地图投影基本知识

由以下两个式子计算α：
sin cos0 cos sin 0 cos( 0 )
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
正弦定理：
sin Z sin(90 ) sin( 0 ) sin sin Z sin cos sin( 0 )
（3）地图投影的变形 我国1984年编制的世界地图
（3）地图投影的变形：微分圆到变形椭圆
微分圆
形状不变： 等角投影
某个方向 长度不变
面积不变
都改变
地球表面经投影以后在长度、角度和面积要发生一定程度的变形。
长度变形
角度变形
面积变形和长度变形
投影变形示意图
① 长度比和长度变形
② 面积比和面积变形
（3）球面坐标系的常用公式
P Q(φ ,λ )
0 0
α Z A(φ,λ)
W
E
Q’ P’
球面上任意点，既可用 大地坐标（，）表示， 也可以用球面极坐标（ ，Z）来表示。
（3）地图投影分类 ① 按投影面划分
方位投影：投影面为平面 圆锥投影：投影面为圆锥面 圆柱投影：投影面为圆柱面 伪方位投影
OA方向的长度比：
OA方向的角度变形：
x r cos y r sin
x ax y by
OA方向的角度变形： x r cos y r sin
x ax y by
y by b tan tan x ax a
OA方向的角度变形：
sin( ) b tan tan cos cos tan (1 a ) sin( ) b tan tan tan (1 ) cos cos a
b ) (1 a ) sin( sin( ) (1 b ) a
（1）引言
② 从一开始的透视投影，到非透视投影 （数字投影）。
数学投影
可以理解为：投影光 线为弯曲的投影线。
（1）引言 ③地图投影是地图制图过程中的一个重要 组成部分;它与地图综合、图形设计、地 图制作和应用是一个严密的整体。
（2）地图投影中的主要矛盾
① 曲面和平面的矛盾 必然在某种程度上的近似表达（精度问题）。 与区域大小、比例尺大小有关。 ② 变形矛盾 在实际应用中，只能根据需要保证角度、面积、 某个方向的边长保持不变。 ③ 经纬线是解决投影变形问题的主要方面。
m为经线方向的长度比 n为经线方向的长度比
（4）变形椭圆
说明：圆投影以后为一椭圆。 缺点：投影面上的坐标轴是不垂直的。
（4）变形椭圆 主方向的条件：
①椭球面上互相垂直（x，y）； ②投影后仍保持垂直（x´，y´）； ③投影后的（x´，y´）为变形最大和最小的方向， 长度比用a，b表示。 ④投影后的（x´，y´）为变形椭圆的长半轴和短半 轴。
经线长度比：m 经线长度比：n
投影后的经纬线的交角：
交角为，交角与 之差为 90 90
简略证明过程，得到：
H tan F
F tan H
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
① 等角条件
m n 0
G E r M F 0
几何投影
伪圆锥投影
伪圆柱投影
非几何投影
多圆锥投影
（3）地图投影分类 ② 按变形性质划分
等角条件：角度不发生变化。应用公式：
m n 0
G E r M F 0
1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 r 2 [( ) ( ) ] M 2 [( ) ( ) ] x x y y F 0
投影面上的微分面积dF′与椭球面上相应面积dF 之比，用P表示，
面积变形
③ 角度变形
投影面上的任意两方向的夹角β′与椭球面上相 应两方向的夹角β之差，

