高二数学上学期期中联考试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校长汀、连城一中等六校二零二零—二零二壹高二数学上学期期中联考试
题〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题〕
1.某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为理解学生的学习情
况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本，从高一学生中抽取15人，那么n为〔〕
A.45
B.60
C.50
D.54
2.设m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，那么“α∥β〞
是“m∥β且n∥α〞的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.∃x0∈〔0，+∞〕，ln x0≥x02-1〞的否认为〔〕
A.,
B.,
C.,
D.,
4.从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么以下给出的两个事件互斥而
不对立的是〔〕
A.恰有一个红球与恰有两个红球
B.至少一个红球与至少一个白球
C.至少一个红球与都是白球
D.至少一个红球与都是红球
5.椭圆，那么以点M〔-1，1〕为中点的弦所在直线方程为〔〕
A. B. C. D.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，那么异面直线AM与BD所成角的
余弦值为〔〕
A. B. C. D.
7.一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，那么
抽到都是正品的概率是〔〕
A. B. C. D.
8.甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表
示如图，假设甲、乙两个小组的平均成绩分别是，，HY差分别是s1，s2，那么以下说法正确的选项是〔〕
甲乙
98 8
5
6 88
210 9 3
A.,
B.,
C.,
D.,
9.F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，那么线段AB
的中点到x轴的间隔为〔〕
A. B.1 C. D.
10.双曲线的左焦点为，点A的坐标为〔0，1〕，点P为双曲线右支上的动点，且△APF1
周长的最小值为6，那么双曲线的离心率为〔〕
A. B. C.2 D.
11.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，，AB=AC=AA1=2，点
G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为
线段AC和AB上的动点．假设GD⊥EF，那么线段DF
长度的最小值是〔〕
A.
B.1
D.
12.椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动
点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，那么的取值范围是〔〕
A. B.
C. D.
二、填空题〔本大题一一共4小题〕
13.向量，，假设，那么实数λ=______．
14.与双曲线有一共同的渐近线，且过点〔3，2〕的双曲线方程为______．
15.∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0a的取值范围是______．
16.A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为双曲线；
②曲线表示焦点在y轴上的椭圆，那么；
③方程2x2-5x+2=0______
三、解答题〔本大题一一共6小题〕
17.集合A={x|1-a≤x≤1+a}〔a＞0〕，B={x|x2-5x+4≤0}．
〔1〕假设“x∈A〞是“x∈B〞的必要不充分条件，务实数a的取值范围；
〔2〕对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，务实数m的取值范围．
18.抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的
间隔为4．
〔1〕求抛物线C的方程；
〔2〕过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．
19.某地施行HYHY，对农副产品进展深加工以进步产品附加值，某农产品本钱为每件3
元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：
单价x〔元〕 6 7
销量y〔万件〕80 74 73 70 65 58 数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系．
〔1〕求销量y〔件〕关于单价x〔元〕的线性回归方程=x+；
〔2〕根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使加工后收益P最大，应将单价定为多少元？〔产品收益=销售收入-本钱〕．
参考公式：==，=-
20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，
平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．
〔1〕求证：AA1⊥平面ABC；
〔2〕在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？假
设存在求出的值，假设不存在请说明理由．
21.某校学生社团组织活动丰富，学生会为理解同学对社团活动的满意程度，随机选取
了100位同学进展问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值〔百分制〕按照[40，50〕，[50，60〕，[60，70〕，…，[90，100]分成6组，制成如下列图频率分布直方图．
〔1〕求图中x的值；
〔2〕求这组数据的中位数；
〔3〕现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80〕的学生中按分层抽样的方法抽取5人进展座谈理解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
22.椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长间隔为．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕过点P〔0，2〕的直线l〔不过原点O〕与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB 的中点．
〔ⅰ〕证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；
〔ⅱ〕求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意可得=，求得n=54，
应选：D．
由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．
此题主要考察分层抽样的定义和方法，属于根底题．
2.【答案】A
【解析】解：m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，
那么“α∥β〞⇒“m∥β且n∥α〞，反之不成立．
∴“α∥β〞是“m∥β且n∥α〞的充分不必要条件．
应选：A．
利用线面面面平行的断定与性质定理即可判断出关系．
此题考察了线面、面面平行的断定与性质定理、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
3.【答案】C
∃x0∈〔0，+∞〕，ln x0≥x02-1〞的否认为：∀x∈〔0，+∞〕，ln x＜x2-1．
应选：C4.【答案】A
【解析】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，
