[GOLD]北京市崇文区2007-2008初三统一练习一

崇文区2007—2008学年度第二学期初三统一练习（一）
数 学 试 卷 2008.5
考
生 须 知 1． 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，共8页。

2． 认真填写第1页密封线内的学校、班级、姓名和考号。

卷号 Ⅰ卷 Ⅱ卷 总分 分数 登分人
第Ⅰ卷 （ 选择题 共32分）
注
意事项
1． 考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。

2． 考试结束后，试卷和机读答题卡由监考人一并收回。

一、选择题：（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．
选项是正确的.用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母涂黑. 1．1
2-
的相反数是 A ．12 B ． 1
2
- C ． -2 D ． 2
2．下列运算中，正确的是 A ．2
2
2
23a a a --=- B ．2
2
1
a
a -=-
C ．235()a a -=
D ． 2
3
6
a a a =
3．如图，AB CD ∥，58B =∠，20E =∠，则D ∠的度数为
A ．20°
B ．38°
C ．58°
D ．78°
4．据有关数据显示，全国财政用于社会保障支出五年累计19500亿元，比前五年增长1.41
倍.将19 500用科学记数法表示应为
A ．51.9510⨯
B ．41.9510⨯
C ．419.510⨯
D ． 5
0.19510⨯ 5．袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是
A ．1
7
B ．
37
C ．
47
D ．
34
A
B
C
D E
F
A B
C
D
E F
O 6．某校社会实践小组八位成员上街卖报，一天的卖报数如下表：
成员 A
B
C
D
E
F
G
H
卖报数（份）
25
28
29
28
27 28 32
25
则卖报数的众数和中位数分别是 Ａ．25，28 Ｂ．28，28.5
Ｃ．32，28
Ｄ．28，28
7．将点(4)P ，3向下平移1个单位后，落在函数k
y x
=的图象上，则k 的值为 Ａ．12k = Ｂ．10k = Ｃ．9k = Ｄ．8k =
8．如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于
点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 A ．6 B ． 3
C ．2
D ． 1
第Ⅱ卷 （解答题 共88分）
注
意事项
1． 第Ⅱ卷包括四道大题，17个小题。

