2020学年重庆市渝中区新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题

提高练习 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=，且124cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257 B ．4 C ．5 D ．57
2．设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设函数()2(x
e f x mx e x =-为自然对数的底数）在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．43,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．43,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(],0-∞
4．计算(1)(2)i i +⋅+=
A ．1i -
B ．13i +
C ．3i +
D ．33i +
5．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 6．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数()321233g x x x =
+-在区间(),5c c +上存在最大值，则a b c -+的最大值为（ ）
A ．-6
B ．-9
C ．-11
D ．-4 7．若6ax x ⎛- ⎝
展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4
B ．4±
C ．2
D ．2± 8．若
0(21)2a x dx +=⎰，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．-2 C ．2 D ．-2或1
9．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,
抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( ) A ．分层抽样,简单随机抽样
B ．简单随机抽样, 分层抽样
C ．分层抽样,系统抽样
D ．简单随机抽样,系统抽样
10．同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）
A ．48
B ．56
C ．60
D ．120
11．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( )
A ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ B ．1
,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1
[,2]2 D ．1
[,1]2
12．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为
13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．2
π 二、填空题：本题共4小题
13．设某弹簧的弹力F 与伸长量x 间的关系为100F x =，将该弹簧由平衡位置拉长0.1m ,则弹力F 所做的功为_______焦.
14．集合{}1,0,1-的所有子集个数为_________．
15．计算546101011C C C +-的结果为__________.
16．如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且2AB =，
其余的棱长均为1，四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的取值范围为______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在极坐标系中,O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4cos C ρθ=上，直线l 过点(0,4)A 且与OM 垂直，垂足为P
（1）当04
θπ=时，求0ρ及l 的极坐标方程 （2）当M 在C 上运动且点P 在线段OM 上时，求点P 的轨迹的极坐标方程
18．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵. 19．（6分）已知椭圆2222x y C 1a b +=：（a ＞b ＞0）经过点132⎫⎪⎭，3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知A （0，b ），B （a ，0），点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线AP 、BP 分别将x 轴、y 轴于点M 、N ，求证：|AN|•|BM|为定值．
20．（6分）已知直线l 的参数方程为11233x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 3cos 0θρθ-=.
（I ）求曲线C 的直角坐标方程；
（II ）求直线l 与曲线C 交点的直角坐标.
21．（6分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为3点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且MOF ∆的面积为
32
（点O 为坐标原点）. （1）求C 的方程；
（2）直线l 过F 且与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 关于O 的对称点为P'，求'PP Q ∆面积的最大值. 22．（8分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b a c ac =+-.
（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．
【详解】
在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠=，
1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅
=，2121236sin 255
c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555
c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c e a ==，故选C. 【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．
2．A
【解析】
【分析】
根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.
【详解】
根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A.
【点睛】
本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据单调性与导数的关系，有()0f x '≥在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导数，研究22(21)()x e x g x x
⋅-=的单调性，求出最小值，即可得到实数m 的取值范围。

【详解】 依题意得，2(21)()0x e x f x m x ⋅-'=-≥在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即2(21)x e x m x
⋅-≥ 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，设22(21)()x e x g x x ⋅-=，令2[1,4]t x =∈，2
4(1)()()t e t g x t t ϕ⋅-==， 22334(22)4[(1)1]()0t t e t t e t t t t
ϕ-+-+'==> ，所以min (1)0ϕϕ==，()0>g x ，
0m ≤，故选D 。

【点睛】
本题主要考查函数单调性与导数的关系，将函数在某区间单调转化为导数()0f x '≥或者()0f x '≤的恒成
立问题，再将其转化为最值问题，是解决此类问题的常规思路。