在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，
∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；
在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，但能同时不发生，
故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误；
在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
应选：A．
利用互斥事件与对立事件的定义直接求解．
此题考察互斥而不对立事件的判断，考察互斥事件与对立事件的定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
5.【答案】B
【解析】解：设弦的两个端点为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
∴，，两式相减得，
∴=-•，①
又∵M〔-1，1〕为AB的中点，
∴x1+x2=-2，y1+y2=2代入①式得=，
即k AB=，
∴直线AB方程为y-1=〔x+1〕，即4x-5y+9=0．
应选：B．
因为是一个选择题，可采用“点差法〞，即先设弦的两端点为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．
此题还可采用常规法，先设弦所在直线方程为y-1=k〔x+1〕，代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2的值，又AB中点为〔-1，1〕，那么有x1+x2=-2，可解出k的值．注意验证斜率不存在的情况，中档题．
6.【答案】C
【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如下列图的空间直角坐标系，
A〔1，0，0〕，M〔0，，1〕，B〔1，1，0〕，D〔0，0，0〕，
=〔-1，，1〕，，
=，
所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，
应选：C．
以D为原点建立如下列图的空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果．
此题考察向量法解异面直线所成的角，中档题．
7.【答案】B
【解析】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，
根本领件总数n==15，
抽到都是正品包含的根本领件个数m==6，
那么抽到都是正品的概率是p=．
应选：B．
先求出根本领件总数n==15，抽到都是正品包含的根本领件个数m==6，由此能求出抽到都是正品的概率．
此题考察概率的求法，考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
8.【答案】A
【解析】解：由茎叶图中数据，计算平均数为
=×〔88+89+90+91+92〕=90，
=×〔85+86+88+88+93〕=88，
HY差为s1==，
s2==，
∴＞，s1＜s2．
应选：A．
由茎叶图中数据计算平均数和HY差即可．
此题考察了平均数与HY差的计算问题，是根底题．
9.【答案】C
【解析】解：抛物线x2=y的焦点F〔0，〕准线方程y=-，
设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕
∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3
解得y1+y2=，
∴线段AB的中点纵坐标为，
∴线段AB的中点到x轴的间隔为，
应选：C．
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的间隔等于到准线的间隔，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的间隔．此题考察解决抛物线上的点到焦点的间隔问题，利用抛物线的定义将到焦点的间隔转化为到准线的间隔．
10.【答案】B
【解析】解：由|AF1|==2，三角形APF1的周长的最
小值为6，
可得|PA|+|PF1|的最小值为4，
又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a，
当A，P，F2三点一共线时，|PA|+|PF2|获得最小值，
且为|AF2|=2，
即有2+2a=4，即a=1，c=，
可得e==．
应选：B．
由题意可得AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点一共线时，获得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．
此题考察双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考察三点一共线获得最小值的性质，考察方程思想和运算才能，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：建立如下列图的空间直角坐标系，那
么A〔0，0，0〕，E〔0，2，1〕，
G〔1，0，2〕，F〔x，0，0〕，D〔0，y，0〕由于
GD⊥EF，所以x+2y-2=0
DF===
当y=时，
线段DF长度的最小值是
应选：C．
建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值．
此题考察棱柱的构造特征，考察空间想象才能，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：取特殊点P〔0，2〕，那么PA方程为y=x+2
与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=-2或者-，所以Q〔-，〕，
∴k PB=-1，k QF==-，
∴=．
同理取P〔0，-2〕，=-．
根据选项，排除A，B，C，
应选：D．
取特殊点P〔0，2〕，P〔0，-2〕，求出，利用排除法，可得结论．
此题考察圆与圆锥曲线的综合，考察特殊法的运用，属于中档题．
13.【答案】-10
【解析】解：∵向量，，，
∴=λ+6+4=0，
解得实数λ=-10．
故答案为：-10．
利用向量垂直的性质直接求解．
此题考察实数值的求法，考察向量垂直的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
14.【答案】-=1
【解析】解：设与双曲线有一共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，
那么由题意可得，
3-1=m，
故m=2，
故双曲线方程为-=1．
故答案为：-=1．
由题意，设与双曲线有一共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，代入点解出m 即可．
此题考察了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于根底题．
15.【答案】a≤3
∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；
设f〔x〕=x2-2x，其中x∈[0，3]；
那么f〔x〕=〔x-1〕2-1，
且当x=3时，f〔x〕获得最大值为f〔3〕=3，
所以实数a的取值范围是a≤3．
应选：a≤3∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；求出f〔x〕=x2-2x 在x∈[0，3]内的最大值，即可求得实数a16.【答案】②③④
【解析】解：对于①，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支，∴①错误；
对于②，令，解得＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴②正确；
对于③，解方程2x2-5x+2=0，得x=或者x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；
