湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2015-2016学年高一数学下学期期中试题

2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考
数学试题
本试卷共 2 页，共 22 题。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合}032|{2<--=x x x A ，集合}12
|{1
>=+x x B ，则∁B A ＝ A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
2.已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，)1,3(),1,0(B A -是其图象上的两点，那么不等式1)1(1≤+≤-x f 的解集是
A ．[-1，2]
B ．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C ．（-1，2）
D ．（-∞，-1] ∪ [2，+∞） 3.=-+0
00050tan 70tan 350tan 70tan A ．3-B ．
33C ．3
3
-D ．3 4．已知数列{a n }的前n 项为S n ，且满足关系式lg(S n －1)＝n (n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ A ．9·10
n －1
B.⎩⎨
⎧≥=⋅-2,1,109111
n n n C ．10n
＋1 D.⎩
⎨⎧≥=+2,1,1109n n n 5．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，3=BC ，E 是CD 的中点，那么=⋅DC AE A ． 4 B ． 2 C 3D ． 1
6．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测得AC
的距离为50 m ，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A ，B 两点间的距离为 A ．50 2m B ．50 3m C ．25 2m D ．25 2
2m
7．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则
A. )(Z k k ∈+=+ππβαB ．)(2Z k k ∈+=+ππβα
C ．)(2
Z k k ∈+=+ππ
βαD ．)(22Z k k ∈+=+ππβα
8．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则f (x ) A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
9．已知集合}),(|{R n m a a M ∈+==λλ，},|{R n m b b N ∈+==μμ，其中n m ,是一组不共线的向量，则M∩N
第6题图 第5题图
中元素的个数为 A ． 0 B ． 1C ．
大于1但有限
D ．无穷多
10．把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数”，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第
七个三角形数是
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
11．函数)sin()(ϕω+=x A x f (其中0,0>>ωA )的部分图像如
图所
示，则)2016()3()2(f f f +++ 的值为 A ．2B ．22+C ．0D ．2-
12．在平面直角坐标系中，如果不同的两点),(b a A ，),(b a B -在函数)(x f y =的图象上，则称),(B A 是函
数)(x f y =的一组关于y 轴的对称点（),(B A 与),(A B 视为同一组）则函数3
1,0
()2log ,0x
x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，
关于y 轴的对称点的组数为 A ．0B ．1C ．2D ．4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在等差数列{a n }中，=+=+75833a ,10a a a 则已知_______．
14．已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤+-=1,log 1
,)(312x x x x x x f ，若对任意的x∈R ，不等式m m x f 43)(2
-≤恒成立，则实数m 的
取值X 围为________． 15．关于函数))(6
2sin()(R x x x f ∈-=π
，给出下列三个结论：
①对于任意的R x ∈，都有)3
22cos()(π
-=x x f ； ②对于任意的R x ∈，都有)2
()2
(π
π
-
=+
x f x f ；
③对于任意的R x ∈，都有)3
()3(x f x f +=-π
π．
其中，全部正确结论的序号是________．
16．定义在[]1,0上的函数)(x f 满足: ①;0)0(=f ②;1)1()(=-+x f x f ③);(2
1
)3(x f x f =④当1021≤<≤x x 时，
)()(21x f x f ≤.=)2016
1
f(
则_______． 三、解答题（共6小题，满分70分）
第10题图
第11题图
17．（本小题满分12分）
已知函数2
3
sin 3cos sin )(2
-+=x x x x f （1）当⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈127,12ππx 时，求函数f(x) 的值域； （2）求函数()x f 的单调递增区间和其图象的对称中心. 18．（本小题满分12分）
设数列{n a }满足2
22213221n a a a a n n =
++++- (n ∈N *
)． （1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设n n a n
b =，求数列{n b }的前n 项和n S .
19．（本小题满分12分）
已知向量a ＝3x 3cos
,sin 22x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，b ＝x cos ,sin 22x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，且x∈[0，2π
]．
（1）求a ·b 及|a ＋b |的值；
（2）若f(x)＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－
2
3
，某某数λ的值． 20．（本小题满分12分）
某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．
（1）求θ关于x 的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用
为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出y 的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数)0(1)
1()(2
>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数)(log )(3a x x f +=的图象
上.
