山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题

山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设()f x 为R 上的可导函数，且()()
112lim
2x f f x x
∆→−+∆=−∆，则曲线()y f x =在点
()()1,1f 处的切线斜率为（ ）
A ．2
B ．-1
C ．1
D ．12
−
2．已知全集{}
2
90U x x =−<，集合11A y y ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭
，则U A =ð（ ）
A ．[]0,1
B ．(][)3,01,3−⋃
C ．()3,3−
D ．(]()3,01,3−⋃
3．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（ ）
A ．甲的单场平均得分比乙低
B ．乙的60%分位数为19
C ．甲、乙的极差均为11
D ．乙得分的中位数是16.5
4．已知函数()()*
sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =−在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的零点的个
数为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在
线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r
，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（ ）
A ．1
2
B ．13
−
C D 6．阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点()11,0A −，()20,2A −，()33,0A ，()40,4A ，()55,0A −，()60,6A −，()77,0A ，()80,8A ，并按这样
的规律继续下去．若四边形123n n n n A A A A +++的面积为760，则n 的值为（ ）
A ．18
B ．19
C ．21
D ．22
7．已知双曲线()22
122:10,0x y C a b a b −=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线
()22:20C y px p =>的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若△12PF F 的内切圆圆心
的横坐标为4，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且9
2
AB =，则1C 的离心率为（ ） A ．
9
4
B ．
54
C ．95
D ．
74
8．设a =0.1e b =，1ln1.1c =+，则（ ） A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
二、多选题
9．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2
500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质
量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2
200(1000)
x x ϕ−−=，其中x ∈R ，则（ ）
附：随机变量2(,)N ξμσ−，则()0.683P μσξμσ−<<+=，()220.954P μσξμσ−<<+=，()330.997P μσξμσ−<<+=．
A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%
B ．生产线乙的食盐质量()2
~1000,100x N
C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的
10．已知非零向量a e ≠，1e =，对任意t R ∈，恒有a te a e −≥−，则（ ） A ．a 在e 上的投影的数量为1 B ．2a e a e +≥−r r r r
C ．()a a e ⊥−
D ．()e a e ⊥−
11．已知函数()f x 的定义域D 关于原点对称，,0m D m ∃∈>且()1f m =，当()0,x m ∈时，
()0f x >；且对任意,,y D x y D x D ∈−∈∈且x y ≠，都有()()()()()
1f x f y f x y f y f x +−=
−，则
（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()30f m =
C ．()f x 是周期函数
D ．()f x 在()2,3m m 上单调递减
12．设x ∈R ，当()11
Z 22
n x n n −≤<+∈时，规定x n =，如1.21=， 4.54−=−．则（ ）
A ．(),R a b a b a b +≤+∈
B ()
*N n n =∈
C ．设函数sin cos y x x =+的值域为M ，则M 的子集个数为32
D ．()*
11112
111
N 22222
n x x x x nx n n n
n −−
+−++−+++−+=−
∈
三、填空题
13．已知,R a b ∈，()32023
3i i i a b −+=+（i 为虚数单位），则a b +=______．
14．已知圆M 满足与直线:60l x −=和圆()()22
:129N x y −+−=都相切，且直线MN 与l 垂直，请写出一个符合条件的圆M 的标准方程________________________． 15．若0x >，0y >，则
22334
x y
x y +++的最大值为____________．
四、双空题
16．公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积相等，则体积相等．如图是某厂家生产的游泳池浮漂实物图及设计图，则h 的长度为____________cm ；利用祖暅原理可求得该浮漂的体积为____________3cm ．
五、解答题
17．将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列{}n a ，求数列{}n a 的通项公式； (2)设()211
n n n n b a −=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．设钝角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2222
a b c R ab +−=，
其中R 是ABC 外接圆的半径． (1)若7π
12
B =
，求C 的大小；
(2)若2CD DA =，π
2
CBD ∠=，证明：ABC 为等腰三角形．
19．如图，直角梯形ABCD 中，//,,22AB DC AB BC AB BC CD ⊥===，直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周形成一个圆台．
(1)求圆台的表面积和体积；
(2)若直角梯形ABCD 绕BC 逆时针旋转角(0)θθ>到11A BCD ，且直线1A D 与平面ABCD
所成角的正弦值为
7
，求角θ的最小值． 20．某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差； (2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
21．已知动点P 与两定点()12,0A −，()22,0A ，直线1PA 与2PA 的斜率之积为3
4
−，记动
点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；
(2)设()(),012D a a <<，E 为直线2x a =上一动点，直线DE 交曲线C 于G ，H 两点，若GD 、HE 、GE 、HD 依次为等比数列{}n b 的第m 、n 、p 、q 项，且m n p q +=+，求实数a 的值．
22．已知函数()()()e ln 11R x
f x k x k =++−∈．
(1)当1k =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若对任意()1,x ∈+∞，都有()0f x ≥，求实数k 的取值范围；
(3)当1
2k ≥−时，对任意的[),0,s t ∈+∞，且s t ≠，试比较()()f s f t ''+与()()22f s f t s t
−−的
大小．。