全概率公式(第2课时)(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)

假设一个袋子中装有大小与质地相同的 ３个白球 、２个黑球，５个
3
人依次不放回地摸球 ，下面证明每个人摸到白球的概率都是
5
用事件A表示第一个人摸到白球 ，事件B表示第二个人摸到白球 ．显然 ，
3
P（A）
= ．第二个人摸球的时候有两种可能的情况 ：一种是A发生，即第
5
一个人摸到白球 ，这时袋子中剩有２白２黑 ；另一种是A没有发生 ，即
中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上},则
P(B2)=0.02，P(B3)=0.015，P(B4)=0.01，
P(B1)=1-0.02-0.015-0.01=0.955,
P(A|B1)=0.5，P(A|B2)=0.15，P(A|B3)=0.1，P(A|B4)=0.05，
由全概率公式可得，P(A)=σ= ( )(| ) = . .
解
用A1、A2分别表示事件交换 １次 、
２次后黑球还在A罐中 ．
易见A1 相当于第一次摸球的时候没有摸到黑球 ，
其概率为
2
，
3
2
．第一次交换之后 ，
有两种可能的情况 ：一种是
3
2
黑球在A罐中 ，
其概率是 ；另一种是黑球在B罐中 ，其概率
3
1
是 ．由全概率公式
3
即P
（A1）＝
其中P（ A2
｜A1
第一个人摸到黑球 ，这时袋子中剩有 ３白 １黑 ．在第一种情况下 ，条
2
3
件概率为P（B｜A）= ；而在第二种情况下 ，条件概率为P（ B｜A ）
=
4
4
3 2
由于上述两种情况发生的概率分别是 和 ，因此可以直观地看出
5 5
B发生的概率应该是两个条件概率的加权平均 ，即
其值与 P （A） 相等 ．
第三个人摸球 ， 记他摸到白球的事件为 C ， 其概率是多少呢？
的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品共有 = 种取法，这2个产品都是次品共有


= 种可能，所以这2个产品都是次品的概率为 .
课堂练习
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出
2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为
公司 ， 两个公司的正品率分别是 ９５％ 和 ９０％． 从库房中任取一
个零件 ， 求它是正品的概率
２． 盒子中有大小与质地相同的 ５ 个红球和 ４ 个白球 ， 从中随机取
１ 个球 ， 观察其颜色后放回 ， 并同时放入与其相同颜色的球 ３ 个 ，
再从盒子中取 １ 个球 ． 求第二次取出的球是白色的概率 ．

=
拓展提高
5．播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知
用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为
0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
解：设Bk={从这批种子中任选一颗是k等种子},k=1,2,3,4;设A={从这批种子
2
6
3
即为这三个供应商良品率的加权平均 ， 而其中的权重就是供货占比
全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2

An ,且
P ( Ak ) 0,k 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
n
P ( B ) P ( Ak ) P ( B | Ak ).
乙、丙生产的”,则
P(B1)=0.5 ,P(B2)=0.3 ,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.8, P(A|B3)=0.7,则
P(A)=

෍ ( )(��| ) = .
=
课堂练习
3．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑
12
12
因此,张君做对选到的题的概率0.7375.
课堂练习
2．有10 箱同种规格的产品, 其中分别有5箱 , 3箱, 2 箱由甲、乙、丙三个工厂生
产,三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这10箱产品中任取一箱 , 再从这箱中
任取一件产品,求取得正品的概率.
解：设A={取得的产品为正品},B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、
３． 从一个放有大小与质地相同的 ３ 个黑球 、 ２ 个白球的袋子里摸
出 ２ 个球并放入另外一个空袋子里 ， 再从后一个袋子里摸出 １ 个
球 ． 求该球是黑色的概率 ．
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1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题
完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案
前面两个人摸球会产生四种可能的情况 ：
用乘法公式 ， 这四种情况发生的概率分别是
例如 ，
其余同理 ．在这四种情况下 ，袋子中剩下的黑 、白球的个数分别是：
１白 ２黑 、２白 １黑 、２白 １黑 、３白 ０黑 ，因此事件C的条件概率
1 2 2
分别是 、 、 、1再应用全概率公式 ，就推出
3 3 3
其值仍与P（A）相等 ．





( |) = , ( |) = , ( |) =





() = ෍ ( )(| ) =

=
课堂练习
4．甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出
3
类似地 ，第四 、第五个人摸到白球的概率仍然是 ，也就是说，
5
摸到白球的概率与摸球的顺序无关 ．
例５
设有两个罐子 ，A罐中放有 ２ 个白球 、 １ 个黑球 ，
B罐中放有 ３ 个白球 ， 这些球的大小与质地相同 ． 现在从两个
罐子中各摸 １ 个球并交换 ， 求这样交换 ２ 次后 ， 黑球还在 A
罐中的概率
“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则





() = =
，() = =
， () = =







(|) = ，(|) = ，(|) = .





() = ෍ ( )(| ) =
球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的
概率.
解：设事件Ai={从甲袋取的2个球中有i个白球}，其中i=0，1，2.
事件B={从乙袋中取到的是白球}，则


×


() = =
, () =
= , () = =
,



，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.
解：设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得
P ( B ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A)
9
3
0.9 0.25 0.7375.
第7章 概率初步（续）
7.1 全概率公式（概率的加法公式和乘法公式推导出全
概率公式的过程;
2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;
２ 全概率公式
全概率公式是指一个事件发生的概率是其在不同条件下
发生概率的加权平均 ， 这是一个简单直观的重要公式 ．
课堂小结：
全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
n
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ).
i 1
A2

An ,且
k 1
我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
例４
证明 ： 在抽签的时候 ， 抽到好签的概率与抽签顺序
没有关系
解
抽签的方式有两种 ： 放回与不放回 ． 放回的情况很简
单 ， 因为每次的结果是相互独立的 ， 所以当然与顺序无关 ．
对于不放回的情况 ， 我们用前面不放回摸球的例子来说明
例 ３
假设某产品的一个部件来自三个供应商 ，供货占比分别
1 1 1
是 、 、，
而它们的良品率分别是 0.96、0.90、0.93。问 ：该部
2 6 3
件的总体良品率是多少？
解 总体良品率显然不是三个良品率的简单平均 ，而是与部件供应
商的供货占比有关 ． 因此 ， 总体良品率为
1
1
1
0.96 +0.90 +0.93 =0.48+0.15+0.31=0.94，
）是已知黑球在A罐中 、
再次交换后
还在A罐中的条件概率 ，
它等于第二次没有摸到黑球
2
的概率是 ；
类似地，P（ A2 ｜A1 ）是已知黑球在B
3
罐中 、
再次交换后又回到A罐中的条件概率 ，
它等于
1
第二次摸到黑球的概率是 . 因此
3
课本练习
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练习 ７． １ （ ２ ）
１． 公司库房中的某个零件的 ７０％ 来自 Ａ 公司 ， ３０％ 来自 Ｂ