2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件6.1比较代数式的大小(第1课时)

第六章
不等式
1
6.1
比较代数式的大小
●不等式的性质 考
●根据条件和性质判断不等式是否成立 点
的解决方法 搜
●作差法 索
●利用不等式的性质求“范围”
2
不等式的性质是历年高考重点考
高
查的内容.单纯的不等式性质题与函数 单调性综合的小综合题以及比较大小、
考 判断不等式能否成立、确定条件与结
猜 论之间的充要关系等为具体内容的不
当
0 3 4
x
x
1
1
①或
x 0

1 3 4
x

1
②时，logx
3x 4
＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜
4 3
，
15
即当当3 x1=＜1x，＜即43x时= ,4有时lo，gx有34xl＜og0x,31x+=l0o,gx3＜2logx2;
所以4 1+logx3=2lo3gx2.
17
拓展练习 已知a是实数，试比较 1 与
1+a的大小.
1- a
解：因为 1 - (1 a) a2 ,
1- a
1- a
(1)当a=0时，a2
1- a

0,
所以
1 1- a
1
a;
(2)当a＞1时，a 2
所以
0,
1
1 a;
1- a
1- a
(3)当a＜1，且a≠0时， a2＞0，所以
1
.
命题,可组成的正确命题的个数是( D )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：由ab＞0，bc-ad＞0可得
c a
-
d b
0
同理由 c - d 0 ，ab＞0可得bc-ad＞0.
ab
bc - ad 0

c a
-
d b
0

bc - ad bc - ad ab
0
0
1 ab
,
ab
由a＜b＜0得-a＞-b＞0,因此|a|＞|b|＞0成立；
又y=( 1 )x是减函数，所以( 1 )a＞( 1 )b成立.
222Fra bibliotek故不成立的是B.
7
已知三个不等式:ab＞0,bc-ad＞0,
c - d 0 ab
(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式
作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个
1 a
1- a
1- a
18
题型3 商值比较法比较代数式的大小 3. 比较ab·ba与aa·bb(a＞0，b＞0)的大小.
解法1: (求差不好比较,可考虑求商进行比较)
由于ab·ba＞0，aa·bb＞0，
且
ab bb aa ba
1(ab0)

(
a b
)a-b
1(a b0). 1(ba0)
(1)若a＞b，则ac＞bc;
(2)若ac2＞bc2，则a＞b; (3)若c＞a＞b＞0，则 a b ;
c-a c-b
(4)若a＞b，1 1 ,则a＞0，b＜0.
ab
解：(1)令c=0，则有ac=bc，故该命题是 假命题.
(2)由ac2＞bc2知c≠0，所以c2＞0，故该命 题为真命题.
13
故当a=b时，ab·ba=aa·bb;
当a≠b时，ab·ba＜aa·bb.
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解法2: (直接求差不好比较,可取对数后再比较) 因为lg(ab ba ) - lg(aa bb ) b lg a a lg b - a lg a - b lg b 所以当 (aa=- bb)时(lg，b -llgg(aa)b·ba00)((=当当lgaa(aabb·时时bb)))，； 当a≠b时，lg(ab·ba)＜lg(aa·bb). 故当a=b时，ab·ba=aa·bb； 当a≠b时，ab·ba＜aa·bb.
3. 若要判断命题是真命题，应进行推理证 明；若要判断命题是假命题，只需举一反例.
23
想
等式性质题常出现在试卷的选择、填 空题中，而在解答题中，往往以渗透
的形式出现.
3
一、比较两数(式)大小的基本方法
1.差值比较法：a＞b _a_-_b_＞__0_,a＜b __a_-_b_<_0___,a=b _a_-_b_=_0______.
2.商值比较法：a＞0,b＞0,a＞b __b a___1__,a＜b __0__ba__1____,a=b __ba___1__.
(3)a＞b＞0 -a＜-b，
c＞a＞b＞0 0＜c-a＜c-b 1 1 0 a b .
故该命题为真命题.
c-a c-b c-a c-b
(4)a＞b a-b＞0，