（1）某某数a 的值；
（2）当方程b x g 22)2(=-+有两个不等实根时，求b 的取值X 围； （3）设*+∈⋅-=+=N n a a a b n g a n n n n n ,1
),2(1
，求证：）N （n b b b b n *∈<++++,31321 .
`
22．（本小题满分10分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知b 2＋c 2＝a 2
＋bc. （1）求角A 的大小；
（2）若2sin 2B 2＋2sin 2C
2
＝1，判断△ABC 的形状．
2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高一期中联考
数学参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．B 2. A 3.A 4．B 5．B 6.A 7.B 8. B 9．B 10.B11．D 12．C 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13.20 14.][),14
1,(+∞⋃-
-∞15．①②③ 16.
128
1
三、解答题（共6小题，满分70分） 17.（本小题满分12分） 解:（1）)3
2sin(2cos 232sin 21)(π-=-=
x x x x f ,…………………………4 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈127,12ππx 时,⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈1,21)(x f (6)
(2)由题知,使f(x)单调递增, 则须Z k k k x Z k k k x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-∈∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈-
,125,12,,22,2232πππππππππ
解得 Z k k k f(x)∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-∴,125,12ππππ的单增区间为 (9)
令1202
6,26
,3
2 Z k k k x k x ∈++
=
=-
），，则对称中心为（解得ππππ
ππ
18．（本小题满分12分） 解：(1)当 n ＝1时，得a 1＝
2
1
……………………………………………………………………………1 当n ≥2时，∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1
a n ＝2n ，①
∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2
a n －1＝2
1-n .②
由①－②，得2n －1
a n ＝21，∴a n ＝n 2
1 (5)
∴a n ＝n 2
1 (n ∈N *
)． (6)
(2)∵b n ＝n a n
，∴b n ＝n 2n
.
∴S n ＝2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
.③ ∴2S n ＝22
＋2×23
＋3×24
＋…＋(n －1)2n ＋n ×2n ＋1
.④ (8)
由③－④，得-S n ＝ 2＋22
＋23
＋…＋2n - n ×2n ＋1
，
即-S n ＝（1-n ）2n ＋1
－2， (10)
∴S n ＝（n-1）2n ＋1
+2 (n ∈N *
)． (12)
19．（本小题满分12分）
解：(1)a ·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x
2
＝cos 2x . (2)
|a ＋b |== ∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，
∴|a ＋b |＝2cos x . ……………………………………………………………………………6 (2)由(1)可知f (x )＝cos 2x －4λcos x ，
即f (x )＝2(cos x －λ)2
－1－2λ2
. (8)
∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1.
①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时，
f (x )取得最小值－1，与已知矛盾．
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，
f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－3
2
，
解得λ＝12或λ＝－1
2
(舍)．
③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－3
2，
解得λ＝5
8
，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝1
2
即为所求． (12)
20. （本小题满分12分）
解：(1)由题可知30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x
10＋x
,)10,0(∈x (5)
(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2
＋5x ＋50(0<x <10)，
装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为y ＝－x 2
＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2
－5x －50
10（17＋x ） (7)
令t ＝17＋x ，()17,27t ∈则y ＝3910－110(t ＋324t )≤3910－1103242=3
10，………… 10分
当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝12
11
.
(若利用双勾函数单调性求最值的,则同等标准给分,但须说明单调性.)
故当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用之比最大． (12)
21. （本小题满分12分）
解：（1）函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为（2，2）……………………………………2 又因为A 点在()f x 上，则
(2))2f a =+=
即231a a +=∴= (4)
（2）(2)22g x b +-=
即2122212x x b b +-=∴-=………………………………6 由图像可知：0<2b<1 ，故b 的取值X 围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
(8)
(3)1
21
121)12)(12(2,1211+-
+=++=+=++n n n n n n n
n b a ………………10 *+∈<+-=
++++∴N n b b b b n n ,3
1
121311321 (12)
22．（本小题满分10分）
解：(1)∵b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，又b 2＋c 2＝a 2
＋bc ，∴cos A ＝12，∴A＝π3
(4)
(2)∵2sin 2B 2＋2sin 2C
2
＝1，∴1－cos B ＋1－cos C ＝1，
∴cos B ＋cos C ＝cos B ＋cos （2π3－B ）＝cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π
3
sin B
＝
32sin B ＋12cos B=sin(B ＋π
6
)＝1. ∵0<B<23π，∴B＝π3，C ＝π
3
，∴△ABC 为等边三角形． (10)。