第一章1.3函数的基本性质

1.3函数的基本性质
一、函数的单调性 课型A
例1. 求证：y =+()3,4上递增。

证明略
例2. 判断函数x x x f 1
)(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。

单调减 证明略
例3. 求下列函数的单调区间：
① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞
② y = 单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞
③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和
④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1
例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。

（4a ≥-）
例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D
）
A 10
B
C 9
D 6
二、函数的奇偶性 课型A
例1. 判断下列函数的奇偶性：
○1 1
22)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○
2 x x x f 2)(3
-=； 奇函数非偶函数 ○3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数
○4 ⎩
⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x 奇函数非偶函数 例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A )
A 26-
B 18-
C 10-
D 10
例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ）
A.奇函数
B. 偶函数
C. 既奇又偶函数
D. 非奇非偶函数
例4. 已知2()(11)1
x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0）
② 判断()f x 的单调性并证明。

解：（1）()f x Q 为奇函数 (0)0f ∴=
(0)0,01
a f a ∴=
=∴= 又11(1)(1),,022f f b b b --=-∴=-∴=-+Q （2）()f x 在[]1,1-上单调增。

证明略
三、函数性质的应用 课型B
例1．
已知函数()1).1
f x a a =≠- （1）若1a >,则()f x 的定义域是 。

3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ （2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

. ()(],01,3-∞⋃
例2．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2
(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是
（ C ） A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞
例3．偶函数()f x 的定义域为R ，在(0, +∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是 （ B ）
A . 23()(1)4f f a a ->-+
B . 2
3()(1)4
f f a a -≥-+ C . 23()(1)4f f a a -<-+ D. 23()(1)4
f f a a -≤-+
例4. 定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，
若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

（01a <<）
解：由已知条件得：22(1)(1)
(1)(1)f a f a f a f a -<--∴-<-Q
2211111111a a a a -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩
0221a a a <<⎧⎪∴<<⎨⎪-<<⎩
01a ∴<<
例5. 定义在R 上的函数()f x 满足对任意的实数,x y 总有()()()f x y f x f y +=+，
若0x >时()0,(1)2f x f >=
① 求证()f x 为奇函数
② 求证()f x 在定义域上递增
③ 当33x -≤≤时，求()f x 的最大值和最小值。

（6，-6）
证明：①令0,(0)(0)(0),(0)0x y f f f f ==∴=+∴=
令,(0)()()0x y f f x f x =-∴=+-=
()()f x f x ∴=--
∴()f x 为奇函数
② 对于任意的1212,x x R x x ∈>且
∵121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=->
∴12()()f x f x > ∴()f x 在定义域上递增。

③ ∵()f x 在定义域上递增
∴max ()(3)f x f = min ()(3)f x f =-
(0)0,(1)2
(2)2(1)4
(3)(1)(2)6
f f f f f f f ==∴==∴=+=Q (3)6f -=-。