由于个方向的变形角度不同，采用取极值的方法， 角度变形最大值用ω表示。
（4）变形椭圆
（4）变形椭圆
x m x y ny
H EG F
2
投影后的平面上的距离为：
dS Ed 2 Fd d Gd
2
2
当d 0，为子午线长， S E d d
当d 0时，为纬线长， S G d d
投影后的平面上的长度比：
dS dS
Ed 2 2 Fdd Gd2 M 2 d 2 r 2 d2 E M M 2 d 2 G r r 2 d2 Gd2 Ed 2
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
② 等积条件
投影前面积： r 投影后面积：
2
ab；
m nsin
② 等积条件
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
③ 等距离条件
（3）球面坐标系的常用公式
P Q(φ ,λ )
0 0
P 90-φ0 λ-λ0 90-φ
α Z
Q
α
A(φ,λ) W E
Z A
相离:不用
相切
相割
正轴切圆锥投影
正轴割圆锥投影
横轴切圆锥投影 横轴割圆锥投影
2 2 2 2 2
2
投影后的平面上的距离为：
dx 2 dy 2 ds
x x dx d d y y dy d d
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
ds2 dx2 dy2 x 2 y 2 [( ) ( ) ] d 2 x x y y 2[ ] dd x 2 y 2 2 [( ) ( ) ] d
b tan tan tan (1 ) a b tan tan tan (1 ) a
顾及
sin( ) cos cos sin( ) b tan tan cos cos tan (1 a ) sin( ) b tan tan tan (1 ) cos cos a tan tan
长度变形角度变形面积变形和长度变形投影变形示意图长度比和长度变形面积比和面积变形投影面上的微分面积df与椭球面上相应面积df之比用p表示面积变形角度变形投影面上的任意两方向的夹角与椭球面上相应两方向的夹角之差由于个方向的变形角度不同采用取极值的方法角度变形最大值用表示
第三节
地图投影
介绍内容
1、概述 2、地图投影基本理论 3、方位投影 4、圆锥投影 5、圆柱投影和高斯-克吕格投影 6、地图投影变换 7、总结
以上第三个公式常用于高斯投影的计算，使用中可以 转化为（略去推导过程）为：
r x M y r M y x
地球作为圆球时：
y x cos y x cos
2、地图投影基本理论
2、地图投影基本理论
（1）地图投影的主要公式 （2）等角条件、等积条件和等距离条件 （3）球面坐标系的常用公式 （4）地图投影分类
（1）地图投影的主要公式
AD BC M d AB CD N cos d
对角线：
AC
AD AB M d r d
（3）地图投影分类 ② 按变形性质划分
等面积条件：面积不发生变化。应用公式：
（3）地图投影分类 ② 按变形性质划分
等距离条件：某个方向上的距离不变。应用公式：
m 1
或
n 1
（3）地图投影分类 ③ 按投影角度划分
正轴投影 斜轴投影 横轴投影
（3）地图投影分类 ④ 按椭球面与投影面的关系
a b sin sin( a) ab
OA方向的角度变形：
有一角度u，投影后为u‘，投影后 与主方向相交成α‘，有：
u 180 2 180 2 2 2 u 2
பைடு நூலகம்



最大角度变形：
a b sin sin( a) ab
a b sin 2 ab
u 2

（5）地图投影中投影面的选择
地面 参考椭球面 可展曲面 平面
平 圆 面 锥 面
圆 柱 面
（5）地图投影中投影面的选择
（6）地形图、地图对地图投影的要求
决定地图投影的因素：
①制图区域的范围、形状、大小； ②制图区域所占的具体地理位置； ③所设计的地图对各类变形的特殊要求； ④地图的用途及其使用效果； ⑤地图所含的具体内容。
1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 r 2 [( ) ( ) ] M 2 [( ) ( ) ] x x y y F 0
① 等角条件说明：
根据投影方式的不同，可以用以上任意一个公式；
ds2 dx2 dy2
y 2 x 2 ( ) ( ) E x 2 y 2 [( ) ( ) ] d 2 ( x ) 2 ( y ) 2 G x x y y 2[ ] dd x x y y F x 2 y 2 x y x y [( ) ( ) ] d2 H
1、概述
（1）引言 ① 定义:依据一定的数学法则，将不可展开 的地表曲面展示到平面上，建立曲面点与 平面点之间的一一对应关系：
平面极坐标 球面极坐标
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
g1 ( , Z ) g 2 ( , Z )
Q’ P’
球面三角形
P 90-φ0 λ-λ0 90-φ
Q
α
边长为球面上的大圆 上的边，为曲线； 边长以角度来表示
Z A
计算公式：边的余弦公式，计算Z
cos Z cos(90 0 ) cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos( 0 ) sin 0 sin cos0 cos cos( 0 )