2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数1
3
y x =
+中，自变量x 的取值范围是 . 10．如图，O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，34OEF ∠=︒，则D
C F ∠ 的度数是 .
11．观察下列等式：1312-=，2318-=，33126-=，4
3180-=，531242-=，…….通过观察，用你所发现的规律确定2008
3
1-的
个位数字是 .
12．如果,0332
=-+x x 则代数式3332
3+-+x x x 的值为 .
三、解答题（本题共23分，第13、14题每小题4分，第15-17题每小题5分） 13．因式分解：34m m -. 14．计算：214
24
x x ---.
15．计算：1
122233sin 30--+--°.
O C
F
G
D
E
16．先化简，再求值：24(1)(21)3x x x x ---+，其中1
3
x =-．
17．解不等式组 3(4)25231
x x -+≤⎧⎨->⎩，
，并把其解集在数轴上表示出来．
四、解答题（本题共26分，第18－21每小题5分，第22题6分）
18．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN
⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN ．
19．2008年北京奥运会的比赛门票已经在网上开始接受公众的预订．下表为北京奥运会官
方票务网站公布的羽毛球部分场次比赛的门票价格．球迷小王用2200元来预订下表比赛场次的门票共6张，问男子双打半决赛和男子单打决赛门票各订了多少张？
比赛场次 票价（元/场） 男子双打半决赛 300 男子单打决赛
500
E
N
M
D
C
B
A
如图2
如图1
E
D
C
B
A
E O
D
C
B
A
O
20．某市教育部门对今年参加中考学生的视力进行了一次抽样调查，得到如图所示的频数分
布直方图．（每组数据含最小值，不含最大值） （1）本次抽查的样本容量是多少？
（2）若视力在4.9以上（含 4.9）均属正常，求视力正常的学生占被统计人数的百分比
是多少？
（3）根据图中提供的信息，谈谈你的感想．
21．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =23.动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ． （1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你
的结论； （2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.
100
20 40 60 80 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5
视力
人数
R Q 图3D C
A B O P 22．已知∠AOB 及其内部一点P ，试讨论以下问题的解答： （1）如图1，若点P 在∠AOB 的角平分线上，我们可以过P 点作直线垂直于角平分线，
分别交OA 、OB 于点C 、D ，则可以得到△OCD 是以CD 为底边的等腰三角形；若点P 不在∠AOB 的角平分线上（如图2），你能过P 点作直线，分别交OA 、OB 于点C 、D ，得到△OCD 是等腰三角形，且CD 是底边吗？请你在图2中画出图形，并简要说明画法；
（2）若点P 不在∠AOB 的角平分线上（如图3），我们可以过P 点作PQ ∥OA ，并作
∠QPR ＝∠AOB ，直线PR 分别交OA 、OB 于点C 、D ，则可以得到△OCD 是以OC 为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由；
（3）若点P 不在∠AOB 的角平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图4中过
P 点作直线分别交OA 、OB 于点C 、D ， 使得△OCD 是等腰三角形，且OD 是底边，保留画图的痕迹，不用写出画法.
图1D C
P
O B A 图2
A B O P
图4
A B O P
图2
A B C D E F 图1
F
E D
C B
A 五、解答题（本题共23分，第23题7分，第24题8分，第25题8分）
23. 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，
使三角板的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角板绕点A 按逆时针旋转，设旋转角为α．
（1）如图1，当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、
F ，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）； （2）如图2，当60120α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线
相交于点E 、F ，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由；
（3）当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请
你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝3，OC＝2.动点D在线段BC上移动（不与B、C重合），连结OD，作DE⊥OD 交边AB于点E，连结OE.设CD的长为t.
（1）当t＝1时，求直线DE的解析式；
（2）设梯形COEB的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在t的值，使得OE的长取得最小值？若存在，求出此时t的值并求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.
25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B
两点，点A 在点B 的左侧，直线3y kx =+与该二次函数的图象交于D 、B 两点，其中点D 在y 轴上，点B 的坐标为（3，0）. （1）求k 的值和这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C ，点F 为线段DB 上的一点，且使得∠DCF =∠ODB ，求出此
时点F 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P 为直线DB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与这个
二次函数的图象交于点E .问：是否存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
崇文区2007—2008学年度第二学期初三统一练习（一）
初三数学试题参考答案及评分标准 2008.5 一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1
2
3
4
5 6 7 8 答案 A A B B
C
D
D
B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．3x ≠-； 10．28︒； 11． 0 ； 12. 3
三、解答题（本题共23分，第13、14题每小题4分，第15-17题每小题5分） 13．因式分解：34m m -.
解：原式=2(4)m m - ………………………2分 = (2)(2)m m m +- . ………………………4分 14．计算：
21424
x x --- . 解：原式=
24
(2)(2)(2)(2)
x x x x x +-
+-+- ………………………2分 ＝
2
(2)(2)
x x x -+- ………………………3分
＝
1
2
x + . ………………………4分 15．计算：1
122233sin 30--+--°.
解：原式＝13
232322
-+-- ………………………4分 =
3 . ………………………5分
16．先化简，再求值：2
4(1)(21)3x x x x ---+，其中1
3
x =-.
解：原式＝2244(441)3x x x x x ---++ ………………………2分 ＝2