又1a因b1 为 aa1＞- b1b0，所ba以-baa0＞ a0b，0.b＜0. 故该命题为真命题.
ab0.
故选D.
8
设α∈(0， )，β∈［0， ］ ,那么2α- 的范
围是( ) D 2
2
3
A. (0, 5 )
6
B. (- , 5 )
66
解：C. (由0,题) 设得
D. (- , )
6
所以
0所2以 -π,06＜32α-6β,3＜π.
故选D- . - 0,
4
综上所述,当0＜x＜1或x＞4 时,1+logx3＞2logx2; 当当1x=＜x＜时43，时1+，lo1g+x3lo=g2xl3o＜gx223.logx2；
4
3
16
点评：利用差值比较法比较代数式的 大小，其一般步骤为：①作差；②变形，常 用的变形有因式分解，配方，通分等；③定 号，有时需根据参数的取值情况进行分类讨 论；④下结论.作差看符号是比较两数大小 的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、 不遗漏.
20
点评：对乘积或指数型式子的大小比 较，可采用商值比较法比较大小，注意的是 两个式子的符号应是同号(一般都为正)，然 后根据商与1的大小进行比较，从而得出两 个式子的大小.
21
拓展练习比较ax2+3与a2x(a>0)的大小.
解：由a>0，知ax2+3＞0，a2x＞0， 且 aax22 x故3 当axa2 =31-2时x ，a(ax-1x)22+32=a112((1x0a；(a1a)11))，
ac6<.ab＞c b＞0,c＞d＞0 13 _________.
7.a＞b＞0,n＞1,n∈ N 1a4c_<_b_d__, 15
______.
an<bn
8.a＞b,ab＞0
16
_1___1___.
ab
n an b
5
盘点指南：①a-b＞0;②a-b＜0;③a-b=0;
④ a 1;⑤ 0 a 1;⑥ a 1;⑦b＜a;⑧a＞c;⑨ a+cb＞b+d;⑩ab-c＞b-d;b11 ac＞bc; 12 ac＜bc;
14
题型2 差值比较法比较代数式的大小
2. 比较1+logx3与2logx2(x＞0且x≠1)的大小.
解：(1+logx3)-2logx2=logx
3x 4
.
当
0 0

x 1
3
x

或
1
4
x 3 4
x
1
, 1
即0＜x＜1或x＞ 4
2logx2；
3
时,有logx
34x＞0,所以1+logx3＞
当a>1时，ax2+3＞a2x； 当0<a<1时，ax2+3＜a2x.
22
1. 对不等式的基本性质,关键是正确理解和 运用,要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件 的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.
2. 不等式的基本性质包括“单向性”和 “双向性”两个方面.单向性主要用于证明不等 式，双向性是解不等式的基础，因为解不等式要 求的是同解变形.
13 ac＞bd; 14 an＞bn;n1a5 n b
1; 161
ab
6
若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是( B )
A. 1 1 ab
B. 2a 2b
C. | a | | b |
D. ( 1)a ( 1)b
即
22
解：由a＜b＜0知ab＞0，因此 1 1 成立；
a

1 ab
b

二、不等式的基本性质
1.a＞b __b_<_a_______. 2.a＞b,b＞c _a_<_c_______.
4
3.a＞b,c＞d ⑨_a_+_c_＞__b_+_d___.
4.a＞b,c＜d ⑩_a_-_c_＞__b_-d____.
12
5.a＞b,c＞0 __________.

11
a_c_＞__b_c___;a＞b，c＜0
-
1 a
0

a b
b a
,
即
b a

a b
，故命题为假.
11
点评：判断不等式是命题的真假，其主 要依据是不等式的性质.判断一个命题是真命 题，就是经过条件式及性质推导出结论式； 而判断一个命题是假命题，只要举一反例即 可，如参数取负、零等情况.
12
拓展练习 对于实数a，b，c，判断下列命
题的真假.
变式：“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题.
(2)由a＜b，a＜0 a2＞ab；由a＜b，b＜0
ab＞b2，所以a2＞ab＞b2是真命题.
(3)由性质定理,知由a＜b＜0 1 1 是假命题.
ab
(4) ab0

-a-b0

1 a

1 b

-a - b0
-
1 b
63
9
第一课时
题型1 判断有关不等式命题的真假
1. 对于实数a，b，c，判断下列命题的真假.
(1)若a＞b，则ac2＞bc2; (2)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2; (3)若a＜b＜0，则 1 1 ;
ab
(4)若a＜b＜0，则 b a .
ab
10
解：(1)因为c2≥0，所以只有c≠0时才正确； c=0时，ac2=bc2，所以是假命题.