4．B
【解析】
分析：根据复数乘法法则求结果.
详解：()()1221313,i i i i ++=-+=+
选B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈
的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
5．A
【解析】
【分析】
先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.
【详解】
先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．
故选A
【点睛】
本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.
6．C
【解析】
【分析】
利用函数()322
3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，即则'(1)0,(1)0f f -=-=，解得,a b ，再利用函数3212()33
g x x x =+-的导数判断单调性，在区间(,5)c c +上存在最大值可得74c -<≤-，从而可得a b c -+的最大值．
【详解】
由函数()3223f x x ax bx a =+++，则()'236f x x ax b =++，
因为在1x =-，处有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，
即2130360
a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得1a =或2a =，
当1a =时，3b =，此时()'223633(1)0f x x x x =++=+≥，
所以函数()f x 单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；
当2a =时，9b =，此时，()'23693(1)(3)f x x x x x =++=++，
则1x =-是函数的极值点，符合题意，
所以7a b -=-； 又因为函数3212()33g x x x =
+-在区间(,5)c c +上存在最大值， 因为'2()2(2)g x x x x x =+=+，
易得函数()g x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 则极大值为2(2)3g -=，且()213
g =，所以251c -<+≤， 解得74c -<≤-，则a b c -+的最大值为：7411--=-.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
7．D
【解析】
【分析】
由二项式展开式的通项公式写出第k 1+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.
【详解】 因为6
ax
⎛- ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-， 令3602
k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.
8．A
【解析】
分析：据积分的定义计算即可．
详解：
()0
22212,0a a x dx x x a a ⎰+=+=+=
解得1a =或2a =-（舍）.
故选A
点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．
9．D
【解析】
第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D
10．A
【解析】
【分析】
采用捆绑法，然后全排列
【详解】
宿舍长必须和班主任相邻则有2种可能，
然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有44248A ⨯=种不同的排法
故选A
【点睛】
本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础
11．A
【解析】
【分析】
根据f （x ）•f （y ）＝f （x+y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以
12为首项，以12
为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．
【详解】
∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x+y ），
∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n+1）， 即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12
=， ∴数列{a n }是以12为首项，以12
为等比的等比数列，
∴a n ＝f （
n ）＝（12
）n ， ∴S n 11122112
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．
12．C 【解析】
【分析】
作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN⊥AC，BN⊥AC．
所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO⊥DN 交DN 于点O ，可得BO⊥平面ACD ． 因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 1＝BN 1+DN 1﹣1BN•DN•cos∠BND 1332343
=+-⨯⨯=， 则BD ＝1．
故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662126
R ==． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(
)3R πππ=⨯=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
【分析】
用力F 沿着力的方向移动x ，则所做的功为W Fx =，代入数据求得结果.
【详解】
弹力F 所做的功为：1000.10.11W =⨯⨯=焦
本题正确结果：1
【点睛】
本题考查函数值的求解，关键是能够明确弹力做功的公式，属于基础题.
14．8
【解析】
试题分析：∵集合{}1,0,1-有3个元素，∴集合{}1,0,1-的所有子集个数为328=
考点：本题考查了子集的个数
点评：解决此类问题常常用到：若集合有n 个元素，则该集合的所有子集个数为2n
15．0.
【解析】
【分析】
利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.
【详解】
由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.
【点睛】
本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.
16．42⎣⎦
【解析】
【分析】
用极限法思考.当直线CD ⊥平面α时, ()S x 有最小值,当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,这样就
可以求出函数()S x 的取值范围.
【详解】
取AB 的中点M ,连接,CM DM ,,DA DB CA CB ==,,AB CM AB DM ∴⊥⊥,于是有 AB ⊥平面CDM ,所以AB CD ⊥,2AB =，其余的棱长均为1,所以
2,2
AC BC CM DM CM DM ∴⊥==∴⊥,M 到CD 的距离为12, 当直线CD ⊥平面α时,()S x 有最小值,最小值为：112222=； 当直线//CD 平面α时, ()S x 有最大值,最大值为122122
=. 故答案为：2242⎢⎣⎦
【点睛】
本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）022ρ=，极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=（2）P 点轨迹的极坐标方程为
1:4sin (0,4C πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）当04
θπ=时，022ρ=(22,)4M π直角坐标系坐标为(2,2)M ，计算直线方程为4y x =-+化为极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=