对于④，双曲线中，c==，焦点坐标为F1〔-，0〕、F2〔，0〕；
椭圆中，c′==，焦点坐标为F1′〔-，0〕、F2〔，0〕，
它们的焦点一样，∴|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支；
②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；
③求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；
④分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否一样即可．
此题考察了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是根底题．
17.【答案】解：〔1〕A={x|1-a≤x≤1+a}〔a＞0〕，B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A〞是“x∈B〞的必要不充分条件，即B⫋A，
所以，或者，
所以，，或者，
所以a≥3．
所以，实数a的取值范围是[3，+∞〕．
〔2〕要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，
那么只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．
实数m的取值范围〔-∞，4]．
【解析】〔1〕根据“x∈A〞是“x∈B〞的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．〔2〕要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．
此题考察了不等式的解法、简易逻辑的断定方法、转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．
18.【答案】解：〔1〕抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点F〔，0〕，准线方程为x=-，∵|MF|=4，由抛物线的定义可得，
∴p=2．故所求抛物线方程为y2=4x；
〔2〕由〔1〕得p=2，焦点F〔1，0〕，所以直线l的方程为y=x-1，
并设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
联立，消去y，得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，
可得x1+x2+p=8，
所以|AB|=8．
【解析】〔1〕求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；
〔2〕求得直线l的方程为y=x-1，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立抛物线方程，消
去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
此题考察抛物线的定义、方程和性质，考察联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考察方程思想和运算才能，属于根底题．
19.【答案】解：〔1〕由题意得，=×〔6+++++7〕，
=×〔80+74+73+70+65+58〕=70；
那么，
；
所以，
，
所以所求回归直线方程为．
〔2〕由题意可得，，
整理得P=-20〔x〕2+245，
当x时，P获得最大值为245；
所以要使收益到达最大，应将价格定位元．
【解析】〔1〕由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；
〔2〕由题意写出收益函数P的解析式，求出P取最大值时对应的x值即可．
此题考察了线性回归方程的求法与应用问题，也考察了计算与推理才能，是根底题．
20.【答案】解：〔1〕因为侧面AA1C1C
是矩形，
所以AA1⊥AC，
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA1⊥平面ABC．
〔2〕由〔1〕知AA1⊥AC，AA1⊥AB．
由题意知AB=2，AC=1，，
所以AB⊥AC，
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，，，
假设D〔x1，y1，z1〕是线段BC1上一点，其中，，，
设〔λ∈[0，1]〕，即〔x1，y1-2，z1〕═，
解得x1=λ，y1=2-2λ，，
所以．
假设在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，
那么，即，
得4-6λ=0，解得，
因为，
所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时．
【解析】〔1〕由先证明AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC．
〔2〕假设存在．设D〔x1，y1，z1〕是线段BC1上一点，且〔λ∈[0，1]〕，求出，解得λ的值，即可求解．
此题主要考察了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考察空间想象才能以及计算才能，属于中档题．
21.【答案】解：〔1〕由〔0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x〕×10=1，解得x．〔2〕中位数设为m，那么0.05+0.1+0.2+〔m-70〕，解得m=75．
〔3〕可得满意度评分值在[60，70〕内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2
满意度评分值在[70，80〕内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组〞为事件A，
根本领件有〔a1，a2〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a1，b3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a2，b3〕，〔b1，b2〕，〔b1，b3〕，〔b2，b3〕一共10个，A包含的根本领件个数为4个，
利用古典概型概率公式可知P〔A〕．
【解析】〔1〕由面积和为1，可解得x的值；
〔2〕由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；
〔3〕列出所有根本领件一共10个，其中符合条件的一共4个，从而可以解出所求概率．此题主要考察频率分布直方图，中位数和古典概型，属于根底题．
22.【答案】解：〔1〕由题意得，解得，
∴a2=2，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为；
〔2〕〔ⅰ〕设直线l为：y=kx+2，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x M，y M〕，
由题意得，∴〔1+2k2〕x2+8kx+6=0，
∴△=8〔2k2-3〕＞0，即，
由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，
∴，，
∴，∴，
∴直线OM与l的斜率乘积为定值．
〔ⅱ〕由〔ⅰ〕可知：，
令=t，那么t＞0，
∴S△AOB==≤=，
当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0，
∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．
【解析】〔1〕由题意得，解得即可求出方程，
〔2〕〔i〕设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，
〔ii〕先根据弦长公式求出|AB|，再令=t，表示出三角形的面积，利用根本不等式即可求出．
此题考察了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，根本不等式，属于中档题．。