o%4 "
我们指出曲线上函数的单调性概念是一元函数单调 性的推广
收敛时 "1?C%4也必定收敛并有 "
引理)&$ 第一型曲线积分的第二中值定理0设
" " o "1 ?C %4o "o1 ?C o%4>
限 立刻证得不等式 式 4(Z4
pC:G"(&$#
二元函数-是1的瑕点则第一型曲线瑕积分"1 ?C %4 "
收敛的充要条件是对任意给定的(\%存在-\%只要
当"o1 ?C
收敛时称 o%4
" 1?C
%4绝对收敛 又
"
"
称收敛而不绝对收敛的第一型曲线瑕积分是条件收敛的
论仍在发展"K/:A8-- 积分的推广仍不能说已经完成这些 认识是客观的$
几乎所有的/ 数学分析0 教材%)23& 都研究曲线上的正常 积分(包括第一型和第二型的)$ $''' 年"赵清理等%Q& 给
曲线"Z4表示其弧长" 1是定义在曲线"上的二元函数" F(-".)表示平面上以-为心".为半径的邻域"对于任意 的 在 .\%"1 F(-".) "上无界"但对曲线"上的任一点 !"4表示曲线"上以N"!为端点的弧段( 记作"( E"!) )
存在的主要问题之一是!一元微积分的讨论不厌其烦"而
#
?/A4( E"!)P?/A !D)( () V+D)( () %( P4
#V
#V &
槡 多元微积分则显得相当薄弱"这一方面是由于以往人们认
为多元微积分是一元的平行推广(这大概与菲赫金格尔兹
或 或 &
( ?/A4( E"!)P?/A !D)( () V+D)( () %( P4" ?/A4( E"
数则当第一型曲线瑕积分"1$?C 与" %4 1)?C 都 %4
)
"
"
由以上讨论可以知道第一型曲线瑕积分依曲线的不 同类型可相应转化为无穷积分见情形) 和情形(或瑕 积分见情形$ 和情形3
收敛时第一型曲线瑕积分 必
" 5$ 1$ ?C V5) 1) ?C %4
定义 在平面光滑曲线 )&$!
"!?P!(#)"CP+( #)"#% &"
在定义)&) 中"对任意的.\%"1在F( -".) "上无
上 为曲线 的一个端点若 )) "E(!(&)"+(&))
"
" ?/A!( #) P
界"这时称点7为1的瑕点"而曲线"上的无界函数反常
记点 是曲线上的 积分 又称为第一型曲线瑕积分 #)Z
时称为曲线上的严格增函数 1!#)+#) 1
"
则称为曲线 常积分 )1!#$+#$*1!#) +#) 1
上的减函数特别地当成立严格不等式 性质 绝对值性质设 为曲线的两端点 "
1!#$ +#$ \
时称为曲线上的严格减函数 定义在曲线上 是的瑕点则当 1!#)+#) 1