（2）P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，坐标方程为1:4sin C ρθ=，再计算定义域得到答案.
【详解】 (1)当04
θπ
=
时，004cos 22ρθ==， 以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有(2,2)M ，(0,4)A ，1OM
k =，则直线l 的
斜率1k =-由点斜式可得直线l ：4y x =-+，化成极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=； (2)∵l OM ⊥∴2
OPA π
∠=
，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆
此时圆的直角坐标方程为2
2
(2)4x y +-=
化成极坐标方程为1:4sin C ρθ=，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ
=⎧⎨
=⎩可得4π
θ=，
∴P 点轨迹的极坐标方程为1:4sin (0,4C πρθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
）. 【点睛】
本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误. 18．
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，， 即
，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
19． (1)2 4
x +y 2
=1．(2)见解析.
【解析】 【分析】
（1）由题意可得：
223114a b +=
，c a =a 2=b 2+c 2，联立解得：a ，b ．即可得出椭圆C 的方程． （2）设P （x 0，y 0），（x 0＜0，y 0＜0）A （2，0），B （0，1）．22
0044x y +=．可得直线BP ，AP 的方程分
别为：y=001y x -x+1，y=002y x -（x-2），可得：M （002x y -，0），N （0，00
22y x -）．可得|AM|•|BN|为定
值． 【详解】
解：（1）由题意可得：
2
3a +214b
=1，c a
a 2=
b 2+
c 2， 联立解得：a=2，b=1．
∴椭圆C 的方程为：24
x +y 2
=1． （2）证明：设P （x 0，y 0），（x 0＜0，y 0＜0）A （2，0），B （0，1）．
20x +220y =2．
可得直线BP ，AP 的方程分别为：y=001y x -x+1，y=0
02y x -（x-2）， 可得：M （002x y -，0），N （0，0
22y x -）．
∴|AM|•|BN|=（2-
002x y -）（1-0
22y x -）=2-0042y x --002x y -+()()0000222x y y x --=()22
0000000000
00000000
422448442222y x x y x y x y x y y x x y y x x y --+--+++--+--+=2为定
值． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（I
）20y =；（II
）. 【解析】 【分析】
（I ）曲线C
的极坐标方程为2sin cos 0θθ-=两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直
角坐标方程．（II
）将112x t
y ⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩
代入20y =中，得t 的二次方程，解得0t =则可求解 【详解】
（I
）将2sin cos 0θθ-=两边同乘ρ
得，22sin cos 0ρθθ-=，
∴曲线C
的直角坐标方程为：20y -=.
（II
）将112x t y ⎧=+⎪⎨
⎪=⎩
代入2
0y =
2
1102t ⎫+=⎪⎭，解得0t =， ∴直线l 与曲线C
交点的直角坐标为.
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查t 的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）22
:143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】
分析：（1
）由题意得bc =
ab =
（2）设直线l 的方程为1x my ，=-联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理表述出12y y +，12y y ，又
121
2
POQ S OF y y ∆=
⋅-，化简整理即可. 详解：（1）∵MOF ∆
的面积为
2
，
∴
122
bc =
，即bc =又∵椭圆C
的四个顶点围成的菱形的面积为
∴
1
222
a b ⨯⨯=
，即ab =
∴12c bc a ab ===
∴
2
b a =
∴2,a b ==，
∴C 的方程为22
:143
x y +=.
（2）由题意可知，点O 为'PP 的中点，则'2PP Q POQ S S ∆∆=. 设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，
联立22
143
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，可得()22
34690m y my +--=， ∴1212
2269
,3434
m y y y y m m +=
=-++， ∴
12y y -=
==
∴1212POQ
S OF y y ∆=⋅-=
()1t t =≥，则
266
1313POQ t S t t t
∆=
=
++
∵函数
()6
13g t t t
=
+
在[)1,+∞上单调递减， ∴当1t =时，'PP Q S ∆取得最大值3
232
⨯=.
点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． (2)面积问题常采用S △＝
1
2
×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 22．（1）3
B π
=
（2
）2
【解析】 【分析】
（1）由已知边的关系配凑出余弦定理的形式，求得cos B ，根据B 的范围求得结果；（2）利用两角和差
正弦公式和辅助角公式将sin sin A C +6A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，由20,
3
A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
可求得6A π+的范围，进
6A π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值域，从而得到所求范围. 【详解】
（1）由2
2
2
b a
c ac =+-得：2221
22
a c
b a
c +-=，即：1cos 2B =
()0,B π∈ 3
B π
∴=
（2）()sin sin sin sin sin sin cos
cos sin
3
3
A C A A
B A A A π
π
+=++=++
3
sin 26A A A π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ 20,
3
A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭ 5,666A πππ⎛⎫
∴+∈ ⎪
⎝⎭
1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
62A π⎛⎛
⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝
sin sin A C ∴+的取值范围为：⎝ 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形中取值范围类问题的求解，关键是能利用两角和差公式和辅助角公式将所求式子转变为()sin y A ωx φ=+的形式，利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22
2:14
x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，
点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5
B ．12.5
C ．4或10
D ．0.5或12.5
