高中数学选择性必修三 7 3 2 离散型随机变量的方差

规律方法 (1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均 值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地 得出更恰当的判断． (2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出 的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解 答过程．
a＋c＋13＝1，
c＝14.
答案
5 12
1 4
5．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第 一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前 3 次投篮中，乙投篮的次数为 X，求 X 的分布列、期望及标准差． 解 (1)设第三次由乙投篮为事件 A，则 P(A)＝13×23＋23×34＝1138.
【训练3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1， 2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
解 (1)X的分布列为
X0 1 2 3 4
P
1 2
1 20
1 10
3 20
1 5
则 E(X)＝0×12＋1×210＋2×110＋3×230＋4×15＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×210＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×230＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，得a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时， 由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. 所以ab＝ ＝2－，2或ab＝ ＝－ 4 2，即为所求.
n
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝∑ (xi－E(X))2pi i＝1
为随机变量 X 的_方__差___，有时也记为 Var(X)，并称 D（X）为随机变量 X 的_标__准__差___，
记为 σ(X)．
2．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝___a_2D__(_X_)______． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝__p_(_1_－__p_)______．
如何比较甲、乙两人的技术？ 问题 情境中的问题，我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值，但是两 人的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？ 提示 我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与 样本平均值的偏离程度．
1． 离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
B.112414
C.117494
D.1172
解析 由题意知，E(X)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2192，故 D(X)＝1－21922×14＋ 2－21922×13＋3－21922×16＋4－21922×14＝117494.
答案 C
角度2 求两点分布的方差 【例2】 若某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养． 2．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，
以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差 D(X)或标准差 D（X）越小，则随 机变量取值偏离均值的平均程度越小，说明 X 的取散型随机变量 X 的标准差 D（X）为 8，则随机变量 Y＝2X－1 的标准差为( )
A．8
B．15
C．16
D．32
解析 D（2X－1）＝ 4D（X）＝2 D（X）＝16. 答案 C
2．设随机变量X的分布列为
X 1 23
P
1 2
xy
若 E(X)＝185，则 D(X)＝( )
A.3634
【训练1】 袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个 球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取 球；若所取球的编号为奇数，则停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率； (2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方 差．
P
1 2
1 3
p
若 E(X)＝23. (1)求 D(X)的值； (2)若 Y＝3X－2，求 D（Y）的值．
解 由分布列的性质，得12＋13＋p＝1，解得 p＝16， ∵E(X)＝0×12＋1×13＋16x＝23， ∴x＝2. (1)D(X)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1257＝59. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴ D（Y）＝ 5.
7.3.2 离散型随机变量的方差
课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变 通过研究离散型随机变量的方差，
量的分布列及方差的概念. 进一步提升数学抽象及数据分析素
2.能计算简单离散型随机变量的方差， 养.
并能解决一些实际问题.
新知探究
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合 格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：
[微思考] 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？ 提示 离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.
题型一 求离散型随机变量的方差
角度1 用定义求离散型随机变量的方差 【例1】 设离散型随机变量X的分布列为
X1 2 3 4
P
1 4
1 3
1 6
1 4
则 D(X)等于( )
A.2192
4 ． 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 如 下 表 所 示 ， 若 E(X) ＝ 0 ， D(X) ＝ 1 ， 则 a ＝
__________，b＝__________． X －1 0 1 2
P
a
bc
1 12
a＋b＋c＝1112，
a＝152，
解析 由题意知－a＋c＋16＝0，解得b＝14，
()
A．0.5和0.25
B．0.5和0.75
C．1和0.25
D．1和0.75
解析 E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.
答案 A
2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.
答案 C
D（X）越大，表明随机变量取值偏离均值的平均程度越大，说明 X 的取值越分散．
3．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值． (2)求X取每一个值的概率． (3)写出随机变量X的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)． 特别地，若随机变量服从两点分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－ E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的 加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
拓展深化
[微判断]
1．离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．
( ×)
提示 随机变量的方差越小，随机变量越稳定．
2．若a是常数， 则D(a)＝0.
( √)
3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ( √ )
[微训练]
1．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则E(X)和D(X)分别为
所以X的分布列为
X3 5 6 7
P
1 8
3 8
1 4
1 4
均值 E(X)＝3×18＋5×38＋6×14＋7×14＝121， 方差 D(X)＝3－1212×18＋5－1212×38＋6－1212×14＋7－1212×14＝32.
题型二 方差的性质的应用
【例3】 已知随机变量X的分布列为： X0 1x
XA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
XB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120， 试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
解 E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(XA) ＝ 0.1×(110 － 125)2 ＋ 0.2×(120 － 125)2 ＋ 0.4×(125 － 125)2 ＋ 0.1×(130 － 125)2 ＋ 0.2×(135－125)2＝50， D(XB) ＝ 0.1×(100 － 125)2 ＋ 0.2×(115 － 125)2 ＋ 0.4×(125 － 125)2 ＋ 0.1×(130 － 125)2 ＋ 0.2×(145－125)2＝165. 由此可见E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)， 故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳 定性好．
B.5654
7
9
C.32
D.32
解析 由随机变量分布列的性质得 x＋y＝12，由 E(X)＝185，得 1×12＋2x＋3y＝185，解得 x＝18，y＝38.∴D(X)＝1－1852×12＋2－1852×18＋3－185×38＝5654. 答案 B
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲) ＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( ) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析 由E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)知B正确． 答案 B
解 (1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A. 易知第一次取到偶数球的概率为24＝12，
第二次取球时袋中有三个奇数，
所以第二次取到奇数球的概率为34， 而这两次取球相互独立， 所以 P(A)＝12×34＝38.
(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球． 所以X的可能取值为3，5，6，7， 所以 P(X＝3)＝12×14＝18， P(X＝5)＝12×24＋12×14＝38， P(X＝6)＝12×14＋12×14＝14， P(X＝7)＝12×24＝14，
规律方法 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差； 另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
【训练2】 设随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1 3
1 6
若 Y＝2X＋2，则 D(Y)等于( )
A．－13
B.59
C.190
D.290
解析 由题意知，E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，故 D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13 ＋1＋132×16＝59，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×59＝290.
答案 D
题型三 均值与方差的综合应用 【例4】 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
为__________． 解析 依题意知：X服从两点分布， 所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16. 答案 0.16
规律方法 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中 的情况．
(2)由题意，X的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝13×13＝19；
P(X＝1)＝13×23＋23×14＝178.