2
444413x x x x x --+-+ ………………………3分
＝31x -. ………………………4分 当13
x =-时，312x -=-. ………………………5分
17．解不等式组 3(4)25231
x x -+≤⎧⎨
->⎩，
， 并把其解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①得 5x ≤ . ………………………1分
解不等式②得 x >2 . ………………………2分 将不等式的解集表示在数轴上 ……………………4分
543210如图1
E D
C B
A O ∴ 不等式组的解集为25x ＜≤ .…………………5分
四、解答题（本题共26分，第18－21每小题5分，第22题6分） 18．证明： ∵ AD ∥BC ，AB =DC ，
∴ B C ∠=∠. ………………………………1分 ∵ ,,EM AB EN CD ⊥⊥
∴ 90BME CNE ∠=∠=︒ . ……………………………2分 又∵ 点E 是BC 边的中点，
∴ BE =CE . ……………………………3分
在Rt △BME 和Rt △CNE 中，
BME CNE B C BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ Rt △BME ≌ Rt △CNE . ………………………………4分 ∴ EM ＝EN . ……………………5分
19. 解：设男子双打半决赛的门票订了x 张，男子单打决赛门票订了y 张． …………1分 根据题意，得 6,
3005002200.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ ………………………………3分
解得 4,2.x y =⎧⎨=⎩
………………………………4分
答：男子双打半决赛的门票订了4张，男子单打决赛门票订了2张． …………5分
20．解：（1）240； …………………2分
（2）90
240
×100％＝37．5%； …………………………4分
（3）许多学生眼睛都是近视的，应加强用眼卫生． …………………5分
说明：第（3）问其它答案类似给分，只要是合理即可．如：学生的课业负担太重，视
力下降太快等．
21. 解：（1）直线CD 与⊙O 相切．
证明：如图1，连结OD ．
∵ ∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， 点D 为AB 边的中点， ∴ ∠A=∠ACD ＝30°．
又∵ OD ＝OA ，
∴ ∠A =∠ADO ＝30°．
∴ ∠COD =60°． ∴ ∠CDO =90°．
∴ 直线CD 与⊙O 相切．…………………2分 E
N M
D C B A
如图2
F
E O
D
C
B
A
图1
D C
A B
O
P
R
Q
D
C 图3A
B
O
P
R
Q
图3
D
C
A
B
O
P
（2）如图2，过点C 作CF ⊥AB 于点F ．
∵ ∠A ＝30°，BC =23， ∴ AB =43．
∵ ∠ACD ＝15°， ∴ ∠BCD ＝75°，∠BDC ＝45°．
在Rt △BCF 中，可求BF =3，CF =3．………………3分 在Rt △CDF 中，可求DF ＝3． ………………4分
∴ AD ＝AB －BF -FD ＝43－3－3＝33－3． ………………5分
22．解：（1）正确画出图形给1分，如图1．
画法：作∠AOB 的角平分线，过点过P 点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA 、OB 于点C 、D ，则△OCD 是以CD 为底边的等腰三角形，如图1； ………………2分
（2）如图2，∵ PQ ∥OA ，
∴ ∠QPR ＝∠OCD ． 又∵ ∠QPR ＝∠AOB ， ∴ ∠OCD ＝∠AOB ． ∴ OD ＝CD ．
即 △OCD 是以OC 为底的等腰三角形.
………………4分
（3）正确画出图形给2分，如图3.
………………6分
五、解答题（本题共23分，第23题7分，第24题8分，第25题8分） 23．解：（1）BE =CF ，AE =CF ，CE =DF ．写出两组即可 ………………2分
（2）如图1，BE =CF 的结论仍然成立． 证明：∵在菱形中ABCD ，∠BAD ＝120°，
图2F
E
D
C
B
A ∴ ∠BAC ＝∠ABC =∠ACD ＝∠CAD ＝60° . ∴ AB=AC. ………………3分 又由题意可知，∠EAF ＝60° .
∠BAE ＝∠CAF . ………………4分
在△BAE 和△CAF 中
,,,ABE ACF AB AC BAE CAF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ △BAE ≌△CAF .
∴ BE =CF . ………………5分
其它相等的线段的证明，参照此评分标准相应给分.
（3）如图2，当060α︒<<︒时，这个三角板与这个菱
形重合部分的面积就是四边形AECF 的面积. 由题意可证 △BAE ≌△CAF . ∴ 四边形AECF 的面积就是△ABC 的面积. ∵ AB ＝4，
∴ 所求图形的面积为43平方单位. .………………7分
24．解：（1）如图，∵ OABC 是矩形，且DE ⊥OD ，
∴ ∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°. ∴ ∠1＝∠3.
又 ∵ ∠OCD =∠B ＝90°,
∴ △OCD ∽△DBE . ………………1分
∴
CD CO
BE BD
=. 当t ＝1时，
122
BE =， ∴ BE =1. ………………2分 ∴ 点E 的坐标为（3，1）. 设直线DE 的解析式为y kx b =+， 又∵ 点D 的坐标为（1，2）， ∴直线DE 的解析式为15
22
y x =-+ . ………………3分 （2）由（1）得
CD CO
BE BD
=. 即23t BE t
=-. ∴ 232
t t
BE -+=. ………………4分
图1
A
B
C
D
E
F
∴ 2139
()3244
S BE CO BC t t =
+⋅=-++. ………………5分 自变量t 的取值范围是：0＜t ＜3 . ………………6分
（3）存在存在t 的值，使得OE 的长取得最小值.
因为Rt △OAE 的直角边OA 的长为定值，所以当Rt △OAE 的面积最小时，AE 的长最小，即OE 的长最小. 而当Rt △OAE 的面积最小时，就是梯形COEB 的面积最大时.
由（2）223933753()444216
S t t t =-++=--+可知， 当t ＝
3
2
时满足此要求. 此时，7
28AE BE =-=.
∴ 点E 的坐标为（3，7
8
）. ………………8分
25．解：（1）∵ 直线3y kx =+经过点B （3，0），
∴ 可求出1k =-. ………………1分
由题意可知， 点D 的坐标为（0，3）. ∵ 抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点D ，
∴ 093,3.b c c =-++⎧⎨=⎩
解得 2,
3.
b c =⎧⎨
=⎩
∴ 抛物线的解析式为2
23y x x =-++.
……………3分
（2）在线段DB 上存在这样的点P ，使得∠DCP =∠ODB .
如图，可求顶点C 的坐标为（1，4）. 由题意，可知∠ODB ＝45°.
过点D 作此抛物线对称轴的垂线DG ，可知DG =CG =1,
所以此时∠DCG =45°,点P 的坐标为（1，2）. ……………5分
（3）存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形.
由题意知PE ∥CF ，
∴ 要使以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形只要满足PE =CF =2即可.
∵ 点P 在直线DB 上，
∴ 可设点P 的坐标为 （,3x x -+）. ∵ 点E 在抛物线 2
23y x x =-++上，
∴ 可设点E 的坐标为 （2,23x x x -++）. ∴ 当23(23)2x x x -+--++=时，解得 317
2
x ±=
； 当223(3)2x x x -++--+=时，解得 121,2x x ==.
1x =不合题意，舍去.
∴ 满足题意的点P 的横坐标分别为123317317
,,222
x x x +-=
==. ……………8分
说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.。