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） A ．若
的观测值为=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必
有99人患有肺病；
B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
C ．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；
D ．以上三种说法都不正确. 3．在复平面上，复数2i
i
+对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎛⎫=+>∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长
度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )
A ．()2sin
12
g x x π
=-
B ．2()2sin 12
3g x x π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
C ．()2sin 12
3g x x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
D ．()2cos
3
g x x π
=
5．已知随机变量()2,1X
N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则
该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξ
μσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.
A ．0.1359
B ．0.7282
C ．0.6587
D ．0.8641
6．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.
若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．(2,)+∞
C ．(2,4]
D ．(4,)+∞
7．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则(|)P B A =（ ） A ．
1
3
B ．
16
C ．
19
D ．
112
8．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从中青年员工中随机调查了100位，得到数据如下表：
愿意被外派 不愿意被外派 合计
中年员工 20 20 40 青年员工 40 20 60
合计
60
40
100
由2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参照附表，得到的正确结论是
附表：
20()P K k ≥
0.10 0.01 0.001
0k
2.706 6.635 10.828
A ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关”；
B ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄无关”；
C ．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”；
D ．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”．
9．双曲线22
1169x y -=的焦点坐标是
A ．7,0（）
± B ．0,7（）
± C ．5,0（）±
D ．0,5（）±
10．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5
(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A ．
1
15
B ．
215
C ．
15
D ．
415
11．已知复平面内的圆M ：21z -=，若1
1
p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外
B ．必在M 上
C ．必在圆M 内
D ．不能确定
12．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ） A ．2
5
75C A
B ．22
72C A
C ．22
75C A
D ．23
75C A
二、填空题：本题共4小题
13．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22
:1169
x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则
sin sin sin A B
P
-的值等于__________．
14．若72
80128(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++
+，则1278a a a a ++++的值为________
15．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.
16．若2
a xdx =⎰
,则在6
()a x x
-的展开式中,4x 项的系数为_________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
3
4
．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品. （1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； （2）随机选取3件产品，
（i ）记一等品的件数为X ，求X 的分布列； （ii ）求这三件产品都不能通过检测的概率．
18．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4
B π，(2,
)2
C π
，3(2,
)4
D π
，(2,)E π，弧AB ，DE 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是线段BC ，曲线3M 是线段CD ，曲线4M 是弧DE .
（1）分别写出1M ，2M ，3M ，4M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M ，4M 构成，若点(,)P ρθ，（30,
,44ππθπ⎡⎤
⎡⎤
∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
），在M 上，则当3OP =时，求点P 的极坐标.
19．（6分）在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是24
4cos 3sin ρθθ
=
+，以极点为原点O ，极轴为x 轴
正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为： { x cos y sin θ
θ
==（θ为
参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；
（2
）将曲线2C 经过伸缩变换'22{ '2x x y y
==后得到曲线3C ，若M ， N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，
求MN 的最小值.
20．（6分）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：
（I ）根据散点图判断在推广期内，y=a+b?
x 与x
y c d =⋅（c ，d 为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（I ）的判断结果求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据：
x
y
v
7
1
i i
i x y =∑
7
1
i i i x v =∑
7
2
1
i
i x
=∑ 0.5410
4 62 1.54 253
5 50.12 140 3.47
其中lg i i v y =，7
1
17i i v v ==∑
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆv
a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：12
2
1
ˆn
i i i n
i i u v nuv
u
nu β
==-=-∑∑，ˆˆa
v u β=-。

21．（6分）已知函数2()sin cos 3f x x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()f x 在[0,]m 上单调递增，求m 的最大值．
22．（8分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++⋯+≥∈N ，已知2
3242a a a =.
（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求,a b 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
由230x y +=，可得23
y x =-
， 又由题意得双曲线的渐近线方程为2y x a
=±， ∴
223
a = ∴3a =，
根据双曲线的定义可得126PF PF -=， ∴20.5PF =或212.5PF =．
经检验知20.5PF =或212.5PF =都满足题意．选D ．
点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为c a +，到右焦点的最小距离为c a -．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是c a +，到左焦点的最小距离是c a -． 2．C 【解析】
试题分析：要正确认识观测值的意义，观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，故选C ．
考点：独立性检验． 3．D 【解析】 【分析】
直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求．
由题意，复数21
122
i i +=+， 所以复数22i
+对应的点的坐标为1(1,)2
位于第一象限，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．A 【解析】 【分析】
根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】 解：
()02sin 1f ϕ==，即1
sin 2
ϕ=
， ,2
πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
56
πϕ∴=
， 则5()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
，
||AB =2
2
2
2
4T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2
41316
T +=， 则2
916T =，则34T =，即212T πω==，得6π=ω，
即5()2sin 6
6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin 12
6y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象， 即()()52sin 22sin 2sin 1261212g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫
=++=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题． 5．D
【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】
由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
()()1
(01)(22)0.13592
P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=
故所求的概率为10.1359
0.86411
P -==， 故选：D 【点睛】
本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
本题需要分类讨论，首先需要讨论“P 在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P 在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。

【详解】
若P 在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为c a +， 因为满足题意的点P 在双曲线的左支，所以3a
c a ，即2a c <，所以2e >①，
若P 在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为
c a -， 想要满足题意的点P 在双曲线的左支上，则需要满足3a c a ，即4a c ≥，所以4e ≤②
由①②得24e <≤，故选C 。

【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题。

7．B 【解析】 【分析】
(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式
()()
(|)=
n AB P B A n A 求解即可．
【详解】
抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有1863=⨯个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4）， 1
(|)1836
P B A ∴=
=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 8．A 【解析】 【分析】
由公式计算出2K 的值，与临界值进行比较，即可得到答案。

【详解】
由题可得：22
100(20204020)100400400
2.778 2.7066040604060406040
K ⨯-⨯⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关”， 有90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关，所以答案选A; 故答案选A 【点睛】
本题主要考查独立性检验，解题的关键是正确计算出2K 的值，属于基础题。

9．C 【解析】
分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标
详解：由双曲线22
1169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，
故双曲线22
1169
x y -=的焦点坐标是
5,0±（） 选C.
点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题. 10．B 【解析】 【分析】
先求得二项式5
(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05一共6个数字中任选。